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东北三省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2013届高三第一次联合模拟考试数学(理)试题(扫描版)


2013 年三省三校第一次联合模拟考试数学答案
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) CCBAC BBBDC DB 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.14 14.

1 12

15. 24 ?

>
3? 2

16.

1 ? 13 2

三.解答题(本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)在 Sn ? 2an ? (?1) , n ? 1中分别令 n ? 1,2,3
n

得:

?a1 ? 2a1 ? 1 ? ?a1 ? a 2 ? 2a 2 ? 1 ?a ? a ? a ? 2 a ? 1 2 3 3 ? 1
n

?a1 ? 1 ? 解得: ?a 2 ? 0 ?a ? 2 ? 3

??3 分

(Ⅱ)由 Sn ? 2an ? (?1) , n ? 1得: S n?1 ? 2an?1 ? (?1) n?1 , n ? 2 高考资源网 两式相减得: an ? 2an?1 ? 2(?1) n , n ? 2 ??6 分

4 2 4 2 a n ? 2a n ?1 ? (?1) n ? (?1) n ? 2a n ?1 ? (?1) n ?1 ? (?1) n 高考资源网 3 3 3 3 2 2 a n ? (?1) n ? 2(a n ?1 ? (?1) n ?1 )( n ? 2) ??9 分 3 3
故数列 ?a n ? 网 所以

? ?

2 1 2 ? (?1) n ? 是以 a1 ? ? 为首项,公比为 2 的等比数列.高考资源 3 3 3 ? an ? 1 2 ? 2 n ?1 ? ? (?1) n 3 3
??12 分

an ?

2 1 (?1) n ? ? 2 n ?1 3 3

18.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)记“从 10 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一 级”为事件 A , ……1 分
1 2 C3 ? C7 21 . P( A) ? ? 3 C10 40

……4 分

(Ⅱ) 依据条件, 服从超几何分布: 其中 N ? 10, M ? 3, n ? 3 , 的可能值为 0,1, 2,3 , ? ? 其分布列为: P ?? ? k ? ?
3 C3k C7 ?k ? k ? 0,1, 2,3? 3 C10

……6 分 ……8 分

?
P

0
7 24

1

2

3
1 120

21 40

7 40

(Ⅲ )依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 P ?

7 , 10

一年中空气质量达 到一级或二级的天数为? ,则? ~ B(366,0.7)

……10 分

? E? ? 366 ? 0.7 ? 256.2 ? 256 ,

?一年中平均有 256 天的空气质量 达到一级或二级
19.(本题满分 12 分) 解: (1)证明:取 AB1 的中点 G,联结 EG,FG ? F、G 分别是棱 AB、AB1 中点,

.…12 分

1 BB1 2 1 又? FG∥EC, EC ? CC1 , FG=EC 2 ? 四边形 FGEC 是平行四边形, ? CF / / EG ? CF ? 平面 AEB1, EG ? 平面 AEB1 ? CF / / 平面 AEB. ? FG / / BB1 , FG ?
(2)解:以 C 为坐标原点,射线 CA,CB,CC1 为 x, y, z 轴正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz. 则 C(0,0,0) ,A(1,0,0) 1(0,2,4) ,B 设 E (0, 0, m) (0 ? m ? 4) ,平面 AEB1 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) . 则 AB1 ? (?1, 2, 4) AE ? (?1,0, m) , 由 AB1 ? n1 , AE ? n1 得?

??4 分 ??6 分

uuu r

uur u

????

??? ?

?? x ? 2 y ? 4 z ? 0 ?? x ? mz ? 0
??8 分

n1 ? ( 2 m ? 4 , 2 ) m,
? CA ? 平面 C1CBB1

??? ? ??? ? ? CA 是平面 EBB1 的法向量,则平面 EBB1 的法向量 n2 ? CA ? (1,0,0) ??10 分
? 二面角 A—EB1—B 的平面角余弦值为
n ?n 2 17 ? cos ? n1 , n2 ?? 1 2 ? 17 n1 n2

2 17 , 17
2m



4m ? (m ? 4) 2 ? 4
2

解得 m ? 1(0 ? m ? 4)

? 在棱 CC1 上存在点 E,符合题意,此时 CE ? 1

??12 分

20.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 m ? 1 时,E 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,
2

∵ k1k2 ? ?1,∴AB⊥CD

设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由?

? y ? k1 ( x ? 1) ? y ? 4x
2

,得 k1 y2 ? 4 y ? 4k1 ? 0 , y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? ?4 k1

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? 1, ) ,同理,点 N (2k12 ? 1, ?2k1 ) ??2 分 2 2 k1 k1

∴ S?EMN ?

1 1 2 2 1 | EM | ? | EN |? ( 2 )2 ? ( )2 ? (2k12 )2 ? (?2k1 )2 ? 2 k12 ? 2 ? 2 ??4 分 2 2 k1 k1 k1

? 2 2?2 ? 4
当且仅当 k1 ?
2

1 ,即 k1 ? ?1时,△EMN 的面积取最小值 4. k12

??6 分

(Ⅱ)证明:设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? m) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由?

? y ? k1 ( x ? m) ? y ? 4x
2

,得 k1 y2 ? 4 y ? 4k1m ? 0 , y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? ?4m k1

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? m, ) ,同理,点 N ( 2 ? m, ) ??8 分 2 2 k1 k1 k2 k2
??10 分

∴ kMN ?

yM ? yN kk ? 1 2 ? k1k2 xM ? xN k1 ? k2 2 2 ? k1k2 [ x ? ( 2 ? m)] ,即 y ? k1k2 ( x ? m) ? 2 k1 k1

∴MN: y ?

∴直线 MN 恒过定点 (m, 2) . 21.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? a sin x ? ax cos x ? sin x ? (a ? 1)sin x ? ax cos x

??12 分

??2 分

? 2 ? 2 2? f ?( ) ? (a ? 1) ? ? ?a? ? 4 2 4 2 8
?a ?1
??4 分

? f ?( x) ? x cos x
? f ?( x )? 0 ?? ? x ? ? ? ? f ?( x )? 0 ? ?
则 f ( x ) 在 (?? , ? (Ⅱ)当 x ? [0,

?
2

或 ?x? , 0

?
2

?
2

? x? 0, 或

?
2

? x ??

?
?

), (0, ) 上单调递增; f ( x) 在 (? , 0), ( , ? ) 上单调递减;??6 分 2 2 2 2 ] 时, f ( x) 单调递增,? f ( x)min ? f (0) ? 1

?

?

?

2

则依题 g ( x) ? 1 在 x ? [0, ??) 上恒成立

m?2 ) m g ?( x) ? , ( x ? 0, m ? 0) (mx ? 1)( x ? 1) 2 m( x 2 ?
①当 m ? 2 时,

??8 分

m?2 ? 0 ,? g ?( x) ? 0 在 [0, ??) 上恒成立,即 g ( x) 在 [0, ??) 上单调 m

? , 递 增 , 又 g ( 0 ) 1 所 以 g ( x )? 1 x ? [0, ??) 上 恒 成 立 , 即 m ? 2 时 成 在
立 ② 当 0 ? m ? 2 时 , 当 x?( 0 , ??10 分

2?m 时 ) , g ?( x )? 0, 此 时 g ( x) 单 调 递 减 , m
??12 分

? g ( x) ? g (0) ? 1 ,故 0 ? m ? 2 时不成立,综上 m ? 2
22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:连接 OD ,则 OD ? MD

?CEO ? ?ECO ? 90o , ?MDE ? ?EDO ? 90o , 又?EDO ? ?ECO ??CEO ? ?MDE ? ?MED,? MD ? ME
(Ⅱ)解:由(Ⅰ) MD2 ? MA ? MB ?3 ? MA ? (MA ? 2) ? MA ? 1 在 Rt ?MDO 中, MO ? 2, MD ? 3

??5 分

??MOD ? 60? ,??COD ? 150? ??ECO ? 15?
CE ? OC 1 ? ? 6? 2 cos ?ECO cos 15 o

??10 分

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)圆 C1 和 C2 的的普通方程分别是 ( x ? 2) ? y ? 4 和 x ? ( y ? 1) ? 1 ,
2 2 2 2

所以圆 C1 和 C2 的的极坐标方程分别是 ? ? 4 cos? 和 ? ? 2 sin ? . (Ⅱ)依题意得,点 P, Q 的极坐标分别为 P(4cos ? , ? ) 和 Q(2sin ? , ? ) 所以 | OP |?| 4 cos? | , | OQ |?| 2 sin ? | .从而 | OP | ? | OQ |?| 4sin 2? | ? 4 . 当且仅当 sin 2? ? ?1 时,上式取“=”即, | OP | ? | OQ | 的最大值是 4 .

……5 分

……10 分

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ) a ? 2 时, x ? 2 ? 2x ? 2x ? 1 ? x ? 2 ? 1,? x ? 3 或 x ? 1 ,

? 解集为 ? ??,1? ? ?3, ???
(Ⅱ) f ( x) ? ?

??5 分

?3x ? a,x ? a ? a ? 0 ? 当 x ? ?2 时 f ( x) ? x ? a ? ?2 ? a ,只需 ?2 ? a ? 0 即可, x ? a, x ? a ?
??10 分

?a ? 2


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