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求函数零点的几种方法


函数零点 一、知识点回顾 1、函数零点的定义:对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点。 注意: (1)零点不是点; (2) 方程根与函数零点的关系: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函 数 y ? f ( x) 有零点. 2、零点存在性定理:如果函数 y ? f ( x) 在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 , 那 么, 函数 y ? f ( x) 在区间(a, b)内至少有一个零点. 3、一个重要结论:若函数 y ? f ( x) 在其定义域内的某个区间上是单调的,则 f ( x) 在这个区间上至多有 一个零点。 4 、 等 价 关 系 : 函 数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 有 零 点 ? 方 程 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 有 实 根 ? 方 程 组

? y1 ? f ( x) 有实数根 ? 函数 y1 ? f ( x) 与 y2 ? g ( x) 的图像有交点。 ? ? y 2 ? g ( x)
二、求函数 y ? f ( x) 零点的方法 1、解方程 f ( x) ? 0 的根; 2、利用零点存在性定理和函数单调性: 3、转化成两个函数图像的交点问题。 三、典例分析 例 1 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的部分对应值如下表: 则不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是
2

x
y

?3 6

?2 0

?1 ?4

0 ?6

1 ?6

2 ?4

3 0

4 6

例 2 若函数 f ( x) ? 2x ? x ? a 有两个零点,且一个在(-2,0)内,另一个在(1,3)内,求 a 的取值
2

范围.

变式 1、已知关于 x 的方程 3x ? 5 x ? a ? 0 的两根 x1,x2 满足 x1 ? (?2, 0) , x2 ? (1 , 3) ,求实数 a 的取值范围.
2

2 、 已 知 函 数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? 2(a ? b) , 若 ?,? (? ? ? ) 是 方 程 f ( x) ? 0 的 两 个 根 , 则 实 数

a,b,?,? 之间的大小关系是(
A. ? ? a ? b ? ?

) C. a ? ? ? b ? ? D. ? ? a ? ? ? b

B. a ? ? ? ? ? b

1

3.函数 f ( x) ? ax ? 2a ? 1,a ? 0 ,若在 ? 1 ? x ? 1 上, f ( x) 存在一个零点,则实数 a 的取值范围是

例3

函数 y ? (A)1 个

x2 和 y ? log2 x 的图象的交点有 6
(B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

变式: 1、 若方程 8 x ? x ? b 有两个不相等的实数根,求 b 的取值范围.

?2x ? 1, x ? 0, ? 2、 已知函数 f ( x) ? ? 2 若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点,则实数 m m 的取值范围是 ? ?? x ? 2 x, x ≤ 0.
练习 1.已知函数 f ( x) 为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于________.



2.函数 f ( x) ? x2 ? 1, g ( x) ? a | x ? 1| .若关于 x 的方程 | f ( x) |? g ( x) 只有一个实数解,求 a 的取值范围;

3.方程 lgx+x=3 的解所在区间为( A.(0,1) B.(1,2)

) C.(2,3) D.(3,+∞)

4. f ( x) ? lg x ? A. (0,1]

1 零点所在区间是( x
C. (10,100]

).

B. (1,10]

,??) D. (100

5.若 a ? b ? c ,则函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? c)( x ? a) 两个零点分别位于区间 (A) ( a, b) 和 (b, c ) 内 (B) (??, a) 和 ( a, b) 内 (C) (b, c ) 和 (c, ??) 内 (D) (??, a) 和 (c, ??) 内

2


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