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用二分法求方程的近似解


3.1.2 用二分法求方程的近似解

必修1 第三章

函数的应用

栏目导引

1.理解二分法求方程近似解 的原理. 2.能根据具体的函数,借助 于学习工具,用二分法求出 方程的近似解. 3.知道二分法是求方程近似 解的一种常用方法,体会“ 逐步逼近”的思想.
必修1 第三章

1.利用二分法求方 程的近似解.(重 点) 2.判断函数零点所 在的区间.(难点) 3.精确度ε与近似 值.(易混点)

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1.函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调增函 b≥0 数,则b的取值范围为_____. -1,1,3 2.函数y=(x-1)(x2-2x-3)的零点为_______. 1 3.方程log2x+x2=2的实数解的个数为__.

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1.二分法的定义 连续不断 f(a)·f(b)<0 对于在区间[a,b]上________且__________的 函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所 一分为二 在的区间_________,使区间的两个端点逐步 零点 逼近_____进而得到零点的近似值的方法,叫 做二分法.由函数的零点与相应方程根的关 系,可以用二分法求方程的近似解.

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2.二分法的步骤 给定精确度ε,用二分法求f(x)零点近似值的步骤 如下: f(a)·f(b)<0 (1)确定区间[a,b],验证___________,给定精确 度ε; (2)求区间(a,b)的中点c; (3)计算f(c); c就是函数的零点 ①若f(c)=0,则________________; (a,b)) ②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈______; (c,b)) ③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈______. |a-b|<ε (4)判断是否达到精确度ε:即若________,则得到 零点近似值a(或b);否则重复(2)~(4).
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1.下列函数零点不宜用二分法的是( A.f(x)=x3-8 B.f(x)=ln x+3 2 C.f(x)=x +2 2x+2 D.f(x)=-x2+4x+1
解析: 答案: 由题意知选C. C

)

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2.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点 附近的函数值的参考数据如下: f(1)=-2 f(1.375)=- 0.260 f(1.25)=- f(1.5)=0.625 0.984 f(1.437 5)= f(1.406 25)=- 0.162 0.054

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确 到0.1)为( ) A.1.5 B.1.4 C.1.3 D.1.2
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解析: ∵|1.437 5-1.375|=0.062 5<0.1 ∴f(x)的零点近似值可取1.437 5≈1.4或 1.375≈1.4. 答案: B

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3.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间 (0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这 个零点(精确度为0.01)的近似值,则应将区间 (0,0.1)等分的次数至少为________次. 解析: 区间长度为0.1,等分1次区间长度变 为0.05,等分2次,区间长度变为0.025,等分3 次,区间长度变为0.012 5,等分4次,区间长 度变为0.00625<0.01.符合条件. 答案: 4

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1 4.用二分法求方程 ln x=x在[1,2]上的近似解, 取中点 c=1.5,求下一个有根区间. 1 解析: 令 f(x)=ln x- , x 1 2 f(1)=-1<0,f(2)=ln 2- =ln >ln 1=0, 2 e 2 1 f(1.5)=ln 1.5- = (ln 1.53-2). 3 3 因为 1.53=3.375,e2>4>1.53, 1 1 3 故 f(1.5)= (ln 1.5 -2)< (ln e2-2)=0, 3 3 f(1.5)f(2)<0,下一个有根区间是[1.5,2].
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二分法的概念 下列函数图象与 x 轴均有交点, 其中不能 用二分法求图中函数零点的是( )

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本题可结合二分法的概念,判断是否具备使用二 分法的条件.

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[解题过程] 利用二分法求函数零点必须满足 零点两侧函数值异号.在B中,不满足 f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点,由于A、C、 D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求 零点. 答案: B

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[题后感悟] 二分法的理论依据是零点存在定 理,必须满足零点的两侧的函数值异号才能求 解,所以理解好零点存在定理才能正确地使用 二分法.

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1.下列函数中, 能用二分法求零点的 为( )

解析: 须符合连续不间断且零点附近对应函 数值符号相异,故选B. 答案: B

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用二分法求方程的近似解 用二分法求方程 2x3+3x-3=0 的一个 正实数近似解(精确度 0.1).
要求方程2x3+3x-3=0的正实根,可转化 为用二分法求函数f(x)=2x3+3x-3的正的 零点,故首先要选定初始区间[a,b],满足 f(a)·f(b)<0,然后逐步逼近.

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[解题过程] 令f(x)=2x3+3x-3, 经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0, 所以函数f(x)在(0,1)内存在零点, 即方程2x3+3x=3在(0,1)内有解. 取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,又f(1)>0, 所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解. 如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区 间,如下表:

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(a,b) (0,1) (0.5,1) (0.5,0.75) (0.625,0.7 5) (0.687 5,0.75)

中点 c 0.5 0.75 0.625 0.687 5

f(a) f(0)<0 f(0.5)<0 f(0.5)<0 f(0.625) <0

f(b) f(1)>0 f(1)>0 f(0.75)>0 f(0.75)>0

?a+b? ? f? ? 2 ?

f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 f(0.687 5)<0

|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1

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由于|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1,所以0.75可 作为方程的一个正实数近似解. [题后感悟] (1)二分法解题流程:

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(2)二分法中对结果要求的“精确度”与“精确 到”有何区别? 精确度为0.1,是指二分法停止二分区间时,区 间[a,b]的长度|b-a|<0.1,此时a(或b)即为零 点近似值.而精确到0.1,是指a,b四舍五入精 确到0.1的近似值相同,这个相同的近似值即为 零点近似值.

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2.利用计算器求方程 lg x=3-x 的 近似解(精确度 0.1).

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解析: 作出y=lg x,y=3-x的图象可以发 现,方程lg x=3-x有唯一解,记为x0,并且 解在区间(2,3)内. 设f(x)=lg x+x-3,用计算器计算,得f(2)<0 ,f(3)>0, ∴x0∈(2,3); f(2.5)<0,f(3)>0?x0∈(2.5,3); f(2.5)<0,f(2.75)>0?x0∈(2.5,2.75); f(2.5)<0,f(2.625)>0?x0∈(2.5,2.625); f(2.562)<0,f(2.625)>0?x0∈(2.562,2.625). ∵|2.625-2.562|=0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一).
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函数零点与方程解的个数问题 1 确定函数 f(x)=log x+x-4 的零点个数. 2

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1 [解题过程] 设 y1=log x,y2=4-x,则 f(x)的 2 零点个数即 y1 与 y2 的交点个数,作出两函数图 象,如图. 由图知,y1 与 y2 在区间(0,1) 内有一个交点, 当 x=4 时,y1=-2,y2=0, 当 x=8 时,y1=-3,y2=-4, ∴在(4,8)内两曲线又有一个交点, ∴两曲线只有两个交点, 1 即函数 f(x)=log x+x-4 有两个零点. 2

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[题后感悟] (1)本题考查函数零点个数问题,这 个知识点主要包括以下几个类型: ①一元二次方程通常用判别式来判断根的个数. ②指数函数和对数函数等函数的零点个数问题我 们一般用图象来解决. (2)利用函数的单调性来判断函数零点的个数. 如果已知函数f(x)在其定义域上是单调函数,则 f(x)至多有一个零点.

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1 3.若把函数中的底数“ ”改为“2”, 2 即“f(x)=log2x+x-4”又如何确定其零点的 个数.

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解析: 设y1=log2x,y2=4-x 则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数,作出 两函数图象 由图知,y1与y2在区间(2,3)有一个交点 当x=2时,y1=1,y1=2 当x=3时,y1=log23>1,y2=1 ∴在(2,3)内两曲线有一个交点. ∴函数f(x)=log2x+x-4只有一个零点.

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4.求下列函数的零点个数. (1)f(x)=2x+2x-6; 1 (2)f(x)=log x+2x-3. 2

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解析: (1)2x+2x-6=0,即2x=6-2x,在 同一坐标系中作出y=2x和y=6-2x的图象, 如图(1),可知有一个交点. 故函数f(x)=2x+2x-6有一个零点.

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1 (2)在同一坐标系内作出 y=log x 和 y=3-2x 2 1 的图象, 如图(2), 可知有两个交点, f(x)=log 故 2 x+2x-3 有两个零点.

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1.准确理解“二分法”的含义 顾名思义,二分就是平均分成两部分.二分法就 是通过不断地将所选区间一分为二,逐步逼近零 点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所 要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示 真正的零点. 2.运用二分法求方程f(x)=0的实数解应注意以 下几点 (1)条件:函数y=f(x)的图象在[a,b]上为一条连 续曲线,且f(a)·f(b)<0时,方可使用二分法.

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(2)技巧:①在选择实数解所在的大致区间时, 应尽可能地使其长度越小越好. ②利用表格展现二分法求方程实数解的过程时 ,表格一般可分为三列:第一列是运算次数; 第二列是左端点值;第三列是右端点值.后两 列决定了运算的终止与否,当左端点与右端点 满足要求精确度的近似值相同时,即可终止运 算.

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◎用二分法求方程x2-5=0的一个非负近似 解(精确度为0.1). 【错解】 令f(x)=x2-5, 因为f(2.2)=2.22-5=-0.16<0, f(2.4)=2.42-5=0.76>0, 所以f(2.2)·f(2.4)<0, 说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0, 取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3, f(2.3)=2.32-5=0.29, 因为f(2.2)·f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3),
必修1 第三章 函数的应用
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再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25. f(2.25)=0.062 5, 因为f(2.2)·f(2.25)<0,所以x0∈(2.2,2.25), 同理可得x0∈(2.225,2.25),(2.225,2.237 5), 又f(2.225)≈-0.049 4,f(2.237 5)≈0.006 4, 且|0.006 4-(-0.049 4)|=0.055 8<0.1, 所以原方程的近似正解可取为2.225.

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【错因】 本题错解的原因是对精确度的理 解不正确,精确度ε满足的关系式为|a-b|<ε, 而本题错解中误认为是|f(a)-f(b)|<ε. 【正解】 令f(x)=x2-5, 因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0, 所以f(2.2)·f(2.4)<0, 说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0, 取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3, f(2.3)=0.29,

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因为f(2.2)·f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3), 再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25, f(2.25)=0.062 5, 因为f(2.2)·f(2.25)<0,所以x0∈(2.2,2.25), 由于|2.25-2.2|=0.05<0.1, 所以原方程的近似正解可取为2.25.

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