当前位置:首页 >> 数学 >>

高考数学总复习:必修部分 开卷速查20 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用


开卷速查(二十)

函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及三

角函数模型的简单应用
A 级 基础巩固练 π? ? 1 1. 把函数 y=sin?x+6?图像上各点的横坐标缩短到原来的2(纵从标
? ?

π 不变), 再将图像向右平移3个单位, 那么所得图像的一条对称轴方程为 ( ) π A.x=-2 π C.x=8
? ?

π B.x=-4 π D.x=4

π? ? 1 解析:将 y=sin?x+6?图像上各点的横坐标缩短到原来的2(纵坐标 π? ? π 不变),得到函数 y=sin?2x+6?;再将图像向右平移3个单位,得到函数
? ?

π? π? ? ? π? ? π y=sin?2?x-3?+6?=sin?2x-2?,x=-2是其图像的一条对称轴方程.
? ? ? ? ? ?

答案:A 2.如果函数 f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期为 T,且当 x=2 时,f(x)取得最大值,那么( π A.T=2,θ=2 C.T=2,θ=π ) B.T=1,θ=π π D.T=1,θ=2

2π π 解析:T= π =2,当 x=2 时,由 π×2+θ=2+2kπ(k∈Z),得 θ= 3π - 2 +2kπ(k∈Z),又 0<θ<2π,

-1-

π ∴θ=2. 答案:A 3.如图是函数 y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图像,此函数的解 析式可为( )

π? ? A.y=2sin?2x+3?
? ? ?

2π? ? B.y=2sin?2x+ 3 ?
? ? x π? C.y=2sin?2-3? ? ?

π? ? D.y=2sin?2x-3?
? ? ? ?

T 5π ? π ? π 解析:由题图可知 A=2,2=12-?-12?=2, ∴T=π,ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ),
? π? ? π ? 又 f?-12?=2sin?-6+φ?=2, ? ? ? ?

π π 即-6+φ=2+2kπ,k∈Z, 2π ∴φ= 3 +2kπ(k∈Z),综合选项知选 B.

-2-

答案:B π 4.设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图像向右平移3个单位 长度后,所得的图像与原图像重合,则 ω 的最小值等于( 1 A.3 C.6 B.3 D.9
? ? ??

)

π?? ? ? π 解析:将 f(x)的图像向右平移3个单位长度得 g(x)=cos?ω?x-3??= π ? ? π cos?ωx-3ω?,则-3ω=2kπ(k∈Z),即 ω=-6k(k∈Z).∵ω>0,∴k<0.
? ?

∴当 k=-1 时,ω 有最小值 6. 答案:C 5 . [2015·辽 宁 抚 顺 六 校 联 考 ] 设 函 数 f(x) = Asin(ωx + π π? ? 2π φ)?A>0,ω>0,-2<φ<2?的图像关于直线 x= 3 对称,且周期为 π,
? ?

则 f(x)(

)
? ?

1? ? A.图像过点?0,2? B.最大值为-A C.图像关于(π,0)对称
?5π 2π? D.在?12, 3 ?上是减函数 ? ?

2π 解析:函数的周期为 π,所以 ω =π,解得 ω=2.所以 f(x)=Asin(2x
?5π 11π? 2π 4π 2π +φ),则当 x= 3 时,2x+φ= 3 +φ∈? 6 , 6 ?,因为 x= 3 是函数的 ? ?

π? ? 4π 3π π 对称轴,所以 3 +φ= 2 ,解得 φ=6,所以 f(x)=Asin?2x+6?.图像过点 ? ?

-3-

A? ? ?5π ? ?5π 2π? π ?0, ?,关于点? ,0?对称,最大值是 A.由 x∈? , ?,得 2x+ ∈ 2? 6 ? ?12 ? ?12 3 ? 3π? 3π? ? ? ?π, ?,函数 f(x)=sinx 在区间?π, ?上是减函数,所以函数 f(x)= 2? 2? ? ? π? ? ?5π 2π? Asin?2x+6?在区间?12, 3 ?上是减函数.
? ? ? ?

答案:D π? ? ? π 5π? 6.如图是函数 y=sin(ωx+φ)?ω>0,0<φ<2?在区间?-6, 6 ?上
? ? ? ?

的图像,将 π 该图像向右平移 m(m>0)个单位后,所得图像关于直线 x=4对称, 则 m 的最小值为( π A.12 π C.4 ) π B.6 π D.3

5 π 解析:令 f(x)=y=sin(ωx+φ),由三角函数图像知,T=6π+6=π,
? π ? 2π π 所以 ω =π,所以 ω=2.因为函数 f(x)过点?-6,0?,且 0<φ<2,所以 ? ?

π? ? π π -6×2+φ=0,所以 φ=3,所以 f(x)=sin?2x+3?,将该函数图像向右 ? ? π ? ? 平移 m 个单位后,所得图像的解析式是 g(x)=sin?2x+3-2m?,因为函
? ?

π π π π 数 g(x)的图像关于直线 x=4对称, 所以 2×4+3-2m=2+kπ(k∈Z), 解

-4-

π kπ π 得 m=6- 2 (k∈Z),又 m>0,所以 m 的最小值为6. 答案:B π 7. 函数 f(x)=tanωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线 y=4所得线段
?π? π 长为4,则 f?4?=__________. ? ?

π π 解析:依题意ω=4,∴ω=4.∴f(x)=tan4x.
?π? ∴f?4?=tanπ=0. ? ?

答案:0 8.已知函数 y=g(x)的图像由 f(x)=sin2x 的图像向右平移 φ(0<φ <π)个单位得到, 这两个函数的部分图像如图所示, 则 φ=__________.

π 解析: 函数 f(x)=sin2x 的图像在 y 轴右侧的第一个对称轴为 2x=2, π π π 3π 所以 x=4,8关于 x=4对称的直线为 x= 8 ,由图像可知,通过向右平 3π 17π 17π 3π π 移之后,横坐标为 x= 8 的点平移到 x= 24 ,所以 φ= 24 - 8 =3. π 答案:3

-5-

9.已知函数 f(x)=Mcos(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,
?1? 2 该函数的部分图像如图所示, AC=BC= 2 ,C=90° ,则 f?2?的值为 ? ?

__________. 2 解析:依题意知,△ABC 是直角边长为 2 的等腰直角三角形,因 1 1 2π 此其边 AB 上的高是2,函数 f(x)的最小正周期是 2,故 M=2, ω =2, 1 π ω=π,f(x)=2cos(πx+φ).又函数 f(x)是奇函数,于是有 φ=kπ+2,其
?1? π 1 1 π 1 中 k∈Z.由 0<φ<π,得 φ=2,故 f(x)=-2sinπx,f?2?=-2sin2=-2. ? ?

1 答案:-2 10.[2014· 湖北]某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h) 的变化近似满足函数关系: π π f(t)=10- 3cos12t-sin12t,t∈[0,24). (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降 温? 解析:(1)因为 f(t)=10-2?
? 3 π? ?π π 1 π ? ?=10-2sin? t+ ?, cos t + sin t 12 2 12 ? ?12 3? ? 2

-6-

π? ?π π π π 7π 又 0≤t<24,所以3≤12t+3< 3 ,-1≤sin?12t+3?≤1.
? ?

π? ?π 当 t=2 时,sin?12t+3?=1;
? ?

π? ?π 当 t=14 时,sin?12t+3?=-1.
? ?

于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温. π? ?π 由(1)得 f(t)=10-2sin?12t+3?,
? ?

π? ?π 故有 10-2sin?12t+3?>11,
? ?

π? ?π 1 即 sin?12t+3?<-2.
? ?

7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 6 <12t+3< 6 ,即 10<t<18. 在 10 时至 18 时实验室需要降温. B级 能力提升练

11.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0)的部分 图像如图所示,下列结论:

-7-

①最小正周期为 π; π ②将 f(x)的图像向左平移6个单位,所得到的函数是偶函数; ③f(0)=1;
?12π? ?14π? ④f? 11 ?<f? 13 ?; ? ? ? ? ?5π ? ⑤f(x)=-f? 3 -x?. ? ?

其中正确的是( A.①②③ C.①④⑤

) B.②③④ D.②③⑤

T 7 π π 7 解析:由题图可知,A=2, 4 =12π-3=4?T=π?ω=2,2×12π π? ? 3π π +φ=2kπ+ 2 ,φ=2kπ+3(k∈Z).所以 f(x)=2sin?2x+3??f(0)= 3,
? ?

π? π π? 2π? ? ? ? f?x+6?=2sin?2x+3+3?=2sin?2x+ 3 ?,所以②,③不正确;f(x)的对称
? ? ? ? ? ? ?5π ? kπ π 轴为直线 x= 2 +12(k∈Z),一个对称中心为? 6 ,0?,所以 f(x)的图像关 ? ? ?13π? 12π 13π 13π π 13π 于直线 x= 12 对称, 且 f(x)的最大值为 f? 12 ?,11 - 12 = > 12 ? ? 11×12 ?12π? ?14π? 14π π - 13 = ,所以 f? 11 ?<f? 13 ?,即④正确;设(x,f(x))为函数 f(x) ? ? ? ? 13×12

-8-

π? ? ?5π ? = 2sin ?2x+3? 的图像上任意一点,其关于对称中心 ? 6 ,0? 的对称点
? ? ? ?

π? ?5π ? ? ?5π ? ? -x,-f?x??也在函数 f(x)=2sin?2x+ ?的图像上, ? -x?=-f(x) 即 f 3? ?3 ? ? ?3 ?
?5π ? ?f(x)=-f? 3 -x?,故⑤正确.综上所述,①④⑤正确.选 C. ? ?

π 12.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)的图像在 y 3 ? ? ?x0+ ,-2?(x0>0)上 f(x)分别 轴上的截距为 1, 在相邻两最值点(x0,2), 2
? ?

取得最大值和最小值.若函数 g(x)=af(x)+b 的最大值和最小值分别为 6 和 2,则|a|+b 的值为( A.5 C.7 ) B.6 D.8
? ?

3? T ? 3 解析:由题意知 A=2,2=?x0+2?-x0=2, 2π 2π ∴T=3,即|ω|=3,又 ω>0,∴ω= 3 .
?2π ? ∴f(x)=2sin? 3 x+φ?,又函数 f(x)过点(0,1),代入得 2sinφ=1,而|φ| ? ?

π π <2,∴φ=6. π? π? ?2π ?2π ∴f(x)=2sin? 3 x+6?,g(x)=af(x)+b=2asin? 3 x+6?+b.
? ? ? ?

?2|a|+b=6, 由? ?-2|a|+b=2,
答案:A

?|a|=1, 得? ?b=4,

∴|a|+b=5.

π? π? ? ? 13.已知函数 f(x)=sin?4x+4?+cos?4x-4?.
? ? ? ?
-9-

(1)求函数 f(x)的最大值; (2)若直线 x=m 是函数 f(x)的对称轴,求实数 m 的值. π? π? ? ? 解析:(1)∵f(x)=sin?4x+4?+cos?4x-4?
? ? ? ?

π? ? ?π ? =sin?4x+4?+cos?4-4x?
? ? ? ?

π? ?π ?π ?? ? =sin?4x+4?+sin?2-?4-4x??
? ? ? ? ??

π? ? =2sin?4x+4?.
? ?

∴f(x)的最大值为 2. π π kπ π (2)令 4x+4=kπ+2(k∈Z),则 x= 4 +16(k∈Z). ∵x=m 是函数 f(x)的对称轴, kπ π ∴m= 4 +16(k∈Z). 14.[2014· 山东]已知向量 a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函数 f(x)
?π ? ?2π ? =a· b,且 y=f(x)的图像过点?12, 3?和点? 3 ,-2?. ? ? ? ?

(1)求 m,n 的值; (2)将 y=f(x)的图像向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x) 的图像,若 y=g(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y =g(x)的单调递增区间. 解析:(1)由题意知 f(x)=a· b=msin2x+ncos2x.
?π ? ?2π ? 因为 y=f(x)的图像过点?12, 3?和? 3 ,-2?, ? ? ? ?

- 10 -

π π ? 3 = m sin + n cos ? 6 6, 所以? 4π 4π ? - 2 = m sin + n cos ? 3 3, 解得 m= 3,n=1.

3 m + ? 3=1 2 2 n, 即? 3 1 - 2 =- m - ? 2 2n,

π? ? (2)由(1)知 f(x)= 3sin2x+cos2x=2sin?2x+6?.
? ?

π? ? 由题意知 g(x)=f(x+φ)=2sin?2x+2φ+6?.
? ?

设 y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2), 由题意知 x2 0+1=1,所以 x0=0, 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2). π? ? 将其代入 y=g(x)得 sin?2φ+6?=1,
? ?

π 因为 0<φ<π,所以 φ=6. π? ? 因此 g(x)=2sin?2x+2?=2cos2x.
? ?

π 由 2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z 得 kπ-2≤x≤kπ,k∈Z. π ? ? 所以函数 y=g(x)的单调递增区间为?kπ-2,kπ?,k∈Z.
? ?

- 11 -


赞助商链接
相关文章:
...20 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单...
2015届高考数学大一轮复习 课时训练20 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 理 苏教版_数学_高中教育_教育专区。课时跟踪检测(二十) 函数 y=As...
...函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用...
2015江苏高考数学一轮复习配套练习(含答案) 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用_数学_高中教育_教育专区。江苏高考一轮复习课时训练课时...
...21 函数y=Asin (ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单...
2017届高考数学大一轮总复习 21 函数y=Asin (ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 理_数学_高中教育_教育专区。计时双基练二十一 函数 y=Asin (ω x+φ...
...3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单...
2014届高三数学一轮复习课时跟踪检测 3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014届高三数学一轮复习课时跟踪...
...):3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简...
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识):3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用_数学_高中教育_教育专区。课时跟踪检测(二十一) 函数 y=...
...函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用...
课时跟踪检测(二十一) 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。课时跟踪检测(二十一) 应用 函数 y=Asin(ωx+...
...3.4函数y=Asin(ωx φ)的图像及三角函数模型的简单...
高考数学理 版总复习提升 3.4函数y=Asin(ωx φ)的图像及三角函数模型的简单应用课时提升作业_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考数学理 版总复习提升 ...
...:3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单...
2014版高中数学复习方略课时提升作业:3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用(北师大版)_数学_高中教育_教育专区。圆学子梦想 铸金字品牌 温馨提...
...2015届高考数学一轮复习 20函数y=Asin(ωx+φ)的图...
山东省济宁市2015届高考数学一轮复习 20函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用限时检测_数学_高中教育_教育专区。课时限时检测(二十 ) 函数 y=Asin(...
...函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用...
《三维设计》2015届数学一轮配套课时训练 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。《三维设计》2015届高考数学大一...
更多相关标签: