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2012年高考真题——理科数学(天津卷)解析版


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类)
名师简评 该套试卷整体上来说与往年相比,比较平稳,试题中没有偏题和怪题,在考查了基础知识 的基础上,还考查了同学们灵活运用所学知识的解决问题的能力。题目没有很多汉字的试题, 都是比较简约型的。但是不乏也有几道创新试题,像选择题的第 8 题,填空题的 13 题,解答 题第 20 题,另外别的试题保持了往年

的风格,入题简单,比较好下手,但是做出来并不是很 容易。整体上试题由梯度,由易到难,而且大部分试题适合同学们来解答体现了双基,考查 了同学们的四大思想的运用,是一份比较好的试卷。 本试卷分为第 I 卷(选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟 第I卷 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) i 是虚数单位,复数 z =
7?i 3?i

(A) 2 ? i (B) 2 ? i (C) ? 2 ? i (D) ? 2 ? i 1.B 【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算. 【解析】 z =
7?i 3?i

=

( 7 ? i ) (3 ? i ) (3 ? i )(3 ? i )

=

2 1 ? 7 i ? 3i ? 1 10

=2 ? i

(2)设 ? ? R ,则“ ? = 0 ”是“ f ( x )= cos ( x + ? ) ( x ? R ) 为偶函数”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 2.A 【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定. 【 解 析 】 ∵ ? = 0 ? f ( x ) = c o s x ? () ? R ) 为 偶 函 数 , 反 之 不 成 立 , ∴ “ ? = 0 ” 是 ( + x “ f ( x )= cos ( x + ? ) ( x ? R ) 为偶函数”的充分而不必要条件. (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 当输入 x 的值为 ? 2 5 时, 输出 x 的 值为 (A) ? 1 (B) 1 (C) 3 (D) 9 3.C 【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取,并能根据已给的算法程序进行 运算. 【 解 析 】 根 据 图 给 的 算 法 程 序 可 知 : 第 一 次 x = 4 , 第 二 次 x =1 , 则 输 出 x = 2 ? 1+1= 3 .

(4)函数 f ( x )= 2 x + x 3 ? 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.B 【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想,函数的零点的概念,零点存在定理以及作 图与用图的数学能力. 【解析】解法 1:因为 f (0)=1+ 0 ? 2 = ? 1 , f (1)= 2+ 2 3 ? 2 = 8 ,即 f (0) ? f(1)<0
8

且函数 f ( x )

在 (0,1) 内连续不断,故 f ( x ) 在 (0,1) 内的零点个数是 1.
6

解法 2:设 y1 = 2 x , y 2 = 2 ? x 3 ,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:可知 B 正确.
4

2

5

5

10

2

(5)在 ( 2 x ?
2
4

1 x

) 的二项展开式中, x 的系数为

5

(A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40 5.D 6 【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用,并借助于通项公式分析项 的系数. 8 【解析】∵ T r +1 = C 5r (2 x 2 ) 5 -r ? ( ? x ? 1 ) r = 2 5 -r ( ? 1) r C 5r x 10-3 r ,∴ 10 ? 3 r =1 ,即 r = 3 ,∴ x 的系 数为 ? 4 0 . (6)在△ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,已知 8 b = 5 c , C = 2 B ,则 cosC= (A)
7 25

(B) ?

7 25

(C) ?

7 25

(D)

24 25

6.A 【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与 计算等能力. 【解析】∵ 8 b = 5 c ,由正弦定理得 8 sin B = 5 sin C ,又∵ C = 2 B ,∴ 8sin B =5sin 2 B ,所以
8 sin B =10 sin B cos B ,易知 sin B ? 0 ,∴ c o s B =
4 5

, cos C = cos 2 B = 2 cos 2 B ? 1 =
??? ? ??? ?
???? ????

7 25

.

(7) 已知△ABC 为等边三角形,A B = 2 , 设点 P, 满足 A P = ? A B ,A Q = (1 ? ? ) A C , ? R , Q ? 若 BQ ?CP = ?
1 2

???? ??? ?

3 2

,则 ? =
1? 2 2 1? 2 10 ?3 ? 2 2 2

(A)

(B)

(C)

(D)

7.A 【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基 本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用. 【解析】∵ B Q = A Q ? A B = (1 ? ? ) A C ? A B , C P = A P ? A C = ? A B ? A C , 又∵ B Q ? C P = ?
???? ??? ? 3

???? ????

??? ?

????

??? ?

??? ??? ? ?

????

??? ?

????

,且 | A B |= | A C |= 2 , < A B , A C > = 60 0 , A B ? A C = | A B ?|| A C | cos 60 0 = 2 ,

??? ?

????

??? ???? ?

??? ???? ?

??? ???? ?

2 ???? ??? ? ??? ???? ? ??? ? ??? ???? ? ???? 3 3 2 2 2 ∴ [(1 ? ? ) A C ? A B ]( ? A B ? A C )= ? , ? | A B | + ( ? ? ? ? 1) A B ? A C + (1 ? ? )| A C | = ,所 2 2

以 4 ? + 2 ( ? ? ? ? 1)+ 4 (1 ? ? )=
2

3 2

,解得 ? =

1 2

.

B

P C Q A

(8) m ,n ? R , 设 若直线 ( m ? 1) x + ( n ? 1) y ? 2 = 0 与圆 ( x ? 1) 2 + (y ? 1) 2 =1 相切, m + n 的 则 取值范围是 (A) [1 ?
3 ,1+ 3 ]

(B) ( ? ? ,1 ?

3 ] ? [1+ 3 ,+ ? )

(C) [2 ? 2 2 ,2+ 2 2 ]

(D) ( ? ? ,2 ? 2 2 ] ? [2+ 2 2 ,+ ? )

8.D 【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,重要不等式, 一元二次不等式的解法,并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力. 【解析】∵直线 ( m ? 1) x + ( n ? 1) y ? 2 = 0 与圆 ( x ? 1) 2 + (y ? 1) 2 =1 相切,∴圆心 (1,1) 到直线的 距离为 d =
1 4

|( m ? 1) + ( n ? 1) ? 2| ( m ? 1) + ( n ? 1)
2 2

=1 ,所以 m n ? m ? n ? 1 ? (

m ? n 2

) ,设 t = m ? n ,
2



t ? t +1 ,解得 t ? ( ? ? ,2 ? 2 2 ] ? [2+ 2 2 ,+ ? ) .
2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽 取 30 所学校对学生进行视力调査,应从小学中抽取 所学校,中学中抽取 所学校. 9.18,9 【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样,由题知学校总数为 250 所, 所以应从小学中抽取
150 250 ? 3 0 =1 8 ,中学中抽取 75 250 ? 30=9 .

(10)―个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体积为

m .

3

10. 18+ 9 ? 【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力. 【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体,所以其体积 为: V = 3 ? 6 ? 1+ 2 ?
4 3

? ?(

3 2

) = 18+ 9 ? m .
3

3

(11)已知集合 A = { x ? R || x + 2|< 3} ,集合 B = { x ? R |( x ? m )( x ? 2 )< 0 } ,且 A ? B = ( ? 1, n ) , 则m= , n= . 11. ? 1 , 1 【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质,同时考查绝对值不等式与 一元二次不等式的解法以及分类讨论思想. 【解析】 A = { x ? R || x + 2|< 3} = { x || ? 5< x < 1} ,又∵ A ? B = ( ? 1, n ) , ∵ 画数轴可知 m = ? 1 , =1 . n
? x= 2 pt ,
2

(12)己知抛物线的参数方程为 ?

( t 为参数) ,其中 p > 0 ,焦点为 F ,准线为 l ,

? y = 2 pt,

过抛物线上一点 M 作的垂线,垂足为 E ,若 | E F |= | M F | ,点 M 的横坐标是 3,则 p =

.

12.2 【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义,抛物线的定义及其几何性质. 【解析】 ? ∵
? x= 2 pt ,
2

可得抛物线的标准方程为 y 2 = 2 px ( p > 0) , ∴焦点 F (
p 2 p 2
2

p 2

,0 ) , ∵点 M 的

? y = 2 pt,

横坐标是 3,则 M (3, ?

6 p ) ,所以点 E ( ?
p 2

,?

6 p ) , EF =( 1 4

2

?

p 2

) + (0 ?

2

6p)

2

由抛物线得几何性质得 M F =

+ 3 ,∵ E F = M F ,∴ p + 6 p =

p + 3 p + 9 ,解得 p = 2 .

2

(13) 如图, 已知 AB 和 AC 是圆的两条弦.过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D,过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点E,与 AB 相交于点 F, A F = 3 ,F B =1 ,E F = 长为 .
3 2

,则线段 C D 的

13.

4 3

【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系,相交弦定理,切割线定理, 相似三角形的概念、判定与性质. 【解析】∵ A F = 3 , F B =1 , E F = 又∵BD∥CE,∴
AF AB = FC BD 3 2

,由相交弦定理得 A F ? F B = E F ? F C ,所以 F C = 2 ,
? FC =
2

, BD =

AB AF 8 3

4 3

?2= 4 3

8 3

,设 C D = x ,则 A D = 4 x ,再由切割 ,故 C D =
4 3

线定理得 B D 2 = C D ? A D ,即 x ? 4 x = (
| x ? 1|
2

) ,解得 x =

.

(14)已知函数 y = 围是 14. (0,1) ? (1,4)

x ?1

的图象与函数 y = kx ? 2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范

.

【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质,利用函数图像确定两函数的交点,从 而确定参数的取值范围. 【解析】∵函数 y = kx ? 2 的图像直线恒过定点 B (0, ? 2 ) ,且 A (1, ? 2) , C ( ? 1,0) , D (1,2 ) , ∴ k AB =
?2+2 1? 0
4

= 0 , k BC =

0+ 2 ?1 ? 0

= ? 2 , k BD =

2+ 2 1? 0

= 4 ,由图像可知 k ? (0,1) ? (1,4) .

2

D

C
10 5

O
2

5

10

B
4

A

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
6

(15) (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x )= s in ( 2 x +
8

?
3

)+ s in ( 2 x ?

?
3

)+ 2 c o s x ? 1 , x ? R .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期;
10

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [ ?
12

?
4

,

?
4

] 上的最大值和最小值.

【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为 y = A sin ( ? x + ? ) 的数学模型,再根据此三

角模型的图像与性质进行解题即可. (16) (本小题满分 13 分)现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参 加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏, 掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率: (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: (Ⅲ)用 X , Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? = | X ? Y | ,求随机变量 ? 的 分布列与数学期望 E ? . 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考常 新,对于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成 功转化为古典概型,独立事件、互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性问题,理解 是基础,转化是关键. (17) (本小题满分 13 分)如图,在四棱锥 P ? A B C D 中, P A 丄平面 A B C D , A C 丄 AD ,
A B 丄 B C , ? A B C = 45 , PA = AD = 2 , A C =1 .
0

(Ⅰ)证明 P C 丄 AD ; (Ⅱ)求二面角 A ? P C ? D 的正弦值; (Ⅲ) E 为棱 P A 上的点, 设 满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 3 0 0 , 求 AE 的长. 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试 题相似,但底面是非特殊 的四边形, 一直线垂直于底面的四棱锥问题, 那么创新的地方就是第三问中点 E 的位置是不确 定的,需要学生根据已知条件进行确定,如此说来就有难度,因此最好使用空间直角坐标系 解决该问题为好.

(18)(本小题满分 13 分)已知{ a n }是等差数列,其前 n 项和为 S n ,{ b n }是等比数列,且 a 1 =
b1 = 2 , a 4 + b 4 = 27 , S 4 ? b 4 =10 .

(Ⅰ)求数列{ a n }与{ b n }的通项公式; (Ⅱ)记 T n = a n b1 + a n ?1b 2 + ? + a n b1 , n ? N + ,证明 T n +12 = ? 2 a n +10 b n ( n ? N + ) . 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用,但 方法多样,第二问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空间留

有余地,符合高考命题选拔性的原则.

(19) (本小题满分 14 分)设椭圆

x a

2 2

+

y b

2 2

=1 ( a > b > 0) 的左、右顶点分别为 A,B,点 P 在椭

圆上且异于 A,B 两点, O 为坐标原点. (Ⅰ)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ?
1 2

,求椭圆的离心率;

(Ⅱ)若 | A P |= | O A | ,证明直线 O P 的斜率 k 满足 | k |> 3 . 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 【点评】

(20) (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x )= x ? ln ( x + a ) 的最小值为 0 ,其中 a > 0 . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [0,+ ? ) ,有 f ( x ) ? kx 2 成立,求实数 k 的最小值; (Ⅲ)证明 ?
i =1 n

2 2i ? 1

? ln (2 n +1)< 2 ( n ? N ) .
*

【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没 有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做 到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行.


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