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2014届高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 12.2 古典概型


2014 届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂 内外+限时训练) :12.2
一、选择题 1.(2013·金华十校联考)同时抛掷三枚均匀的硬币,出现一枚正面,二枚反面的概率 等于( A. 1 4
3

古典概型

) 1 B. 3 3 C. 8 1 D. 2

解析:共 2 =8 种情

况,符合要求的有(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)3 3 种,故 P= . 8 答案:C 2. (2013·滨州调研)若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、 作为点 P 的横、 n 纵坐标, 则点 P 在直线 x+y=5 下方的概率为( A. 1 1 B. 6 4 1 C. 12 1 D. 9 )

解析:试验是连续掷两次骰子,故共包含 6×6=36 个基本 事件.事件:点 P 在 x+y 6 =5 下方,共包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共 6 个基本事件,故 P= = 36 1 . 6 答案:A 3.(2013·马鞍山联考)连续掷两次骰子分别得到点数 m、n、则向量(m,n)与向量(- 1,1)的夹角 θ >90°的概率是( A. 5 7 B. 12 12 1 1 C. D. 3 2 )

解析:由题意(m,n)·(-1,1)=-m+n<0,故 m>n, 基本事件总共有 6×6=36 个, 符合要求的有(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,4), ?, (6,1), ?, (6,5), 15 5 共 1+2+3+4+5=15 个,故 P= = . 36 12 答案:A 4.如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连接成一个系统.当 K 正常工作且 A1、A2 至少有 一个正常工作时,系统正常工作,已知 K、A1、A2 正常工作的概率依次为 0.9、0.8、0.8, 则系统正常工作的概率为( )

1

A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 解析:A1、A2 同时不能工作的概率为 0.2×0.2=0.04,所以 A1、A2 至少有一个正常工作 的概率为 1-0.04=0.96,所以系统正常工作的概率为 0.9×0.96=0.864.故选 B. 答案:B 5.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再 赢两局才能得冠军.若两队胜 每局的概率相同,由甲队获得冠军的概率为( A. 1 3 B. 2 5 2 C. 3 3 D. 4 )

1 解析:方法 1:以甲再打的局数分类讨论,若甲再打一局得冠军的概率为 p1,则 p 1= , 2 1 1 1 3 若甲打两局得冠军的概率为 p2,则 p2= × = ,故甲获得冠军的概率为 p1+p2= ,故选 D. 2 2 4 4 1 1 1 方法 2:先求乙获得冠军的概率 p1,则 p1= × = ,故甲获得冠军的概率为 p=1-p1 2 2 4 3 = ,故选 D. 4 答案:D 2 3 6. (2013·银川质检)将一骰子抛掷两次, 所得向上的点数分别为 m 和 n, 则函数 y= mx 3 -nx+1 在[1,+∞)上为增函数的概率是( A. 1 5 B. 2 6 3 C. 4 2 D. 3 )

2 3 2 解析:由题可知,函数 y= mx -nx+1 在[1,+∞)上单调递增,所以 y′=2mx -n≥0 3 在[1,+∞)上恒成立,所以 2m≥n,则不满足条件的(m,n)有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), 2 3 (2,5),(2,6)共 6 种情况,所以满足 条件的共有 30 种情况,则函数 y= mx -nx+1 在[1, 3 30 5 +∞)上单调递增的概率为 = . 36 6 答案:B 二、填空题 7.(2013·六安调研)若集合 A={a|a≤100,a=3k,k∈N },集合 B={b|b≤100,b=
2
*

2k,k∈N },在 A∪B 中随机地选取一个元素,则所选取的元素恰好在 A∩B 中的概率为 __________. 解析:A={3,6,9,?,99},B={2,4,6,?,100},

*

A∩B={6,12,18,?,96}.
∵A∩B 中有元素 16 个,A∪B 中元素共有 33+50-16=67 个, 16 ∴概率为 . 67 16 答案: 67 8.(2013·杭州段考)有一质地均匀的正四面体,它的 四个面上分别有 1,2,3,4 四个数 字,现将它连续 抛掷 3 次,其底面落于桌面,记三次在正四面体底面的数字和为 S,则“S 恰好为 4”的概率为__________. 解析:本题是一道古典概型问题.用有序实数对(a,b,c)来记连续抛掷 3 次得到的数 字,总事件中含 4×4×4=64 个基本事件,取 S=a+b+c,事件“S 恰好为 4”中包含了 (1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)三个基本事件,则 P(S 恰好为 4)= 答案: 3 64

n? A? 3 = . n? Ω ? 64

9.(2012·江苏)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数列, 若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是__________. 解析:由题意易知,这 10 个数是 1,-3,(-3) ,(-3) ,(-3) ,(-3) ,(-3) , 6 3 7 8 9 (-3) ,(-3) ,(-3) ,所以所抽取的数小于 8 的概率等于 = . 10 5 3 答案: 5 三、解答题 10.(2013·福州质检)某教室有 4 扇编号为 a、 、c、d 的窗户和 2 扇编号为 x、y 的门, b 窗户 d 敞开,其余门和窗户均被关闭,为保持教室空气流通,班长在这些关闭的门和窗户中 随机地敞开 2 扇. (1)记“班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开 2 扇”为事件 A,请列出 A 包含的基 本事件; (2)求至少有 1 扇门被班长敞开的概率. 解析:(1)事件 A 包含的基本事件为:{a,b},{a,c},{a,x},{a,y},{b,c},{b,
2 3 4 5 6

x},{b,y},{c,x},{c,y},{x,y},共 10 个.
(2)记“至少有 1 扇门被班长敞开”为事件 B. ∵事件 B 包含的基本事件有{a,x},{a,y},{b,x},{b,y},{c,x},{c,y},{x,
3

y},共 7 个.∴P(B)= .
11 .(2013·襄阳调研)已知 A、B、C 三个箱子中各装有 2 个完全相同的球,每个箱子 里的球,有一 个球标着号码 1,另一个球标着号码 2,现从 A、B、C 三个箱子中各摸出 1 个 球. (1)若用数组(x,y,z)中的 x、y、z 分别表示从 A、B、C 三个箱子中摸出的球的号码, 请 写出数组(x,y,z)的所有情形,并回答一共有多少种; (2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和,猜中有奖,那么猜什么数获奖的可能性 最 大?请说明理由. 解析: (1)数组(x, , )的所有情形为: y z (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2),(2,2,1),(2,2,2),共 8 种. (2)摸出的三个球号码的和可能为 3,4,5,6, 故记“所摸出的三个球号码之和为 i”为事 件 Ai(i=3,4,5,6), 易知,事件 A3 包含 1 个基本事件,事件 A4 包含 3 个基本事件,事件 A5 包含 3 个基本事 件,事件 A6 包含 1 个基本事件, 1 3 3 1 ∴P(A3)= ,P(A4)= ,P(A5)= ,P(A6)= , 8 8 8 8 故所摸出的两球号码之和为 4、5 的概率相等且最大.即猜 4、5 获奖的可能性最大. 12. (2013·琼海模拟)某观赏鱼池塘中养殖大量的红鲫鱼与金鱼, 为了估计池中两种鱼 数量情况,养殖人员从池中捕出红鲫鱼和金鱼各 1 000 只,并给每只鱼作上不影响其存活的 记号,然后放回池内,经过一定时间后,再从池中随机捕出 1 000 只鱼,分别记录下其中有 记号的鱼数目,再放回池中,这样的记录作了 10 次,将记录数据制成如下的茎叶图.

7 10

(1)根据茎叶图分别计算有记号的两种鱼的平均数,并估计池塘中两种鱼的数量; (2)随机从池塘中逐只有放回地捕出 3 只鱼,求恰好是 1 只金鱼、2 只红鲫鱼的概率. 解析:(1)由茎叶图可求得红鲫鱼数目的平均数为 20; 金鱼数目的平均数为 20. 由于两种鱼数目的平均数均为 20,故可认为池中两种鱼的数目相同,设池中两种鱼的

4

总数目为 x 只,则有 40 2 000 = ,得 x=50 000. 1 000 x ∴可估计池中的红鲫鱼与金鱼的数量均为 25 000 只. (2)由于是用随机逐只有放回地捕出 3 只鱼,每一只鱼被捕到的概率相同,用 x 表示捕 到的是红鲫鱼,y 表示捕到的是金鱼,基本事件总数有 8 种:(x,x,x),(x,x,y),(x,

y,x),(x,y,y),(y,x,x),(y,x,y),(y,y,x),(y,y,y).
3 恰好是 1 只金鱼,2 只红鲫鱼的事件有 3 个,所求概率为 P= . 8

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