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解析几何2014-2015期末试卷(A卷)


杭州师范大学理学院 2014-2015 学年第一学期期末考试

《解析几何》试卷(A)
题号 得分 得分 一 二 三 四 总分

一、填空(共 15 分,每空格 3 分) ? ? ? ? ? ? ? ? 1、 设 有 向 量 a, b 满 足 | a | ? 2 ,b | ?| 6 ab ,? ? 2, 则 以 a, b 为 边

的 平 行 四 边 形 的 面 积
为 。 。

2、 点 A(1, 0, ?3) 到平面 x ? y ? z ? 1 ? 0 的距离为

姓名: 线

3、 经过直线 ? 4、 直线

? x ? y ?1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 z 平行的平面方程是 ?x ? y ? z ? 2 ? 0



x ? 2 y ? 11 z ? 1 ? ? 与平面 3x ? 2 y ? z ? 15 ? 0 的位置关系是 3 4 1
? x2 ? y2 ? z ? 0 ? z ? x ?1
对 yOz 坐标面的投影柱面是 。 得分





5、 曲线 ?

二、选择(共 21 分,每小题 3 分)
1、 下列叙述错误的是 装 (A)平面上三个向量线性相关; (C)双曲抛物面是直纹面; 学号: 2、 下列叙述正确的是 (A) (a, b , c ) ? (c , b , a) ; ( (B)三向量的向量积具有结合律; (D)单叶双曲面是直纹面。 ( ) )

? ? ?

? ? ?

(B)

x2 y 2 z 2 + ? ? ?1 是直纹曲面; a 2 b2 c2

? ? ? ? ? ? (C)三向量 a 、 b 、 c 的混合积等于以 a 、 b 、 c 为棱的平行六面体的体积;

(D)如果 a ? 0 且 a ∥ b ,则存在数 ? 使得 b ? ? a 。 3、 向量 ? ? (0,1,3), ? ? (4, 2,3), 若 ? 与 ? , ? 均垂直,且与 z 轴所成角为锐角,|? |=26 ,则向量

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

? ? ??

? ? 的坐标为





班级:

《解析几何》试题(第 1 页 共 4 页)

(A) (?6, 24, ?8) 4、 直线

(B) (6, 24,8)

(C) (?6, ?24,8)

(D) (6, ?24,8) ( (D) )

x y ?1 z ? 2 ? ? 与平面 x ? y ? 1 ? 0 的夹角为 1 0 1 ? ? 2? ? (A) (B) 或 (C) 3 3 3 6

? 5? 或 6 6


5、 平面 ?1 ( x ? y ? 2z ? 2) ? ?2 (3x ? 4 y ? 2z) ? 0 , 如在 z 轴上的截距为 2, 则 ?1 : ?2 ?( (A) 2:3 (B)3:2 (C)-2:3 (D)-3:2

6、 点 M (2, ?1,1) 和坐标原点在平面 ?1 : x ? 3 y ? 2 z ? 1 ? 0 和 ? 2 : 3x ? 11y ? z ? 2 ? 0 的 ( (A)同一个二面角内; (B)相邻二面角内; (C)对顶二面角内; (D)不能确定。



? y2 z2 ? ? ?1 7、 曲线 ? b 2 c 2 绕 y 轴旋转所得到的曲面叫做 ? x?0 ?
(A)单叶双曲面 (B)双叶双曲面 (C)圆锥面 (D)圆柱面





三、计算题(共 50 分)

得分

1、已知四面体 ABCD 的三个顶点为 A(1, 0,1) , B(?1,1,5) , C (?1, ?3, ?3) , D(0,3, 4) ,求此四面 体的体积。 (7 分)

2、求通过直线 ?

?x ? 5 y ? z ? 0 ? 且与平面 ? : x ? 4 y ? 8z ? 12 ? 0 成 角的平面方程。 (7 分) 4 ? x?z?4?0

《解析几何》试题(第 2 页 共 4 页)

3、已知向量 a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直, a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求向量 a, b 的夹角。 (6 分)

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

4、已知异面直线 l1 : ?

?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 , l2 : ? ,求 l1 和 l2 间的距离及公垂线方程。 (8 分) ? z ?1 ? 0 ? z ?1 ? 0

5、求单叶双曲面

x2 y 2 z 2 ? ? ? 1 的过点 M (2,3, ?4) 的直母线方程。 (8 分) 4 9 16

6、过点 A(2, ?1,3) 与直线 l :

x ?1 y z ? 2 ? ? 相交且垂直的直线方程。 (7 分) ?1 0 2

《解析几何》试题(第 3 页 共 4 页)

7、求顶点为 A(1, 2, 4) , 轴与平面 2 x ? 2 y ? z ? 11 ? 0 垂直, 且经过点 P(1,0, ?1) 的圆锥面方程 (7 分)

得分

四、证明题(共 14 分)
1、 (本题 7 分)设点 O 是平面上正多边形 A 1A 2?A n 的中心,证明: OA 1 ? OA 2 ? ? ? OA n ?0

???? ???? ?

???? ?

?

2、 (本题 7 分)证明:设点 M 在三角形 ABC 内(包括三边) ,则存在非负实数 k , l , m 使得

???? ? ??? ? ??? ? ??? ? OM ? kOA ? lOB ? mOC, k ? l ? m ? 1 。

《解析几何》试题(第 4 页 共 4 页)


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