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17-2.5等比数列的前n项和(2)


新授课:2.5 等比数列的前 n 项和(二) 一、【教学目标】 重点:进一步熟悉掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式的理解、推导及应用. 难点:灵活应用等比数列及其前 n 项和公式解决有关问题. 知识点:综合运用等比数列的定义、通项公式、性质、前 n 项和公式解决相关的问题. 能力点:培养学生类比、概括等思维能力. 教育点:通过公式运用,优化学生的思维品质. 自主探究点:对等

差数列和等比数列公式性质之间的类比. 训练(应用)点: 灵活运用等比数列前 n 项和公式解决一些综合问题. 考试点:等比数列的通项公式及前 n 项和公式的理解与运用. 易错点:实际问题中题意的理解不清,书写不规范,等比数列前 n 项和公式应用没注意讨论. 易混点:等差与等比有关公式性质的混淆使用. 拓展点:综合等差数列与等比数列的相关公式、性质进行求解. 二、【引入新课】我们先来看这样一个问题:如图所示,画一个边长为2cm的正方形,再将这个正方形各 边的中点相连得到第2个正方形, 依次类推一共画了7个正方形,求: (1)第 3 个正方形的边长; (2)第 7 个正方形的面积; (3)这 7 个正方形的面积之和. 问题 1:第一个正方形的边长与第二个正方形的边长有什么关系?你发现了什么规律? 生:第二个正方形的边长是第一个的

2 倍,而且所有正方形的边长构成一个等比数列,不妨设为 ?an ? ; 2
1 倍,而且所有正方形的面积也构成一个等比数列,不妨设为 ?bn ? ; 2

问题 2:第一个正方形的面积与第二个正方形的面积有什么关系?你发现了什么规律? 生:第二个正方形的面积是第一个的

问题 3:怎样求这 7 个正方形的面积之和? 生:就是求等比数列 ?bn ? 的前 7 项和. 带领学生复习回顾:等比数列的定义,通项公式以及前 n 项和公式. 【设计意图】通过求面积问题,让学生感受一些实际问题,可以转换成数列,借助数学问题进行求解,同 时也想通过这个题回顾上节课所学的等比数列的相关内容,便于求解后面问题. 三、【探究新知】 探究一、等比数列前 n 项和公式的实际应用: 例 1 某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%,那么从今年起, 大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位)?( lg1.6 ? 0.20,lg1.1 ? 0.04 ) 师:结合数列,怎么理解“平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%”呢? 生:如果把每年的销售量看成是一个数列,那么这个数列就是一个等比数列. 课件展示过程:解:根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同.所以,从今年起,每年的销售量

组成一个等比数列 ?an ? ,其中 a1 ? 5000, q ? 1 ? 10% ? 1.1, Sn ? 30000 于是得到

5000(1 ? 1.1n ) ? 30000 整理,得 1.1n ? 1.6 1 ? 1.1

两边同时取对数,得 n lg1.1 ? 1g1.6 将条件中的数据带入,得 n ?

lg1.6 0.20 ? ? 5 (年) lg1.1 0.04

答:大约 5 年可以使总销量达到 30000 台. 教师点评:利用数学问题求解实际问题,得先将实际问题转换成数学问题,借助数学知识求解,最后还得 回到解决实际问题.已知 a1 , q, Sn 求 n 是上节课所学的“知三求二”的解方程思想,其中求指数时,指数化 对数的运算也值得我们注意. 【设计意图】体会借助数列求解实际问题的思路,及规范步骤.同时利用等比数列通项公式和前 n 项和公 式进行“知三求二”的解方程(组),加强计算能力训练. 变式练习:银行按规定每经过一定时间(贷款利率中的时间间隔)结算贷款的利息一次,结算后将利息并入 本金,这种计算利息的方法叫复利.现在某企业进行技术改造,打算一次性贷款 10 万元,第一年便可获 利 1 万元,以后每年比前一年增加 30%的利润,实施期限是十年,到期一次性归还本息,若银行贷款利息 按年息 10%的复利计算,则该企业 10 年后可纯获利多少?(参考数据: 1.1 ? 2.60 , 1.3 ? 13.80 )
10 10

解:根据题意,每年比前一年增加 30%的利润,所以从第一年起,每年的获利组成一个等比数列 ?an ? ,其 中 a1 ? 1, q ? 1 ? 30% ? 1.3, n ? 10 ,10 年后获得的利润为 S10 =

1-1.310 ? 42.66 (万元) 1-1.3

同时,银行贷款利息按年息 10%的复利计算,所以从第一年起,每年的本利和也组成一个等比数列 ?bn ? , 其中 b1 ? 10 (1+10%) =11, q ? 1 ? 10% ? 1.1, n ? 10 , 10 年后需要缴纳的利息为 b10 =b1q9 ? 11?1.19 ? 10 ?1.110 ? 26.0 (万元) 10 年后获得的纯利润大约为 42.66 ? 26.0 ? 16.66 (万元) 答:10 年后获得的纯利润大约为 16.66 万元. 探究二、特殊数列求和(分组求和) 例 2 求和 (a ?1) ? (a ? 2) ? ? ? (a ? n) .
2 n

师:这能看成一个等比数列求和吗?(不能)观察数列,我们该怎样求和? 生:括号内前面那个数可以构成一个等比,后面的数可以构成等差,只要拆开,分组求和即可. 师: a, a ,?, a 一定是一个等比数列吗?它的求和需要注意那些问题? 教师在黑板板书规范过程: 解: (a ?1) ? (a ? 2) ? ? ? (a ? n) = (a ? a ? ? ? a ) ? (1 ? 2 ? ? ? n)
2 n 2 n 2 n

n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 当 a ? 1 时,原式= n ? (1 ? 2 ? ? ? n) = ? 2
当 a ? 0 时,原式= ?(1 ? 2 ? ? ? n) = ? 当 a ? 0且a ? 1时,原式=

a(1 ? a n ) n(n ? 1) ? 1? a 2
n(n ? 1) 2

综上所述,当 a ? 1 时,原式= ?

a(1 ? a n ) n(n ? 1) ? 当 a ? 1 时,原式= 1? a 2
点评:这种由等差或等比数列的对应项相加或相减构成的新数列的求和,我们可以借助分组求和. 【设计意图】体会分组求和的求解过程,并强调含参数的等比数列的求和需要注意分类讨论.规范解题步 骤,强调最后一步的综上所述不能少. 探究三、等比数列前 n 项和的有关性质 例 3 已知等比数列 ?an ? ,前 n 项和为 Sn , S5 ? 10 , S10 ? 50 ,试求出 S15 . 方法一:解方程组. 解:设数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ,则 (1)当 q ? 1 时, S5 ? 5a1 ? 10, S10 ? 10a1 ? 50 ,无解 (2)当 q ? 1 时, S5 ?

a1 (1 ? q5 ) a (1 ? q10 ) ? 10, S10 ? 1 ? 50 1? q 1? q

两式相除得:

a 10 1 ? q10 ? 5 ,得到 1 ? q5 ? 5 ? q5 ? 4 , 1 ? ? 5 1? q 3 1? q

(介绍:整体法思想,没必要具体求出 a1 , q 的值) 则 S15 ?

a1 (1 ? q15 ) ? 210 1? q

思考:在等差数列 ?an ? 中,前 n 项和为 Sn ,则我们有这样的性质: Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,? 也构成一个 等差数列.类比在等比数列中,是否也有这样的性质呢? 学生在草纸上完成分析过程,用实物展台展示一位同学的过程: 当 q ? 1 时,

Sn ? S2n ? Sn ? S3n ? S2n ? na1 ,显然是等比数列.
a1 (1 ? q n ) 1? q

当 q ? 1 时, Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ?

S2 n ? Sn ? an?1 ? an? 2 ? ? ? a2 n ?

an?1 (1 ? q n ) a (1 ? q n ) , S3n ? S2 n ? a2 n ?1 ? a2 n ? 2 ? ? ? a3n ? 2 n?1 1? q 1? q

? an?12 ? a1a2n?1 ,

? Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,

也是一个等比数列,即 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,? 也是一个等比数列. 提问:你能用这个性质从新解答例 3 吗? 方法二:等比数列的前 n 项和性质 解:由等比数列的前 n 项和性质可知, S5 , S10 ? S5 , S15 ? S10 也是等比数列,

(S10 ? S5 )2 ? S5 (S15 ? S10 )
把 S5 ? 10 , S10 ? 50 带入,得 S15 ? 210 【设计意图】不同角度的求解加强对等比数列的前 n 项和的理解,借助类比的思想,由等差数列的性质类 比等比数列的性质,感受等差数列与等比数列之间的联系. 变式练习:等比数列 {an } 中, S2 ? 7,S6 ? 91,求S4 . 解:由等比数列的性质知, S2,S4 -S2,S6 -S4 成等比数列
2 2 ,即 (S4 -7) =7 ( 91-S4),S4 =28或S4 =-21 (S4 -S2) =S ( 2 S6 -S4)

(师:两解都成立吗?) 检验, S2 ?

a1 (1 ? q 2 ) a (1 ? q 6 ) ? 7, S6 ? 1 ? 91 两式相除得: 1 ? q2 +q4 ? 13 ? q2 ? 3,(q2 ? ?4舍) 1? q 1? q

a1 7 a (1 ? q 4 ) ? ? , S4 ? 1 ? 28 1? q 2 1? q
【设计意图】通过这个练习的训练,感受两种方法各有利弊,合理使用. 四、【课堂小结】 知识方面: 1、在解决实际问题的时候,注意根据题目的意思建立等比数列模型,转化为能用公式解决的问题; 2、运用等比数列求和公式的时候,一定要对公比是否为 1 进行检查,注意分类讨论; 3、等比数列和等差数列在很多方面是可以进行类比的. 思想方面:建模思想,类比思想. 五、【布置作业】必做题: 1、等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S10 =10, S 20 =30,则 S 30 =( A.70 A.2
n+1



B.90
2

C.100
2

D.120
n-1 n

2、数列 1,1+2,1+2+2 ,?,(1+2+2 +?+2 -n B.2
n+1

),?前 n 项和等于( )

-n-2
n

C.2 -n

n

D.2

3、若等比数列{an}中, Sn ? m3 ? 1, 则实数 m=

. .

4、等比数列{an}共 2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大 80,则公比 q = 木材存有量翻两番,求每年砍伐量 x.(取 lg2=0.3).

5、某林场原有森林木材量为 a,木材每年以 25%的增长率生长,而每年砍伐的木材量为 x,为使第 20 年末

选做题: 2 n-1 1、等差数列{an}中 a1=1,d=2,依次抽取这个数列的第 1,3,3 ,?,3 项组成数列{bn},求数列{bn}的 通项和前 n 项和 Sn.
2 2 2 2、在等比数列 {an } 中,已知对 n ? N ? , a1 ? a2 ? ?? an ? 2n ? 1 ,求 a1 . ? a2 ? ? ? an

六、【教后反思】 亮点:首先是强调了实际问题解题的步骤规范性,这是很多学生容易忽略的地方.其次,教案设计有一定 的梯度性,先由实际问题入手,回顾前面所学公式,再研究分组求和,深化对公式的认识,最后再研究性 质,并通过与等差数列的类比,加深对等比数列前 n 项和的理解. 建议:建议教师板书三个例子的时候注意书写的规范性,学生完成变式练习可用实物展台展示来一起探究 正确性和规范性. 弱项:整个教案设计很平,让学生自己思考探究的地方比较少,对于一些内容拓展的不够. 七、【板书设计】

2.5.1 等比数列的前 n 项和(二)

复习回顾: 等比数列定义: 通项公式: 前 n 项和公式:

例1

例 3 (方法一)

变式练习: 例2

(方法二) 变式练习:


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