当前位置:首页 >> 数学 >>

【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十一章 第三节坐标系 理


第三节 坐 标



知识梳理 一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ :?
? ?x′=λ ?y′=μ ?

x,λ >0, y,μ >0,



作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸 缩变换. 二、极坐标系的概念 1.极坐标系.

如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴;再 选定一个长度单位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建 立了一个极坐标系. 注意: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数 轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可 .但极坐标系和平面直角坐标系都 是平面坐标系. 2. 极坐标. 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ρ ;以极轴 Ox 为 始边,射线 OM 为终边的角∠xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ .有序数对(ρ ,θ )叫做点 M 的极 坐标,记作 M(ρ ,θ ). 一般地,不作特殊说明时,我们认为 ρ ≥0,θ 可取任意实数. 特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为(0,θ )(θ ∈R),和直角坐标不同,平面内一 个点的极坐标有无数种表示.

如果规定 ρ >0,0≤θ <2π ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ ,θ ) 表示;同时,极坐标(ρ ,θ )表示的点也是唯一确定的. 三、极坐标和直角坐标的互化 1.互化条件:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标 系中取相同的长度单位,如图所示: 2.互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y ),极坐标是(ρ ,
1

θ )(ρ ≥0),于是极坐标与直角坐标的互化公 式如表: 点M 直角坐标(x,y)
2

极坐标(ρ ,θ )
2 2

互化公式

?x=ρ cos θ , ? ? ?y=ρ sin θ ?

ρ = x +y , ? ? ? y ?tan θ =x x ?

在一般情况下,由 tan θ 确定角时,可根据点 M 所在的象限取最小正角. 四、常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为 r 的圆 ρ =r(0≤θ <2π ) π π ρ =2rcos θ ?- ≤θ < ? ? 2 2? ρ =2rsin θ (0≤θ <π ) (1) θ =α (ρ ∈R)

圆心为(r,0),半径为 r 的圆 圆心为?r, π? ,半径为 r 的圆 2?

?

过极点,倾斜角为 α 的直线 (2)θ =α (ρ ≥0)和 θ =π +α (ρ ≥0) 过点(a,0),与极 轴垂直的直线 过点?a, π? ,与极轴平行的直线 2?

ρ cos θ =a?-

π π <θ < ? ? 2 2?

?

ρ sin θ =a(0<θ <π )

基础自测 1.在极坐标系中,圆 C:ρ =10cos θ 和直线 l:3ρ cos θ -4ρ sin θ -3 0=0 相 交于 A,B 两点,则线段 AB 的长是________. 解析:分别将圆 C 和直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程:圆 C:x2 +y2 =10x,即(x 2 2 -5) +y =25,圆心 C(5,0).直线 l:3x-4y-30=0. |15-0-30| 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= =3 .所以|AB|=2 25-d2 =8. 5 答案: 8 2.在极坐标系中,过圆 ρ =4cos θ 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ________________. 解析:圆的直角坐标方程为 x +y -4x=0,圆心为(2,0),过该点的直线的极坐标方程 为 ρ cos θ =2. 答案: ρ cos θ =2 π? , 点 P 是曲线 ρ sin2 θ =4cos θ ? 2? 上任一点,设点 P 到直线 ρ cos θ +1=0 的距离为 d,则|PA|+d 的最小值为________. 3. (2013·广州二模)在极坐标系中, 已知点 A?1,
2 2

2

解析: ρ sin2 θ =4c os θ 的直角坐标方程为 y2 =4x,它是抛物线,焦点为 F(1,0), π 准线为 x+1=0,即直线 ρ cos θ +1=0,点 A?1, ?是直角坐标为 A(0,1).根据抛物线 ? 2? 的定义,d=|PF|,所以|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|= 2. 答案: 2 π 4.已知曲线 C1 ,C2 的极坐标方程分别为 ρ cos θ =3,ρ =4cos θ ρ ≥0,0≤θ < , 2 则曲线 C1 ,C2 交点的极坐标为________.

? ?ρ cos θ =3, 解析:联立解方程组? ?ρ =4cos θ , ?

? ? ρ =2 3, π ρ ≥0,0≤θ < ,解得? π 2 θ = , ? ? 6

即两

曲线的交点为 2 3, 答案: 2 3, π 6

π . 6

1. (2013·北京卷)在极坐标系中, 点?2,

?

π? 到直线 ρ sin θ =2 的距离等于________. 6?

π? 对应直角坐标系中坐标为( 3, 1), 极坐标系直线 ρ sin θ 6? =2 对应直角坐标系中直线方程为 y=2,所以点到直线 y=2 的距离为 d=1. 答案: 1

解析:极坐标系中点?2,

?

2.(201 3·天津卷)已知圆的极坐标方程为 ρ =4cos θ ,圆心为 C,点 P 的极坐标为 π ?4, ?,则|CP|=________________. ? 3? 解析:由 ρ =4cos θ 得:ρ 2 =4ρ cos θ ,化为直角坐标方程得 x2 +y2 =4x,即(x- 2 2) +y =4, π 圆心 C(2,0),点 P?4, ?的直角坐标为 P(2,2 3). ? 3? 由两点间距离公式得 |CP|=2 3.
2

答案: 2 3

1.(2013·深圳二模)在极坐标系中,已知两圆 C1 :ρ =2cos θ 和 C2 :ρ =2sin θ , 则过两圆圆心的直线的极坐标方程是____________. 解析:两圆的直角坐标方程分别为 x2 +y2 -2x=0,x2 +y2 -2y=0,两圆的圆心分别为 (1,0),(0,1),过这两点的直线方程为 x+y-1=0,化为极坐标方程为 ρ cos θ +ρ sin θ -1=0. 答案: ρ cos θ +ρ sin θ -1=0
3

2. (2013·揭阳二模)在极坐标 系中, O 是极点, 直线 l 过圆 C: ρ =2 2cos?θ -

?

π? 的 4?

圆心 C,且与直线 OC 垂直,则直线 l 的极坐标方程为__________. π? 2 2 化为直角坐标方程为 x +y -2x-2y=0,圆心 C 的坐标 4? 为(1,1), 与直线 OC 垂直的直线方程为 x+y-2=0, 化为极坐标方程为 ρ cos θ +ρ sin θ π? ? ? ? -2=0 也可以写成ρ cos θ - = 2 . ? ? 4? ? π 答案: ρ cos θ +ρ sin θ -2=0?也可以写成ρ cos θ ? θ - ? = 2 ? ? ? 4? ? 解析:把 ρ =2 2cos θ -

? ?

4


赞助商链接
相关文章:
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 ...
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 近三年广东高考中对本章考点考查的情况 题号 赋分 所考查的知识点 3 5 向量平行、垂直、数量积运算 向量坐标形式...
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 ...
第二节 直线与圆的位置关系 知识梳理 一、与圆有关的角的概念 1.圆心角:顶点在圆心,两边和圆相交的角叫做圆心角(如图 1 中的∠AOB). 2.圆周角:顶点在圆...
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 ...
第三节 圆的方程 掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. 知识梳理 一 、圆的标准方程 设圆心 C 坐标为(a,b),半径是 r,则圆 C 的标准方程是...
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第一节...
【金版学案】2015 届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七 章 第一节直线的...空间直角坐标系,该部分内容 是整个解析几何的基础, 在解析几何的知识体系中占有...
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 ...
第三节 平面向量的数量积 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积...
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 ...
第十一节 轨迹方程的求法 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 知识梳理 一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念 在直角坐标系中, 如果某曲线 C(看作...
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 ...
第二节 基本算法语句 理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、 循环语句的含义. 知识梳理 一、各种程序设计语言中都包含下列基本的算法...
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 ...
熟练掌握三类圆锥曲线的标准方程与几何性质,注意数形结合思想方法的运用. 第七章 平面解析几何 第一节 直线的斜率与直线方程 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,...
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第九章 第一节...
【金版学案】2015 届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第九章 第 一节算法的...把样本数据表 示的点在平面直角坐标系中作出, 从而得到散点图, 如果这些点...
【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 ...
能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合 的解释. 4. 会用样本的频率分布估计总体分布, 会用样本的基本数字特征估计总 体的基本数字...
更多相关标签: