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2013届高考数学知识点复习测试题12


第3讲

两角和与差及二倍角的三角函数

★知 识 梳理
1 两角和与差的三角函数公式
sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? ? cos? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan(? ? ? ) ?

tan ?

? tan ? 1 ? tan ? tan ?

2.二倍角公式
sin 2? ? 2sin ? cos ? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? = 2cos2 ? ? 1= 1 ? 2sin 2 ?

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

3.半角公式
sin 2 1 ? cos? ? 1 ? cos? , cos2 ? , 2 2 2 2 ? sin ? 1 ? cos? tan ? ? 2 1 ? cos? sin ?

?

?

tan 2

?
2

?

1 ? cos? 1 ? cos?

★重 难 点 突 破

1.重点:运用三角公式对式子进行等价变形,处理化简、求值和恒等 式证明等问题

2.难点:利用公式消除等式两边的差异,有目的地化繁为简,准确合 理的使问题获解。 3.重难点:通过审题分析已知条件和待求结论之间差异,灵活应用所 学公式进行求值证明。 (1)两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函 数的运算规律 问题 1。不查表求值: 解法一
s (5??) cs5? i 8 i 1? 8 ?o ? s ? n 1 n 原式 ? ? ? cs 5? ) s 1?? i 8 o1 8 ?i 5 s ? ( n n

sn ? ? o1 ? ?sn ? i 7 cs 5 i 8 =_______________ c s ? ? i 1 ? ?sn ? o7 sn 5 i 8

?

sin1 ? ?c s8 5 o ? ? tan15? ? tan(45? ? 30? ) ? ? c s1 ?c s8 o 5 o
3 3 ? 3? 3 ? 2 ? 3 ? 3 3? 3 1? 3 1?

解法二
1 sin 7? ? (sin 23? ? sin 7? ) 2 原式 ? 1 cos 7? ? (cos 23? ? cos 7? ) 2 ? sin 23 ? sin 7? ? cos 23? ? cos 7? 2sin15? cos8? ? 2 cos15? ? cos8? ? tan15? ? …(余同解法一)

(2)准确估算角的范围 问题 2. 已知 tan? tan?是方程 x2+3
3 x+4=0 的两根, 若?, ??(-

? ?

, 2 2

),

则?+?=( A. ?
3

) B. ? 或- 2 ?
3 3

C.- ? 或 2 ?
3 3

D.- 2 ?
3

错解:B.

正解:D.

★热 点 考 点 题 型 探 析

考点 1 两角和与差的正弦.余弦.正切 题型 1: 顺用公式 例 1:已知 ? ? (? , ? ),sin ? ? 3 , 则 tan(? ? ? ) 等于(
2 5 4

) C .
? 1 7

A.

1 7

B. 7

D. ?7 【解题思路】直接用两角和的正切公式 解:B.∵ ? ? ( , ? ) , sin ? ? ,
2

?

3 5

∴ cos ? ?

4 3 , tan ? ? , 5 4

3 ?1 ? tan ? ? 1 4 ∴ tan(? ? ) ? ? ?7 . 4 1 ? tan ? 1 ? 3 4

【名师指引】 熟练掌握两角和与差的三角函数公式的结构特点是解决 此类题的关键. 题型 2: 逆用公式 例 2.(广东省实验中学 2009 届高三第二次阶段测试)
sin 155°cos35°- cos25°cos235°=____________.

【解题思路】注意到 155? ? 180? ? 25? ; 235? ? 270? ? 25? 解析:原式

= sin(180? ? 25? ) cos35? ? cos 25? cos(270? ? 25?)
sin 25? cos 35? ? cos 25? sin 35? ? sin 60? ? 3 2

【名师指引】三角求值题解题的一般思路是“变角、变名、变式” 变角:它决定变换的方向,通过找出已知条件和待求结论中的差异, 分析角之间的联系,决定用哪一组公式,是解决问题的关键; 变名:在同一个三角式中尽可能使三角函数的种类最少,一般考虑化 弦或化切(用同角三角函数的关系式或万能公式) ; 变式:由前二步对三角式进行恒等变形,或逆用、变形用公式,使问 题获解;

【新题导练】 1. cos 43o cos 77o ? sin 43o cos167o 的值为 解析.诱导公式变角,再逆用三角公式切入,
cos 43? cos 77? ? sin 43? cos167? = cos 43 0 cos 77 0 ? sin 43 0 ?? sin 77 0 ? ? cos120 0 ? ? 1 ;
2



2. (华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试)
n 若 ? ? ( , ? ) , nis ? ? , (is ? ? sc ? 且 则 ) o

?

2

4 5

?

4

2 2

??



解析: 2 考点 2 二倍角的正弦.余弦.正切 题型 1:顺用公式 例 3.(执信中学 2008-2009 学年度第一学期高三期中考试) 已知 tan?? ? ? ? ? , sin ? ? , ? ? ? , ? ? ,求 tan?2? ? ? ? 的值. ? ?
1 2 3 5 ?

? ?2

【解题思路】先由诱导公式求出 tan ? ,再由二倍角公式求解。 解 析 ? t a?? n ? ? ? ,? t a? n ? ,? t a2? ? ? ? ? n
1 2 1 2
?? ? ? ? ? ,? ? ?2 ?

3 4 . 又 ? sin ? ? , 且 5 3

? cos ? ? ?

4 3 tan 2? ? tan ? 7 ,? tan ? ? ? ,? tan?2? ? ? ? ? ?? 5 4 1 ? tan 2? tan ? 24

【名师指引】在三角函数的过程中,观察条件中的角和结论中的角之 间的内在联系是解决此类题的关键.

题型 2: 逆用公式 例 4. sin105? cos105? 的值为( A.
3 4
1 4

) C.
3 4

B. -

1 4

D. -

【解题思路】联想二倍角的正弦公式 解析: sin105? cos105? ? ? sin 75? cos 75? ? ? 1 sin150? ? ? 1
2 4

1 【名师指引】见 sin x cos x 就联想到 sin 2 x 是三角变换中常用的手段。 2

题型 3: 变形用公式 例 5.(2008·惠州市高三第三次调研考试第一问)在△ABC 中,已知 角 A 为锐角,且
f ( A) ? [cos(? ? 2 A) ? 1] sin(? ? A ? A ) sin( ? ) 2 2 2 ? cos2 A . ? A A sin 2 ( ? ) ? sin 2 (? ? ) 2 2 2

求 f (A)的最大值;

1 ? cos ? ? 1 ? cos ? , sin 2 ? 2 2 2 2 A A A A (cos 2 A ? 1) sin cos 2 cos2 A sin cos 2 2 ? cos2 A ? 2 2 ? cos2 A [解析] f ( A) ? cos A 2 A 2 A cos ? sin 2 2

【解题思路】联想到降幂公式: cos2

?

?

?

1 1 2 ? 1 sin 2 A ? cos2 A ? (sin 2 A ? cos 2 A ? 1) ? sin(2 A ? ) ? . 2 2 2 4 2

∵角 A 为锐角,? 0 ? A ? , ? 2 A ?
2 4
?当2 A ?

? ?

?
4

?

5? . 4
2 ?1 . 2

?
4

?

?
2

时, f ( A) 取值最大值,其最大值为

【名师指引】在研究三角函数性质时经常使用“见平方就降次,见切 割就化弦”这一手段。 【新题导练】 3. ?ABC中, 5 sin 2 A ? (2 5 ? 1) sin A ? 2 ? 0, A 是锐角,求 tan 2 A 的值; 解: (由条件,得 ( 5 sin A ? 1)(sin A ? 2) ? 0.
? sin A ? 2,? 5 sin A ? 1 ? 0,即sin A ? 5 . 5

∵A 在锐角,? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 4.已知 cos 2? ? A
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2 5 1 , tan A ? , 5 2

2 ,则 sin 4 ? ? cos4 ? 的值为( 3
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13 18

B

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11 18

C

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7 9

D

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?1

解析:选 B

1 sin 4 ? ? cos 4 ? ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) 2 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ? 1 ? sin 2 2? 2 1 11 ? 1 ? (1 ? cos 2 2? ) ? 2 18

? tan 2 A ?

2 tan A 4 ? . 2 1 ? tan A 3

★抢 分 频 道

基础巩固训练 1.( 2009 届广东五校高三第二联考试卷)已知 tan ? ? , 则 cos2? 的值 为( A. ?
1 5 1 2

) B. ?
cos 2? ?

3 5

C.

4 5

D.

3 5

解析:选 D:

1 ? tan 2 ? 3 ? 1 ? tan 2 ? 5

2.(华南师大附中 2009 届高三综合测试(二))设 tan(? ? ? ) ? ,
? 1 ? tan( ? ? ) ? ,则 tan(? ? ) ? 4 4 4 13 13 A. B. 22 18

2 5

C.

3 22

D.
?

1 6

tan(? ? ? ) ? tan( ? ? ) ? ? 4 ? 3 选C 解析: tan(? ? ) ? tan[(? ? ? ) ? ( ? ? )] ? ? 4 4 1 ? tan(? ? ? ) tan( ? ? ) 22 4

3. cos43? cos77? ? sin 43? cos167? 的值为



解析: 原式= cos 43? cos 77? ? sin 43? cos(90? ? 77?) ? cos 43? cos 77? ? sin 43? sin 77?
? cos(43? ? 77?) ? cos120? =-

1 2
? 6? 3
? 3?

4.已知 tan ? ? ? ? ? ? ? ? 1 , tan ? ? ? ? ? ? ? 1 ,则 tan ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 6? 2

解析:

tan(? ? ? ? ) ? tan( ? ? ) ?? ?? ?? ? ? ?? ? 6 6 ?1 tan ? ? ? ? ? tan ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? 3? ? 6 ? ? 1 ? tan(? ? ? ? ? ) ? tan( ? ? ? ) ? ?? 6 6

?

?

5 . (2008-2009 年 汕 头 金 山 中 学 摸 底 考 试 ) 已 知 函 数
f ( x) ?

解:

? 3 s xi n ( x.若 f (? ) ? ,求 sin 2? 的值. ? ? )R , 2 4 3 9 3 f ( x) ? sin x ? cos x 由 f (? ) ? 得: sin ? ? cos ? ? , 1 ? 2sin ? cos ? ? 4 4 16
s i xn ?

? sin 2? ? ?

7 16

综合拔高训练
6. ( 广东省 2009 届高三第一次六校联考试卷数学)已知向量

a=

(sinθ ,1),b=(1,cosθ ), ? ? ? ? .
2 2

?

?

(Ⅰ)若 a⊥b,求 θ ; (Ⅱ)求|a+b|的最大值. 解: (Ⅰ)若 a⊥b,则 sinθ +cosθ =0, 2分 由此得 tanθ =-1( ? ? ? ? ) ,
2 2

?

?

所 6分



θ



?

?
4



(Ⅱ)由 a=(sinθ ,1),b=(1,cosθ ),得 |

a



b





(sinθ +1)2+(1+cosθ )2



3+2(sinθ +cosθ ) = 10 分 π 当 sin(θ + )=1 时,|a+b|取得最大值, 4 即 当 1. θ = π 4 时 , |a + b| 最 大 值 为 12 分 2 + π 3+2 2sin(θ + ) 4 ,

7 . ( 惠 州 市 2009 届 高 三 第 三 次 调 研 考 试 数 学 试 题 ) 已 知 x x s i n ? 2c o s ? 0. 2 2 (1)求 tan x 的值;

(2)求

cos 2 x

2 cos( ? x) ? sin x 4 x x x 解: (1)由 sin ? 2 cos ? 0 , ? tan ? 2 , 2 2 2 x 2 tan 2 ? 2? 2 ? ? 4 . ? tan x ? x 1 ? 22 3 1 ? tan 2 2

?

的值.

(2) 原式=
2(

cos2 x ? sin 2 x 2 2 cos x ? sin x) sin x 2 2

?

(cos x ? sin x)(cos x ? sin x) (cos x ? sin x) sin x

cos x ? sin x sin x ? cot x ? 1 3 1 ? (? ) ? 1 ? . 4 4 ?

8.已知向量 a ? (sin ? , cos? ), b ? (cos ? , sin ? ) , b ? c ? (2 cos ? ,0) , a ? b ? ,
? ? 1 a ? c ? ,求 cos 2(? ? ? ) ? tan? ? cot ? 的值. 3 ? ? ? ? s ( 解: c ? ( x, y ), 则 b ? c ? ( x ? cos ? , y ? sin ? ) ? (2cos ? ,0) , c ? c , n ? ? 设 ∴ o is .)

?

?

? ?

1 2

?

1 5 ? ? ? ? 1 ? ? 1 ?sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2 ?sin ? cos ? ? 12 ∵ a?b ? , a?c ? ,∴ ? ,∴ ? , ? ? 3 2 ?sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 1 ?cos ? sin ? ? 1 ? ? 3 ? ? 12

∴ tan ? ? cot ? ? 5,sin(? ? ? ) ? , ∴ cos 2(? ? ? ) ? 1 ? 2sin 2 (? ? ? ) ? ,
∴ cos 2(? ? ? ) ? tan ? ? cot ? ?

1 2

1 2

1 11 ?5 ? . 2 2


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