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高中数学 第一章章末综合检测 苏教版选修1-1


(时间:120 分钟;满分:160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.把答案填在题中横线上) 1.若命题 p:x=2 且 x=3,则﹁p 为________. 解析:由于“且”的否定为“或”,所以﹁p:x≠2 或 x≠3. 答案:x≠2 或 x≠3 1 2.“ >-1”是“a<-1”成立的________条件. a 1+a 1 1 1 解析: >-1? +1>0? >0?a>0 或 a<-1,所以“ >-1”是“a<-1”成立的必 a a a a 要不充分条件. 答案:必要不充分 3.设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的________ 条件. - 解析:设{an}的首项为 a1,公比为 q,若 a1<a2,则 q>1,从而有 a1qn 1<a1qn,即 an<an+1,因此{an}是递增的等比数列;反之,若{an}是递增数列且 a1>0,则必有 q>1, 故 a1<a2. 答案:充分必要 a 4.设命题 p:若 a>b,则 ac>bc,q: <0?ab<0.给出下列四个由 p,q 构成的新命题: b ①p∨q;②p∧q;③﹁p;④﹁q,其中真命题的个数是________. 解析:由已知可知 p 为假,q 为真,所以①p∨q 为真;②p∧q 为假;③﹁p 为真;④ ﹁q 为假. 答案:2 5.已知命题 p:锐角三角形的内角均为锐角,则命题 p 的否定是________. 答案:存在一个锐角三角形,它的内角不全是锐角 6.命题“若 x=1 或 x=2,则 x2-3x+2=0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中, 真命题的个数是________. 解析: ∵原命题为真命题, ∴逆否命题也是真命题. 又∵它的逆命题: x2-3x+2=0, 若 则 x=1 或 x=2,是真命题,∴它的否命题也是真命题. 答案:4 7.设 x 是实数,则“x>0”是“|x|>0”的________(填充要,必要不充分,充分不必要或既不 充分也不必要)条件. 答案:充分不必要 8.命题“若 p2+q2=2,则 p+q≤2”的否命题是________. 答案:若 p2+q2≠2,则 p+q>2 9.已知 A、B 都是命题,﹁A,﹁B 分别是 A、B 的否命题,若﹁A?B,那么 A 是﹁B 的________条件. 答案:必要不充分 10.以下判断正确的是________. ①命题“负数的平方是正数”不是全称命题; ②命题“ x∈N,x3>x2”的否定是“ x∈N,x3>x2”; ③“a=1”是“函数 f(x)=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为 π”的必要不充分条件; ④“b=0”是“函数 f(x)=ax2+bx+c 是偶函数”的充要条件. 解析:“负数的平方是正数”即为“ x<0,x2>0”,是全称命题,所以①不正确; 因为全称命题“ x∈N,x3>x2”的否定为“ x∈N,x3≤x2”,所以②不正确; 2π 因为 f(x)=cos2ax-sin2ax=cos2ax,当最小正周期为 π 时,有 =π,|a|=1?a=± 1.故 |2a|
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“a=1”是“函数 f(x)=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为 π”的充分不必要条件,所以③不正 确. 答案:④ 11.有下列说法: ①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件; ②“p∧q”为假是“p∨q”为真的 充分不必要条件;③“p∨q”为真是“﹁p”为假的必要不充分条件;④“﹁p”为真是“p ∧q”为假的必要不充分条件. 其中正确结论的个数是________. 解析:p∧q 为真,则 p 真 q 真?p∨q 为真,p∨q 为真,则 p 与 q 至少有一个为真 p ∧q 为真, ∴①正确; 又∵p∧q 为假, ∴p 与 q 至少有一个为假, ∴p∧q 为假 p∨q 为真, ∴②不正确;同样,③正确;④不正确. 答案:2 12.已知 p(x):x2+2x-m>0,如果 p(1)是假命题,p(2)是真命题,那么实数 m 的取值 范围是____________. 解析:因为 p(1)是假命题,所以 1+2-m≤0,即 m≥3.又因为 p(2)是真命题,所以 4+ 4-m>0,即 m<8.故实数 m 的取值范围是 3≤m<8. 答案:3≤m<8 13.给出下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“相似三角形的周长相等”的否命题; ③“若 b≤-1,则 x2-2bx+b2+b=0 有实数根”的逆否命题; ④若 sinα+cosα>1,则 α 必定是锐角. 其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上). 解析:①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题为“若 x,y 互为倒数,则 xy=1”, 是真命题; ②“相似三角形的周长相等”的否命题为“两个三角形不相似, 则周长不相等”, 显然 是假命题; ③∵b≤-1,∴Δ=4b2-4(b2+b)=-4b≥4>0,∴“若 b≤-1,则 x2-2bx+b2+b=0 有实数根”为真命题,∴其逆否命题也是真命题; 7π ④∵当 α= 时,sinα+cosα>1 成立,∴此命题是假命题. 3 答案:①③ 2-m 14.已知命题 p:不等式|x-1|>m 的解集是 R,命题 q:f(x)= 在区间(0,+∞)是 x 减函数,若命题“p 或 q”为真,命题“p 且 q”为假,则实数 m 的取值范围是________. 解析:命题 p:m<0,命题 q:m<2.∵p 与 q 一真一假, ? ? ?m<0 ?m≥0 ∴? 或? ,解得 0≤m<2. ? ? ?m≥2 ?m<2 答案:[0,2) 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(本小题满分 14 分)判断下列命题: (1)“不重合的两条直线 l1 与 l2 的斜率相等”是“直线 l1∥l2”的什么条件? π (2)“tan x=1”是“x= ”的什么条件? 4 (3)A:x≠1 且 y≠2;B:x+y≠3,A 是 B 的什么条件? 解:(1)由“l1 与 l2 的斜率相等”?l1∥l2,但 l1∥l2 不一定有两条直线的斜率相等,因为 两条直线的斜率可能不存在,故为充分不必要条件. π π π (2)由 tan x=1?x=kπ+ ,k∈Z,∴x 不一定等于 ;而 x= 时,有 tan x=1,故为必要 4 4 4
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不充分条件. (3)“由 x≠1 且 y≠2”不一定得到“x+y≠3”,如 x=9≠1 且 y=-6≠2,但有 x+y =3.又由 x+y≠3 也不一定得到“x≠1 且 y≠2”,如 10+2=12≠3. 故 A 是 B 的既不充分又不必要条件. 16.(本小题满分 14 分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们 的真假. 1 (1)若 m> ,则 mx2-x+1=0 无实根; 4 (2)若 abc=0,则 a=0 或 b=0 或 c=0. 1 解:(1)原命题:若 m> ,则 mx2-x+1=0 无实根,是真命题;逆命题:若 mx2-x+1 4 1 1 =0 无实根,则 m> ,是真命题;否命题:若 m≤ ,则 mx2-x+1=0 有实根,是真命题; 4 4 1 逆否命题:若 mx2-x+1=0 有实根,则 m≤ ,是真命题. 4 (2)原命题:若 abc=0,则 a=0 或 b=0 或 c=0,是真命题;逆命题:若 a=0 或 b=0 或 c=0,则 abc=0,是真命题;否命题:若 abc≠0,则 a≠0 且 b≠0 且 c≠0,是真命题; 逆否命题:若 a≠0 且 b≠0 且 c≠0,则 abc≠0,是真命题. 17.(本小题满分 14 分)写出下列命题的否定,并判断真假. (1)?x∈R,使 4x-3>x; (2)?x∈R,有 x+1=2x; (3)集合 A 是集合 A∩B 或集合 A∪B 的子集. 解:(1)命题的否定:?x∈R,有 4x-3≤x.因为当 x=2 时,4×2-3=5>2,所以“?x ∈R,有 4x-3≤x”是假命题. (2)命题的否定: ?x∈R, x+1≠2x.因为当 x=2 时, 使 x+1=2+1=3≠2×2, 所以“? x∈R,使 x+1≠2x”是真命题. (3)命题的否定:集合 A 既不是集合 A∩B 的子集也不是集合 A∪B 的子集,是假命题. 18.(本小题满分 16 分)已知 c>0,c≠1,设命题 p:函数 y=cx 在 R 上单调递减,命题 q:不等式 x2- 2x+c>0 的解集为 R.如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求 实数 c 的取值范围. 解:∵y=cx 在 R 上单调递减,∴0<c<1, ∴命题 p:0<c<1. 1 1 ∵不等式 x2- 2x+c>0 的解集为 R,∴Δ=(- 2)2-4c<0,c> ,∴命题 q:c> . 2 2 ∵“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,∴命题 p 与命题 q 恰好一真一假, ?c≤0或c≥1 ?0<c<1 ? ? 1 ∴p 为真 q 为假或 p 为假 q 为真,即? 1 或? 1 ,解得 0<c≤ 或 c≥1. 2 c≤ ? 2 ?c>2 ? ? 1 综上可知,实数 c 的取值范围是(0, ]∪[1,+∞). 2 19. (本小题满分 16 分)已知关于 x 的一元二次方程 mx2-4x+4=0, 2-4mx+4m2-4m x -5=0(m∈Z),试求方程的根都是整数的充要条件. 解:两方程都有实数根,即 ?m≤1 ?Δ1=16-16m≥0 ? ? 5 ? ,即? 5 ,解得-4≤m≤1, 2 2 ? ?Δ2=16m -4?4m -4m-5?≥0 ? ?m≥-4 ∵m∈Z,m≠0,∴m=-1,1. 当 m=-1 时,方程 x2+4x-4=0 无整数根; 当 m=1 时,方程 x2-4x+4=0 ①,x2-4x-5=0 ②均有整数根. ∴①和②均有整数根,则 m=1;反之,当 m=1 时,两个方程均有整数根.
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故两方程均有整数根的充要条件是 m=1. 20.(本小题满分 16 分)设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a<0;q:实数 x 满足 x2-x-6≤0,或 x2+2x-8>0,且﹁p 是﹁q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. 解:p:A={x|(x-a)(x-3a)<0}?{x|3a<x<a}. q:B={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4,或 x>2} ={x|x<-4,或 x≥-2}. ∵﹁p 是 ﹁q 的必要不充分条件, ∴﹁q?﹁p,且﹁p ﹁q. 则{x|﹁q} {x|﹁p}, 而{x|﹁q}=?RB={x|-4≤x<-2}, {x|﹁p}=?RA={x|x≤3a,或 x≥a(a<0)}, ∴{x|-4≤x<-2} {x|x≤3a,或 x≥a(a<0)}, ?3a≥-2, ?a≤-4, ? ? 2 则? 或? 即- ≤a<0,或 a≤-4. 3 ? ? ?a<0, ?a<0, 2 故 a 的取值范围是{a|- ≤a<0,或 a≤-4}. 3

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