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2012广东高考理科数学试卷及答案


2012 年广东省高考数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2012?广东)设 i 是虚数单位,则复数 A.6+5i B.6﹣5i C.﹣6+5i =( ) D.﹣6﹣5i )

2. (5 分) (2012?广东)设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM=( A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} ,向量 C.(6,10) D.{2,4,6} ,则 =( )

3. (5 分) (2012?广东)若向量 A.(﹣2,﹣4) B.(3,4)

D.(﹣6,﹣10) )

4. (5 分) (2012?广东)下列函数,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) B. C. D.

5. (5 分) (2012?广东) 已知变量 x, y 满足约束条件

, 则 z=3x+y 的最大值为 (



A.12

B.11

C .3

D.﹣1 )

6. (5 分) (2012?广东)某几何体的三视图如图所示,它的体积为(

A.12π

B.45π

C.57π

D.81π

7. (5 分) (2012?广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任 取一个,其个位数为 0 的概率是( )

A.

B.

C.

D.

8. (5 分) (2012?广东)对任意两个非零的平面向量



,定义



=

,若平

面向量 、 满足| |≥| |>0, 与 的夹角 中,则 ○ =( A. B.1 ) C.

,且 ○ 和 ○ 都在集合

D.

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题 (9~13 题) (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 9. (5 分) (2012?广东)不等式|x+2|﹣|x|≤1 的解集为 10. (5 分) (2012?广东) _________ . (用数字作答) 11. (5 分) (2012?广东)已知递增的等差数列{an}满足 a1=1, a3=a2 ﹣4,则 an= _________ . 12. (5 分) (2012?广东)曲线 y=x ﹣x+3 在点(1,3)处的切 线方程为 _________ . 13. (5 分) (2012?广东)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出的 s 的值为 _________ .
3 2

_________ .

中 x 的系数为

3

14. (5 分) (2012?广东) (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 与 C2 的参数方程分别为 (t 为参数)和 (θ 为参数) ,则曲线 C1 与

C2 的交点坐标为 _________ .

15. (2012?广东) (几何证明选讲选做题)如图,圆 O 中的半径 为 1,A、B、C 是圆周上的三点,满足∠ABC=30°,过点 A 作圆 O 的切线与 O C 的延长线交于点 P,则图 PA= _________ .

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分) (2012?广东)已知函数 小正周期为 10π. (1)求 ω 的值; (2) 设 的值. , , , 求 cos (α+β) (其中 ω>0,x∈R)的最

17. (13 分) (2012?广东)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示, 其中成绩分组区间是:[40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]. (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的 人数记为 ξ,求 ξ 的数学期望.

3

18. (13 分) (2012?广东)如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平 面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE. (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B﹣PC﹣A 的正切值.

19. (14 分) (2012?广东) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 且 a1,a2+5,a3 成等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 .



4

20. (14 分) (2012?广东) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C: 的离心率 ,且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n) ,使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x +y =1 相交于 不同的两点 A、B,且△ OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的△ OAB 的面 积;若不存在,请说明理由.
2 2

21. (14 分) (2012?广东)设 a<1,集合 A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x ﹣3(1+a)x+6a>0}, D=A∩B. (1)求集合 D(用区间表示) ; (2)求函数 f(x)=2x ﹣3(1+a)x +6ax 在 D 内的极值点.
3 2

2

5

2012 年广东省高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2012?广东)设 i 是虚数单位,则复数 A.6+5i 分析: 把 B.6﹣5i 的分子分母同时乘以 i,得到 C.﹣6+5i =( ) D.﹣6﹣5i ,利用虚数单位的性质,得

,由此能求出结果. 解答: 解:

=

=

=﹣6﹣5i. 故选 D.

点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 2. (5 分) (2012?广东)设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM=( A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} )

分析: 直接利用补集的定义求出 CUM. 解答: 解:∵集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM={3,5,6}, 故选 C. 点评: 本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集,属于基础题. 3. (5 分) (2012?广东)若向量 A.(﹣2,﹣4) 分析: 由向量 B.(3,4) ,向量 ,向量 C.(6,10) ,知 ,再由 解答: 解:∵向量 ∴ ,向量 , ,∴ ,能求出结果. ,则 =( )

D.(﹣6,﹣10)

=(﹣4,﹣7)﹣(﹣2,﹣3)=(﹣2,﹣4) . 故选 A. 点评: 本题考查平面向量的坐标运算,是基础题.解题时要认真解答,仔细运算.

6

4. (5 分) (2012?广东)下列函数,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) B. C. D.



分析: 利用对数函数的图象和性质可判断 A 正确;利用幂函数的图象和性质可判断 B 错误; 利用指数函数的图象和性质可判断 C 正确; 利用“对勾”函数的图象和性质可判断 D 的 单调性 解答: 解:A,y=ln(x+2)在(﹣2,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上为增函数,A 正 确;B, 在[﹣1,+∞)上为减函数;排除 B;C, 在 R 上为减

函数;排除 C;D, D;故选 A

在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,排除

点评: 本题主要考查了常见函数的图象和性质,特别是它们的单调性的判断,简单复合函数 的单调性,属基础题

5. (5 分) (2012?广东) 已知变量 x, y 满足约束条件

, 则 z=3x+y 的最大值为 (



A.12

B.11

C .3

D.﹣1

分析: 先画出线性约束条件表示的可行域,在将目标函数赋予几何意义,数形结合即可得目 标函数的最值 解答: 解:画出可行域如图阴影部分,由 得 C(3,2)

目标函数 z=3x+y 可看做斜率为﹣3 的动直线,其纵截距越大,z 越大, 由图数形结合可得当动直线过点 C 时,z 最大=3×3+2=11;故选 B

7

点评: 本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧,二元一次不等式组表示平面区域的知 识,数形结合的思想方法,属基础题 6. (5 分) (2012?广东)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )

A.12π

B.45π

C.57π

D.81π

分析: 由题设知,组合体上部是一个母线长为 5,底面圆半径是 3 的圆锥,下部是一个高为 5,底面半径是 3 的圆柱,分别根据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即 可得到正确选项 解答: 解:由三视图可知,此组合体上部是一个母线长为 5,底面圆半径是 3 的圆锥,下部 是一个高为 5,底面半径是 3 的圆柱 故它的体积是 5×π×3 +
2

π×3 ×

2

=57π;故选 C

点评: 本题考查三视图还原几何体及求组合体的体积, 解题的关键是熟练记忆相关公式及由 三视图得出几何体的长宽高等数据, 且能根据几何体的几何特征选择恰当的公式进行 求体积的运算, 7. (5 分) (2012?广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是( A. ) B. C. D.

分析: 先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数 n,然后再求个位数与十位数之和为 奇数的两位数的个数,由古典概率的求解公式可求 解答: 解:个位数与十位数之和为奇数的两位数中,其个位数与十位数有一个为奇数,一个 为偶数,共有 =45

记:“个位数与十位数之和为奇数的两位数中,其个位数为 0”为事件 A,则 A 包含的

8

结果:10,30,50,70,90 共 5 个 由古典概率的求解公式可得,P(A)= ; 故选 D

点评: 本题主要考查了古典概率的求解公式的应用,解题的关键是灵活利用简单的排列、组 合的知识求解基本事件的个数 8. (5 分) (2012?广东)对任意两个非零的平面向量 和 ,定义 ○ = ,若平

面向量 、 满足| |≥| |>0, 与 的夹角 中,则 ○ =( A. 分析: 由题意可得 B.1 ) C.

,且 ○ 和 ○ 都在集合

D.

? =
2

= , 同理可得

? =

= , 故有 n≥m 且

m、n∈z.再由 cos θ= cos θ∈ ( , 1) , 即 的值. 解答: 解:由题意可得 ? =
2

, 与 的夹角 θ∈(0,

) ,可得

∈ ( , 1) , 由此求得 n=3, m=1, 从而得到

? =

=

=

=

= .

同理可得

? =

=

=

= .

由于| |≥| |>0,∴n≥m 且 m、n∈z. ∴cos θ=
2

.再由 与 的夹角 θ∈(0,

) ,可得 cos θ∈( ,1) ,即

2

∈( ,1) .

故有 n=3,m=1,∴ ? = = , 故选 C. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,得到 n≥m 且 m、n∈z,且 解题的关键,属于中档题. 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题 (9~13 题) (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) ∈( ,1) ,是

9

9. (5 分) (2012?广东)不等式|x+2|﹣|x|≤1 的解集为



分析: 由题意,可先将不等式左边变形为分段函数的形式,然后再分三段解不等式,将每一 段的不等式的解集并起来即可得到所求不等式的解集 解答: 解:∵|x+2|﹣|x|= ∴x≥0 时,不等式|x+2|﹣|x|≤1 无解;

当﹣2<x<0 时,由 2x+2≤1 解得 x≤ 当 x≤﹣2,不等式|x+2|﹣|x|≤1 恒成立, 综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1 的解集为

,即有﹣2<x≤



;故答案为

点评: 本题考查绝对值不等式的解法,其常用解题策略即将其变为分段函数,分段求解不等 式. 10. (5 分) (2012?广东) 中 x 的系数为 20 . (用数字作答)
3

3 分析: 由题意,可先给出二项式的通项,再由通项确定出 x 是展开式中的第几项,从而得

出其系数 解答: 解:由题意, Tr+1= 所以
3

的展开式的通项公式是 = 中 x 的系数为 x
12﹣3r

令 12﹣3r=3 得 r=3

=20 故答案为 20

点评: 本题考查二项式定理的通项,属于二项式考查中的常考题型,解答的关键是熟练掌握 二项式的通项公式 11. (5 分) (2012?广东)已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3=a2 ﹣4,则 an= 2n﹣1 . 分析: 由题意,设公差为 d,代入 求出通项即可得到答案 解答: 解:由于等差数列{an}满足 a1=1,
2 2

,直接解出公式 d,再由等差数列的通项公式

,令公差为 d

所以 1+2d=(1+d) ﹣4,解得 d=±2,又递增的等差数列{an},可得 d=2 所以 an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,故答案为 2n﹣1 点评: 本题考查等差数列的通项公式,解题的关键是利用公式建立方程求出参数,需要熟练 记忆公式.

10

12. (5 分) (2012?广东)曲线 y=x ﹣x+3 在点(1,3)处的切线方程为 2x﹣y+1=0

3



分析: 先求出导函数,然后将 x=1 代入求出切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程,最后 化成一般式即可.
2 解答: 解:y′=3x ﹣1,令 x=1 得切线斜率 2

所以切线方程为 y﹣3=2(x﹣1) ,即 2x﹣y+1=0,故答案为:2x﹣y+1=0 点评: 本题主要考查导数的几何意义: 在切点处的导数值为切线的斜率、 考查直线的点斜式, 属于基础题. 13. (5 分) (2012?广东)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的 值为 8,则输出的 s 的值为 8 .

分析: 由已知中的程序框图及已知中输入 8,可得:进入循环的条件为 i<8,即 i=2,4,6 模拟程序的运行结果,即可得到输出的 s 值. 解答: 解:当 i=2,k=1 时,s=2, ;当 i=4,k=2 时,s= (2×4)=4; 当 i=6,k=3 时,s= (4×6)=8; 当 i=8,k=4 时,不满足条件“i<8”,退出循环,则输出的 s=8,故答案为:8 点评: 本题主要考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的 变法,同时考查了运算求解能力,属于基础题. 14. (5 分) (2012?广东) (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 与 C2 的参数方程分别为 C2 的交点坐标为 (1,1) (t 为参数)和 . (θ 为参数) ,则曲线 C1 与

11

分析: 把曲线 C1 与 C2 的参数方程分别化为普通方程,解出对应的方程组的解,即得曲线 C1 与 C2 的交点坐标.
2 2 2 解答: 解:在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 与 C2 的普通方程分别为 y =x,x +y =2.

解方程组 故答案为 (1,1) .

可得

,故曲线 C1 与 C2 的交点坐标为(1,1) ,

点评: 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法, 求两条曲线的交点坐标, 属于中档题. 15. (2012?广东) (几何证明选讲选做题)如图,圆 O 中的半径为 1,A、B、C 是圆周上的 三点, 满足∠ABC=30°, 过点 A 作圆 O 的切线与 O C 的延长线交于点 P, 则图 PA= .

分析: 连接 OA,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,得到∠AOC=60°.因为直线 PA 与圆 O 相切于点 A,且 OA 是半径,得到△ PAO 是直角三角形,最后利用三角函数 在直角三角形中的定义,结合题中数据可得 PA=OAtan60°= .

解答: 解: 连接 OA, ∵圆 O 的圆周角∠ABC 对弧 AC, 且∠ABC=30°, ∴圆心角∠AOC=60°. 又∵直线 PA 与圆 O 相切于点 A,且 OA 是半径,∴OA⊥PA, ∴Rt△ PAO 中,OA=1,∠AOC=60°,∴PA=OAtan60°= ,故答案为:

点评: 本题给出圆周角的度数和圆的半径,求圆的切线长,着重考查了圆周角定理和圆的切 线的性质,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分) (2012?广东)已知函数 小正周期为 10π. (1)求 ω 的值; (其中 ω>0,x∈R)的最

12

(2) 设 的值.





, 求 cos (α+β)

分析: (1)由题意,由于已经知道函数的周期,可直接利用公式 ω= 值; (2) 由题设条件, 可先对 , 与

= 解出参数 ω 的

进行化简,

求出 α 与 β 两角的函数值,再由作弦的和角公式求出 cos(α+β)的值. 解答: 解: (1)由题意,函数 期为 10π 所以 ω= (2)因为 分别代入得 ∵ ∴ 点评: 本题考查了三角函数的周期公式及两 角和与差的余弦函数,同角三角函数 的基本关系,属于三角函数中有一定 综合性的题, 属于成熟题型, 计算题. ∴ = ,即 ,所以 , 及 , (其中 ω>0,x∈R)的最小正周

17. (13 分) (2012?广东)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示, 其中成绩分组区间是:[40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]. (1)求图中 x 的值;

13

(2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的 人数记为 ξ,求 ξ 的数学期望. 分析: (1)根据所以概率的和为 1,即所求矩形的面积和为 1,建立等式关系,可求出所求; (2)不低于 8(0 分)的学生有 12 人,9(0 分)以上的学生有 3 人,则随机变量 ξ 的可能取值有 0,1,2,然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率,从而可求出 数学期望. 解答: 解: (1)由 30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1,得 x=0.018 (2)由题意知道:不低于 8(0 分)的学生有 12 人,9(0 分)以上的学生有 3 人 随机变量 ξ 的可能取值有 0,1,2



∴ 点评: 本题主要考查了频率分布直方图, 以及古典概型的概率公式和离散型随机变量的数学 期望,同时考查了计算能力和运算求解的能力,属于基础题. 18. (13 分) (2012?广东)如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE. (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B﹣PC﹣A 的正切值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.

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分析: (1)由题设条件及图知,可先由线面垂直的性质证出 PA⊥BD 与 PC⊥BD,再由线 面垂直的判定定理证明线面垂直即可; (2)由图可令 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE,证明出∠BEO 为二面角 B﹣PC﹣A 的平面角,然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值. 解答: 解: (1)∵PA⊥平面 ABCD;∴PA⊥BD

14

∵PC⊥平面 BDE;∴PC⊥BD,又 PA∩PC=P;∴BD⊥平面 PAC (2)设 AC 与 BD 交点为 O,连 OE ∵PC⊥平面 BDE;∴PC⊥平面 BOE;∴PC⊥BE ∴∠BEO 为二面角 B﹣PC﹣A 的平面角 ∵BD⊥平面 PAC;∴BD⊥AC;∴四边形 ABCD 为正方形,又 PA=1,AD=2, 可得 BD=AC=2 ,PC=3;∴OC=

在△ PAC∽△OEC 中, ∴ ∴二面角 B﹣PC﹣A 的平面角的正切值为 3

点评: 本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理, 属于立体几何中 的基本题型,二面角的平面角的求法过程,作,证,求三步是求二面角的通用步骤, 要熟练掌握 19. (14 分) (2012?广东) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 且 a1,a2+5,a3 成等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 . ,

n+1 分析: (1)在 2Sn=an+1﹣2 +1 中,令分别令 n=1,2,可求得 a2=2a1+3,a3=6a1+13,又 a1,

a2+5,a3 成等差数列,从而可求得 a1; (2)由 2Sn=an+1﹣2
n n+1

+1,
n

得 an+2=3an+1+2

n+1

①,

an+1=3an+2 ②,由①②可知{an+2 }为首项是 3,3 为公比的等比数列,从而可求 an; (3) (法一) ,由 an=3 ﹣2 =(3﹣2) (3 ≤
n n n﹣1

+3

n﹣2

×2+3

n﹣3

×2 +…+2

2

n﹣1

)≥3

n﹣1

可得

,累加后利用等比数列的求和公式可证得结论;

15

(法二) 由 an+1=3 < ? ,

n+1

﹣2

n+1

>2×3 ﹣2

n

n+1

=2an 可得, < ?

< ?

, 于是当 n≥2 时, <

< ?



,…,

,累乘得:

?

,从而可证得

+

+

+…+

< .

n+1 2 3 解答: 解: (1) 在 2Sn=an+1﹣2 +1 中, 令 n=1 得: 2S1=a2﹣2 +1, 令 n=2 得: 2S2=a3﹣2 +1,

解得:a2=2a1+3,a3=6a1+13;又 2(a2+5)=a1+a3;解得 a1=1 (2)由 2Sn=an+1﹣2
n+1

+1,
1 n

得 an+2=3an+1+2

n+1



又 a1=1,a2=5 也满足 a2=3a1+2 ,所以 an+1=3an+2 对 n∈N*成立 ∴an+1+2
n+1

=3(an+2 ) ,又 a1=1,a1+2 =3,∴an+2 =3 ,∴an=3 ﹣2 ;

n

1

n

n

n

n

(3) (法一) ∵an=3 ﹣2 =(3﹣2) (3
n n n﹣1

+3

n﹣2

×2+3

n﹣3

×2 +…+2

2

n﹣1

)≥3

n﹣1









+

+

+…+
n+1

≤1+ +
n+1

+…+
n n+1

=

< ;

(法二)∵an+1=3 当 n≥2 时,

﹣2

>2×3 ﹣2 < ?

=2an, ∴ ,

< ?

, ,

< ?







< ?

, 累乘得:



?





+

+

+…+

≤1+ + × +…+

× < < .

点评: 本题考查数列与不等式的综合,考查数列递推式,着重考查等比数列的求和,着重考 查放缩法的应用,综合性强,运算量大,属于难题. 20. (14 分) (2012?广东) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C: 的离心率 ,且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3.

(1)求椭圆 C 的方程;

16

(2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n) ,使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x +y =1 相交于 不同的两点 A、B,且△ OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的△ OAB 的面 积;若不存在,请说明理由. 分 析: (1)由 得 a =3b ,椭圆方程为 x +3y =3b ,求出椭圆上的点到点 Q 的距离,利用配方
2 2 2 2 2

2

2

法,确定函数的最大值,即可求得椭圆方程; (2)假设 M(m,n)存在,则有 m +n >1,求出|AB|,点 O 到直线 l 距离,表示出面积, 利用基本不等式,即可确定三角形面积的最大值,从而可求点 M 的坐标.
2 2

解 答:

解: (1)由

得 a =3b ,椭圆方程为 x +3y =3b

2

2

2

2

2

椭圆上的点到点 Q 的距离 = ①当﹣b≤﹣1 时,即 b≥1, ②当﹣b>﹣1 时,即 b<1, ∴椭圆方程为 (2)假设 M(m,n)存在,则有 m +n >1 ∵|AB|= ,点 O 到直线 l 距离
2 2

得 b=1 得 b=1(舍) ∴b=1


2 2

=

∵m +n >1 ∴0< 当且仅当 又∵ 解得: 或 ,△ AOB 的面积为 . 点 本题考查椭圆的标准方程,考查三角形面积的求解,考查基本不等式的运用,正确表示三角 或 或 <1,∴ ,即 m +n =2>1 时,S△ AOB 取最大值 ,
2 2

所以点 M 的坐标为

评: 形的面积是关键.

17

21. (14 分) (2012?广东)设 a<1,集合 A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x ﹣3(1+a)x+6a>0}, D=A∩B. (1)求集合 D(用区间表示) ; (2)求函数 f(x)=2x ﹣3(1+a)x +6ax 在 D 内的极值点. 考点: 利用导数研究函数的极值;交集及其运算;一元二次不等式的解法. 专题: 计算题;压轴题.
2 分析: (1)根据方程 2x ﹣3(1+a)x+6a=0 的判别式讨论 a 的范围,求出相应 D 即可;
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2

3

2

(2)由 f'(x)=6x ﹣6(1+a)x+6a=0 得 x=1,a,然后根据(1)中讨论的 a 的取值 范围分别求出函数极值即可.
2 解答: 解: (1)记 h(x)=2x ﹣3(1+a)x+6a(a<1)

2

△ =9(1+a) ﹣48a=(3a﹣1) (3a﹣9) 当△ <0,即 ,D=(0,+∞) 当 ,

2

当 a≤0, (2)由 f'(x)=6x ﹣6(1+a)x+6a=0 得 x=1,a ①当 ②当
2 2

,f(x)在 D 内有一个极大值点 a,有一个极小值点 ,∵h(1)=2﹣3(1+a)+6a=3a﹣1≤0
2

h(a)=2a ﹣3(1+a)a+6a=3a﹣a >0 ∴1?D,a∈D ∴f(x)在 D 内有一个极大值点 a ③当 a≤0,则 a?D 又∵h(1)=2﹣3(1+a)+6a=3a﹣1<0 ∴f(x)在 D 内有无极值点 点评: 本题主要考查了一元二次不等式的解法,以及利用导数研究函数的极值,同时考查了 计算能力和分类讨论的数学思想,属于中档题.

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