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人教A版高中数学选修2-3知识点总结


高中数学
第一章 计数原理 知识点:

选修 2-3 知识点

1、分类加法计数原理:做一件事情,完成它有 N 类办法,在第一类办法中有 M1 种不同的方法,在第二 类办法中有 M2 种不同的方法,……,在第 N 类办法中有 MN 种不同的方法,那么完成这件事情共有 M1+M2+……+MN 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成 N 个步骤,做第一 步有 m1种不同的方法,做第二 步有 M2不同的方法,……,做第 N 步有 MN 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方 法。 3、排列:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取 ...... 出 m 个元素的一个排列 4、排列数:

A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ?

n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!

5、组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个组合。
m m n n 6、组合数: CC ? n? n? m m ?

Am n(? )1 ? (n(? ?1 )1) m m n!n! A m n(n n1 ? )? nm ?m ? CC n? n? m! m! (n Am m! m !(? nm ? )! m)! Am
1 m C m?n ?C m n ?C n ?1
n 0 n 1 n ? 1 2 n ? 2 2 r n ? r r n n

n?m Cm n ?C n;

a ? b ) ? C a ? C a b ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C b n n n n n 7、二项式定理: (
r n ? r r 8、二项式通项公式 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 : T ? C a b ( r ? 0 , 1 ? ? n ) r ? 1 n

第二章 随机变量及其分布 知识点:
1、随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示,并且 X 是随着试验的结果的不同 而变化,那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母 ξ 、η 等表示。 2、离散型随机变量:在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量 X 可能取的值,我们可以按一定 次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. 3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,..... ,xi ,......,xn X 取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率 P(ξ =xi)=Pi,则称表为离散型随机变量 X 的概率分布,简称分布 列

4、分布列性质① pi≥0, i =1,2, ?

;② p1 + p2 +?+pn= 1.

5、二点分布:如果随机变量 X 的分布列为:

其中 0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量 X 服从参数 p 的二点分布 6、超几何分布:一般地, 设总数为 N 件的两类物品,其中一类有 M 件,从所有物品中任取 n(n≤N)件, 这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量,
k n? k CM CN ?M 则它取值为 k 时的概率为 P ( X ? k ) ? (k ? 0,1, 2,? , m ) , n CN

其中 m ? min

?M , n? ,且 n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N * E (? ) ? nM N

(必记忆)

7、条件概率:对任意事件 A 和事件 B,在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,叫做条件概率. 记作 P(B|A),读作 A 发生的条件下 B 的概率 8、公式: P ( AB) P ( B | A) ? , P ( A) ? 0. P ( A) 9、相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互 独立事件。 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 10、n 次独立重复事件:在同等条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 11、二项分布: 设在 n 次独立重复试验中某个事件 A 发生的次数,A 发生次数ξ 是一个随机变量.如果 在一次试验中某事件发生的概率是 p,事件 A 不发生的概率为 q=1-p,那么在 n 次独立重复试验中
k k n ?k P(? ? k ) ? Cn p q (其中 k=0,1, ??,n,q=1-p )

于是可得随机变量ξ 的概率分布如下:

这样的随机变量ξ 服从二项分布,记作 ξ~B(n,p) ,其中 n,p 为参数 12、数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ 的概率分布为

则称 Eξ =x1p1+x2p2+?+xnpn+? 为ξ 的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望.是离 散型随机变量。 13、方差:D(ξ )=(x1-Eξ )2·P1+(x2-Eξ )2·P2 +......+(xn-Eξ )2·Pn 叫随机变量ξ 的均方差,简称方差。

14、集中分布的期望与方差一览:

期望 两点分布 二项分布,ξ ~ B(n,p)

方差 Dξ =pq,q=1-p Dξ =qEξ =npq, (q=1-p)

Eξ =p Eξ =np

15、正态分布: 若概率密度曲线就是或近似地是函数

f ( x) ?

? 1 e 2? ?

( x?? )2 2? 2

, x ? ( ?? ,?? )

(? ? 0) 是参数,分别表示总体的平均数与标准差. 的图像,其中解析式中的实数 ?、?
则其分布叫正态分布 记作:N (? , ? ) ,f( x )的图象称为正态曲线。 16、基本性质:

①曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 x= ? 对称,且在 x=

? 时位于最高点.

③当时 x ? ? ,曲线上升;当时 x ? ? ,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近 线,向它无限靠近. ④当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定.? 越大,曲线越“矮胖” ,表示总体的分布越分散;? 越小,曲线 越“瘦高” ,表示总体的分布越集中. ⑤当σ 相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ 来决定. ⑥正态曲线下的总面积等于 1. 17、 3 ? 原则: 从上表看到,正态总体在 ( ? ? 2? , ? ? 2? ) 以外取值的概率 只有 4.6%,在 (? ? 3? , ? ? 3? ) 以外取

值的概率只有 0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况

在一次试验中几乎是不可能发生的. 1.某项考试按科目 A 、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可以继续参加科目 B 的考试。 每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书,现在某同学将要参加这

2 1 ,每次考科目 B 成绩合格的概率均为 。假设他在 3 2 这项考试中不放弃所有的考试机会,且每次的考试成绩互不影响,记他参加考试的次数为 X 。 (1)求 X 的分布列和均值;
项考试,已知他每次考科目 A 成绩合格的概率均为 (2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。 2.济南市有大明湖、 趵突泉、 千佛山、 园博园 4 个旅游景点, 一位客人浏览这四个景点的概率分别是 0.3, 0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设 ? 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游 览的景点数之差的绝对值。 (1)求 ? =0 对应的事件的概率; (2)求 ? 的分布列及数学期望。

3. 袋子中装有 8 个黑球,2 个红球,这些球只有颜色上的区别。 (1)随机从中取出 2 个球, ? 表示其中红球的个数,求 ? 的分布列及均值。 (2)现在规定一种有奖摸球游戏如下:每次取球一个,取后不放回,取到黑球有奖,第一个奖 100 元,第二个奖 200 元,?,第 k 个奖 k ? 100 元,取到红球则要罚去前期所有奖金并结束取球,按照这种 规则,取球多少次比较适宜?说明理由。

第三章 统计案例 知识点:
1、独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2},其样本频数列联表为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

若要推断的论述为 H1:“X 与 Y 有关系”,可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系,并且能较 精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是,由表中的数据算出随机变量 K^2 的值(即 K 的平方) K2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中 n=a+b+c+d 为样本容量,K2 的值越大,说明“X 与 Y 有关 系”成立的可能性越大。 K2≤3.841 时,X 与 Y 无关; K2>3.841 时,X 与 Y 有 95%可能性有关;K2>6.635 时 X 与 Y 有 99%可能 性有关 2、回归分析

? ? a ? bx 回归直线方程 y

? xy ? n ? x? y ? ( x ? x )( y ? y ) SP 其中 b ? , ? ? 1 SS ( x ? x ) ? ? x ? n (? x )
2 2 2 x

1

a ? y ? bx


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