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10.11湖南高考真题之圆锥曲线(教师版)






数学

年级

高三

备课人

高三数学组

第 课时

10.11 湖南高考真题之圆锥曲线

x2 y 2 1.(2013 湖南 14) .设 F1 , F2 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P 是 C 上一点, a b
若 PF 1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1 F2 的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为___。 【答案】

3
x2 y2 ? ? 1 的焦距为 10 ,点 P(2,1) 在 C 的渐近线上,则 C a2 b2

2.(2012 湖南 5) .已知双曲线 C : 的方程为( )A A.

x2 y2 ? ?1 20 5

B.

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 5 20 80 20 20 80

3.( 2011 湖南 5 ) . 设双曲线 ( ) A.4 B. 3 答案:C

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为 a2 9
D.1

C.2

4.(2010 湖南 14) .过抛物线 x2 ? 2 py( p>0) 的焦点作斜率为 1 的 直线与该抛物线交于 A, B 两 点, A, B 在 x 轴上的正射影分别为 D, C .若梯形 ABCD 的面积为 12 2 ,则 p ? .2

5.(2013 湖南 21) .过抛物线 E : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作斜率分别为 k1 , k2 的两条不同的直
2

线 l1 , l2 ,且 k1 ? k2 ? 2 , l1与E 相交于点 A,B, l2与E 相交于点 C,D。以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为 l 。 (I)若 k1 ? 0, k2 ? 0 ,证明; FM FN ? 2P ;
2

(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为
2

7 5 ,求抛物线 E 的方程。 5

【答案】 (Ⅰ) 见下 【解析】 (Ⅰ) F (0,

(Ⅱ) x ? 16y

p ).设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), M ( x12 , y12 ), N ( x34 , y34 ), 2 p 直线 l1方程: y ? k1 x ? , 与抛物线 E方程联立,化简整理得 : ? x 2 ? 2 pk1 x ? p 2 ? 0 2

? x1 ? x2 ? 2k1 p, x1 ? x2 ? ? p 2 ? 0 ? x12 ? 同理, ? x34 ?

x1 ? x2 p 2 2 ? k1 p, y12 ? k1 p ? ? FM ? (k1 p,?k1 p) 2 2

x1 ? x2 p 2 2 ? k2 p, y34 ? k2 p ? ? FN ? (k2 p,?k2 p) . 2 2
2 2

? FM ? FN ? k1k2 p2 ? k1 k2 p2 ? p2k1k2 (k1k2 ?1)
? k1 ? 0, k2 ? 0, k1 ? k2 ,2 ? k1 ? k2 ? 2 k1k2 ? k1k2 ? 1,? FM ? FN ? p 2 k1k2 (k1k2 ? 1) ? p 2 ?1 ? (1 ? 1) ? 2 p 2
所以, FM ? FN ? 2 p 2 成立. (证毕) (Ⅱ)

1 p p 1 p 2 2 设圆 M、N的半径分别为 r1 , r2 ? r1 ? [( ? y1 ) ? ( ? y2 )] ? [ p ? 2(k1 p ? )] ? k1 p ? p, 2 2 2 2 2

? r1 ? k1 p ? p,同理2r1 ? k2 p ? p,
设圆M、N的半径分别为 r1 , r2 . 则 M、N的方程分别为 ( x ? x12 )2 ? ( y ? y12 )2 ? r1 ,
2

2

2

( x ? x34 )2 ? ( y ? y34 )2 ? r2 ,直线l的方程为: 2( x34 ? x12 ) x ? 2( y34 ? y12 ) y ? x12 ? x34 ? y12 ? y34 - r1 ? r2 ? 0 . ? 2 p(k2 ? k1) x ? 2 p(k2 ? k1 ) y ? ( x12 ? x34 )(x12 ? x34 ) ? ( y12 ? y34 )( y12 ? y34 ) ? (r2 - r1)(r2 ? r1) ? 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

? 2 p(k2 ? k1) x ? 2 p(k2 ? k1 ) y ? 2 p2 (k1 ? k2 ) ? p2 (k1 ? k2 )(k1 ? k2 ? 1) ? p2 (k2 ? k1 )(k1 ? k2 ? 2) ? 0
? x ? 2 y ? p ? p(k1 ? k2 ?1) ? p(k1 ? k2 ? 2) ? 0 ? x ? 2 y ? 0
2 2 2 2

x ? 2 y12 2k ? k1 ? 1 点M ( x12 , y12 )到直线 l的距离 d ?| 12 |? p? | 1 |? p ? 5 5

2

1 1 2( ? ) 2 ? ( ? ) ? 1 7p 7 4 4 ? ? 5 5 8 5 5

? p ? 8 ? 抛物线的方程为 x2 ? 16y .(完)
6.(2012 湖南 21) . (本小题满分 13 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的点均在圆 C2 : ( x ? 5) ? y ? 9 外,且对 C1 上任意一点 M ,
2 2

M 到直线 x ? ?2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值.
(Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P( x0 , y0 )( y0 ? ?3) 为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点

A, B 和 C , D .证明:当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A, B , C , D 的纵坐标之积为定值.
【解析】 (Ⅰ)解法 1 :设 M 的坐标为 ( x, y ) ,由已知得

x ? 2 ? ( x ? 5)2 ? y 2 ? 3 ,
易知圆 C2 上的点位于直线 x ? ?2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ,所以

( x ? 5) 2 ? y 2 ? x ? 5 .
化简得曲线 C1 的方程为 y 2 ? 20 x . 解法 2 :由题设知,曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2 (5, 0) 的距离等于它到直线 x ? ?5 的距离, 因此,曲线 C1 是以 (5, 0) 为焦点,直线 x ? ?5 为准线的抛物线,故其方程为 y ? 20 x .
2

(Ⅱ)当点 P 在直线 x ? ?4 上运动时,P 的坐标为 (?4, y0 ) ,又 y0 ? ?3 ,则过 P 且与圆

C2 相 切 得 直 线 的 斜 率 k 存 在 且 不 为 0 , 每 条 切 线 都 与 抛 物 线 有 两 个 交 点 , 切 线 方 程 为

y ? y0 ? k ( x ? 4),即kx-y+y0 +4k=0 .于是
5k ? y0 ? 4k k 2 ?1
整理得
2 72k 2 ?18 y0k ? y0 ? 9 ? 0.

? 3.



设过 P 所作的两条切线 PA, PC 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 , k2 是方程①的两个实根,故

k1 ? k2 ? ?

18 y0 y ?? 0. 72 4



由?

?k1 x ? y ? y0 ? 4k1 ? 0, 2 得 k1 y ? 20 y ? 20( y0 ? 4k1 ) ? 0. 2 y ? 20 x , ?



设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1 , y2 , y3 , y4 ,则是方程③的两个实根,所以

y1 ? y2 ?
同理可得

20( y0 ? 4k1 ) . k1



y3 ? y4 ?
于是由②,④,⑤三式得

20( y0 ? 4k2 ) . k2



y1 y2 y3 y4 ?

400( y0 ? 4k1 )( y0 ? 4k2 ) k1k2

?

2 400 ? ? y0 ? 4( k1 ? k2 ) y0 ? 16k1k2 ? ?

k1k2
2 2 400 ? ? y0 ? y0 ? 16k1k2 ? ?

?

k1k2

6400 .

所以,当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6400. 7.( 2011 湖南 21 )如图 7 ,椭圆 C1 :

x2 y 2 3 , x 轴被曲线 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

C2 : y ? x2 ? b 截得的线段长等于 C1 的长半轴长。
(Ⅰ)求 C1 , C2 的方程; (Ⅱ) 设 C2 与 y 轴的交点为 M, 过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交与 D,E. (i)证明: MD ? ME ; (ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是 S1 , S2 .问:是否存在直线 l ,使得 请说明理由。

S1 17 = ? S 2 32

解析: (I)由题意知 e ?
2

c 3 ? ,从而 a ? 2b ,又 2 b ? a ,解得 a ? 2, b ? 1 。 a 2



C1 , C2 的方程分别为 x ? y 2 ? 1, y ? x 2 ? 1 。 4

(II) (i)由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? kx . 由?

? y ? kx ? y ? x ?1
2

得 x ? kx ? 1 ? 0 ,
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 。 又点 M 的坐标为 (0, ?1) ,所以

kMA ? kMB ?

y1 ? 1 y2 ? 1 (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ?k 2 ? k 2 ? 1 ? ? ? ? ? ?1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ?1

故 MA ? MB ,即 MD ? ME 。

? y ? k1 x ? 1 ?x ? 0 ( ii )设直线的斜率为 k1 ,则直线的方程为 y ? k1 x ? 1 ,由 ? 解得 ? 或 2 ? y ? ?1 ? y ? x ?1 ? x ? k1 ,则点的坐标为 (k1 , k12 ?1) ? 2 ? y ? k1 ? 1
又直线 MB 的斜率为 ?
1 1 1 ,同理可得点 B 的坐标为 (? , 2 ? 1) . k1 k1 k1

于是 S1 ?

1 1 1 1 1 ? k12 | MA | ? | MB |? 1 ? k12 ? | k1 | ? 1 ? 2 ? | ? |? . 2 2 k1 k1 2 | k1 |

? y ? k1 x ? 1 由? 2 得 (1 ? 4k12 ) x2 ? 8k1x ? 0 , 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0
8k1 ? x ? ? 1 ? 4k 2 ?x ? 0 8k1 4k12 ? 1 ? 1 D 解得 ? 或? , 则点 的坐标为 ( , ); 2 1 ? 4k12 1 ? 4k12 ? y ? ?1 ? y ? 4k1 ? 1 ? 1 ? 4k12 ?
又直线的斜率为 ?

1 ?8k1 4 ? k12 ,同理可得点 E 的坐标 ( , ) k1 4 ? k12 4 ? k12

于是 S2 ?

32(1 ? k12 )? | k1 | 1 | MD | ? | ME |? 2 (1 ? 4k12 )(4 ? k12 )

因此

S1 1 1 ? (4k12 ? 2 ? 17) S2 64 k1
1 1 1 17 (4k12 ? 2 ? 17) ? 解得 k12 ? 4 或 k12 ? 。 4 64 k1 32

由题意知,

1 3 k12 1 ? k1 ? ,所以 k ? ? . 又由点 A, B 的坐标可知, k ? 1 2 k1 k1 ? k1 k12 ?

故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为 y ?

3 3 x和 y ? ? x。 2 2

【课后反思】


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