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山东省烟台市2016届高三数学上学期期末自主练习试题 理


2015—2016 学年度高三期末自主练习 数学试题(理)
注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 1 20 分钟. 2. 使用答题纸时, 必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签 字笔书写, 作图时, 可用 2B 铅笔. 要 字迹工整,笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效. 3.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 一、选择题:本大题共 1

0 小题;每小题 5 分,共 50 分.每小题给出四个选项,只有一 个选项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.若集合 A ? x x ? 3n ? 1, n ? N , B ? ??4, ?1, 0, 2,5? ,则集合 A ? B ? A.

?

?

?2,5?

B.

??4, ?1, 2,5?

C.

??1, 2,5?
1 1

D.

??1,0,2,5?
?1? ? 2?
a

2.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式正确的是 A. sin a ? sin b B. log2 a ? log 2 b C. a 2 ? b 2 D. ? ? ? ? ?

?1? ? 2?

b

3.已知 ? ? ? 0, ? ? ,若 tan ? A. ?

?? ? 1 ? ? ? ? ,则 sin 2? ? ?4 ? 3
C. ?

4 5

B.

4 5

5 4

D.

5 4

? 2 x ?1 ? 1, x ?1 ? 4.已知函数 f ? x ? ? ? ,若 f ? a ? ? 1 ,则f ?1? a ? ? ? log 3 ? x , x ? 1 ? ? ? 2 ?
A.2 B. ?2
2 x

C.1

D. ?1

5.已知函数 f ? x ? ? x e ,当 x ?? ?1,1? 时,不等式 f ? x ? ? m 恒成立,则实 数 m 的取值 范围为 A. ? , ?? ? ?e ?

?1

?

B. ? , ?? ?

?1 ?e

? ?

C.

?e, ?? ?

D.

?e, ???

1

6.已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 , 若A B ?A C ?A ? M 值为 A.2 B.3 C.4 D.5

uuu r uuu r uuu r

uu u r uuu r

uuur

成立, 则实数 ? 的

7.若中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方 程为 y ? ? 2x ,则该双曲线的 离心率为 A. 3或

6 2

B.

6 或3 2

C.

3

D.3

?3 x ? y ? 2 ? 0 1 ? 8.已知变量 x, y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z ? x ? y 的最小值为 2 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A. ?

5 4

B.0

C. ?2

D.

13 4

9.已知函数 f ? x ? ? x cos x ,有下列 4 个结论: ①函数 f ? x ? 的图象关于 y 轴对称; ②存在常数 T ? 0 ,对任意的实数 x,恒有 f ? x ? T ? ? f ? x ? 成立; ③对于任意给定的正数 M,都存在实数 x0 ,使得 f ? x0 ? ? M ; ④函数 f ? x ? 的图象上存在无数个点,使得该函数在这些点处的切线与 x 轴平行. 其中,所有正确结论的序号为 A.①③ B.①④ C.②④ D.③④

10.设函数的定义域为 D,若 f ? x ? 满足条件:存在 ? a, b? ? D ,使 f ? x ? 在 ? a, b? 上的值
x 域是 ? , ? ,则称 f ? x ? 为“倍缩函数”.若函数 f ? x ? ? log 2 2 ? t 为“倍缩函数” , 2 2

?a b? ? ?

?

?

则实数 t 的取值范围是 A. ? ??,

? ?

1? ? 4?

B. ? 0, ?

? ?

1? 4?

C. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

D. ?

?1 ? , ?? ? ?4 ?

2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把正确答案填在答题卡的相应位 置. 11.函数 f ? x ? ? ln 2 ? x ? 1 的定义域为 12.定积分

?

?

?

1

0

x dx 的值为

?

1 3

13.一个几何体的三视图如右图所示,若其正视图、侧视图都是 面积为

3 ,且一个角为 60°的菱 形,俯视图为正方形,则该 2

几何体的体积为 14.已知抛物线 y 2 ? 8x 的焦点为 F,P 是抛物线的准线上的一 点,Q 是直线 PF 与抛物线的一个交点,若 PQ ? 2QF ,则直 线 PF 的方程为 15. 已知点 A ? 0,1? ,直线 l : y ? kx ? m 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 交于 B,C 两点, ?ABC 和

uuu r

uuu r

?OBC 的面积分别为 S1 , S2 ,若 ?BAC ? 60o , 且S1 ? 2S2 ,则实数 k 的值为
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x ? cos ? x ?
2 2

? ?

??

?? x ? R? . 3?

(I)求 f ? x ? 最小正周期和单调递增区间; (II)求 f ? x ? 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 3 6? ?

3

17. (本小题满分 12 分) “城市呼唤绿化” ,发展园林绿化事业是促进国家经济发展和城市建设事业的重要组成部 分,某城市响应城市绿化的号召,计划建一如图所示的三角形 ABC 形状的主题公园,其 中一边利用现成的围墙 BC,长度为 100 3 米,另外两边 AB,AC 使用 某种新型材料围成, 已知 ?BAC ? 120o , ab ? x, AC ? y ( x, y 单位均为米). (1)求 x, y 满足的关系式(指出 x, y 的取值范围) ; (2)在保证围成的是三角形公园 的情况下, 如何设计能使所用的新 型材料总长度最短?最短长度是 多少?

18. (本小题满分 12 分) 如图,几何体 EF ? ABCD 中,CDEF 为边长为 2 的正 方 形 , ABCD 为 直 角 梯 形 ,

A /B /

C ? ,D

A D ? ,

D C 2 ? ,A ? D

o

4 ,? A B

9 A 0 D F

. (1)求证: AC ? FB ; (2)求二面角 E ? FB ? C 的大小.

19. (本小题满分 12 分) 在 数列 ?an ? ,?bn ? 中,已知 a1 ? 1, b1 ? 2,且 ? an , bn , an?1 成等差数列, ?bn , an , bn?1 也成 等差数列. (1)求证: ?an ? bn ? 是等比数列;
n n (2)若 cn ? 2an ? 3 log 3 ?2an ? ? ?1? ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

?

?

?

?

4

20. (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率是 ,过点 P ?1,0 ? 的动直线 l 与椭圆 2 a b 2

相交于 A,B 两点,当直线 l 平行于 y 轴时,直线 l 被椭圆 C 截得的线段长为 2 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 D 为椭圆的左端点,问:是否存在直 线 l 使得 ?ABD 的面积为

10 2 ?若不存在说明 3

理由 ,若存在,求出直线 l 的 方程.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? e (e 为自然对数的底数,e=2.71828?) , g ? x? ?
x

a x ? b ? a, b ? R ? . 2

(1)若 h ? x ? ? f ? x ? g ? x ? , b ? 1 ?

a ,求 h ? x ? 在?0, 1? 上的最大值 ? ? a ? 的表达式; 2

(2)若 a ? 4 时,方程 f ? x ? ? g ? x ? 在?0, 2? 上恰有两个相异实根,求实数 b 的取值范围; (3)若 b ? ?

15 , a ? N ? ,求使 f ? x ? 的图象恒在 g ? x ? 图象上方的最大正整数 a. 2

5

6

7

8

9


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