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2013届高三理科数学二轮复习专题能力提升训练21


训练 21 数学思想在解题中的应用(一)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2012· 北京东城模拟)已知向量 a=(3,2),b=(-6,1),而(λa+b)⊥(a-λb),则 实数 λ 等于 ( A.1 或 2 C.2 1 B.2 或-2 D.0 ).

2.公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项, S8=32,则 S10 等于 ( A.18 B.24 C.60 D.90 ).

cos 4x 3.(2012· 临沂模拟)函数 y= 2x 的图象大致是 ( ).

4.已知集合 A={(x,y)|x、y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x、y 为实数, 且 x+y=1}, 则 A∩B 的元素个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 ).

5.若关于 x 的方程 x2+2kx-1=0 的两根 x1、x2 满足-1≤x1<0<x2<2,则 k 的取值范围是 ( ? 3 ? A.?-4,0? ? ? 3? ? C.?0,4? ? ? ? 3 ? B.?-4,0? ? ? 3? ? D.?0,4? ? ? ).

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

[来源:学科网]

6.(2012· 合肥模拟)AB 是过椭圆 b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的中心弦,F(c,0)为它 的右焦点,则△FAB 面积的最大值是________. π → → 7.长度都为 2 的向量OA,OB的夹角为3,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB (劣弧) → → → 上,OC=mOA+ nOB,则 m+n 的最大值是________. x2 y2 8.(2012· 厦门模拟)已知 F 是双曲线 4 -12=1 的左焦点,定点 A(1,4),P 是双曲 线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为________. 三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分) x2 y2 ? 5 2 ? 9.(11 分)(2012· 天津)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0),点 P? a, a?在椭圆上. 2 ? ?5 (1)求椭圆的离心率; (2)设 A 为椭圆的左顶点,O 为坐标原点.若点 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|, 求直线 OQ 的斜率的值. 10.(12 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx. (1)若函数 y=f(x)在 x=2 处有极值-6,求 y=f(x)的单调递减区间; (2)若 y=f(x)的导数 f′(x)对 x∈[-1,1]都有 f′(x)≤2,求 11.(12 分)已知函数 f(x)=ln(x+1)-k(x-1)+1. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)≤0 恒 成立,试确定实数 k 的取值范围; ln 2 ln 3 ln 4 ln n n?n-1? (3)证明: 3 + 4 + 5 +…+ < 4 (n∈N*且 n>1). n+1
[来源:Zxxk.Com]

b 的范围. a-1

参考答案

训练 21

数学思想在解题中的应用(一)

1.B [由(λa+b)⊥(a-λb)得(λa+b)· (a-λb)=0, ∴(3λ-6,2λ+1)· (3+6λ,2-λ)=0, 1 ∴λ=2 或 λ=-2,故选 B.] 2.C [设数列{an}的公差为 d.
2 2 ?a3?a3+4d?=?a3+d? , ∴? ?a1+a8=8,

?a3a7=a4, ? 则? ?a1+a8?8 =32, ?S8= 2 ? 解得:a1=-3,d=2,

10×9 ∴S10=10×(-3)+ 2 ×2=60.] cos 4x 3.A [易知函数 y= 2x 是非奇非偶函数,由此可排除 C,D 项,对此 A,B cos 4x 项,当 x>0 时,x 取值越大,y= 2x 的波动幅度越小,由此排除 B 项,故 选 A.] 4.C [法一
2 2 ?x +y =1, ?x=1, ?x=0, 由题得? ∴? 或? ?x+y=1, ?y=0 ?y=1.

A∩B={(x,y)|(1,0),(0,1)},所以选 C. 法二

[来源:学科网]

直接作出单位圆 x2+y2=1 和直线 x+y=1, 观察得两曲线有两个交点,

故选 C.] 5.B [构造函数 f(x)=x2+2kx-1,∵关于 x 的方程 x2+2kx-1=0 的两根 x1、 x2 满足-1≤x1<0<x2<2,

?f?-1?≥0, ∴?f?0?<0, ?f?2?>0,
6.解析

?-2k≥0, 即?-1<0, ?4k+3>0,

3 ∴-4<k≤0.]

如图所示,F′为椭圆的左焦点,连接 AF′,BF′,则四边形 AFBF′

1 为平行四边形,S△ABF=S△ABF′=2· |FF′|· h≤bc.当 A 与短轴端点重合时,(S△
ABF)max=bc .

答案 7. 解析

bc → → → 建立平面直角坐标系, 设向量OA=(2,0), 向量OB=(1, 3). 设向量OC

π → → → 得(2cos α, =(2cos α, 2sin α), 0≤α≤3.由OC=mOA+nOB, 2sin α)=(2m+n, 3n), 即 2cos α=2m+n,2sin α= 3n,解得 m=cos α- 故 m+n=cos α+ 答案 8.解析 2 3 3 设双曲线的右焦点为 E,则|PF|-|PE|=4,|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|, π? 2 3 1 2 3 ? sin α= 3 sin?α+3?≤ 3 . ? ? 3 1 2 sin α,n= sin α. 3 3

当 A、P、E 共线时,(|PE|+|PA|)min=|AE|= ?1-4?2+?4-0?2=5,|PF|+|PA| 的最小值为 9.

答案

9

a2 a2 b2 5 ? 5 2 ? 9.解 (1)因为点 P? a, a?在椭圆上,故5a2+2b2=1,可得a2=8. 2 ? ?5 a2-b2 b2 3 6 于是 e2= a2 =1-a2=8,所以椭圆的离心率 e= 4 . (2)设直线 OQ 的斜率为 k,则其方程为 y=kx,设点 Q 的坐标为(x0,y0). ?y0=kx0, ? a2b2 2 2 ? x2 y0 由条件得 0 消去 y0 并整理得 x0= 2 2 2.① k a +b ?a2+b2=1. ?

2 由|AQ|=|AO|, A(-a,0)及 y0=kx0, 0+a)2+k2x2=a2.整理得(1+k2)x0+2ax0 得(x 0

=0,而 x0 ≠0,故 x0=

-2a a2 ,代入①,整理得(1+k2)2=4k2·2+4. b 1+k2

a2 8 32 由 (1)知b2=5,故(1+k2)2= 5 k2+4, 即 5k4-22k2-15=0,可得 k2=5. 所以直线 OQ 的斜率 k=± 5. 10.解 (1)f′(x)=3x2+2ax+b,

?f′?2?=0, ?12+4a+b=0, 依题意有? 即? ?f?2?=-6, ?8+4a+2b=-6, 5 ? ?a=- , 2 解得? ?b=-2. ? 1 ∴f′(x)=3x2-5x-2.由 f′(x)<0,得-3<x<2. ? 1 ? ∵y=f(x)的单调递减区间是?-3,2? . ? ? ?f′?-1?=3-2a+b≤2, ?2a-b-1≥0, (2)由? 得? ?f′?1?=3+2a+b≤2 ?2a+b+1≤0. 不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示: ?2a-b-1=0, ?a=0, 由? 得? ?2a+b+1=0 ?b=-1. ∴Q 点的坐标为(0,-1). 设 z= b ,则 z 表示平面区域内的点(a,b)与点 P(1,0)连线斜率. a-1

∵kPQ=1,由图可知 z≥1 或 z<-2, 即 b ∈(-∞,-2)∪[1,+∞). a-1
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

11.解

(1)函数 f(x )的定义域为(1,+∞),f′(x)= 1 >0,f′(x)>0. x-1

1 -k. x-1

当 k≤0 时,∵x-1>0,∴

则 f(x)在(1,+∞)上是增函数. 当 k>0 时,令 f′(x)=0,即 1 1 -k=0,得 x=1+k. x-1

1? 1 ? 当 x∈?1,1+k?时,f′(x)= -k> ? ? x-1 1? ? 则 f(x)在?1,1+k?上是增函数. ? ?

1 -k=0, 1 1+k-1

1 1 ? ? 当 x∈ ?1+k,+∞?时,f′(x)= -k< ? ? x-1 1 ? ? ∴f(x)在?1+k,+∞?上是减函数. ? ?

1 -k=0, 1 1+k-1

综上可知,当 k≤0 时,f(x)在(1,+∞)上是增函数; 1 ? ? 在?1+k ,+∞?上是减函数. ? ? (2)由(1)知,当 k≤0 时,f(2)=1-k>0,不成立. 故只考虑 k>0 的情况. 1? ? 又由(1)知 f(x)max=f?1+k?=-ln k. ? ? 要使 f(x)≤0 恒成立,只要 f(x)max≤0 即可. 由-ln k≤0 得 k≥1. (3)证明:由(2)知当 k=1 时,有 f(x)≤0 在(1,+∞)内恒成立, 又 f(x)在[2,+∞)内是减函数,f(2)=0. ∴x∈(2,+∞)时,恒有 f(x )<0 成立, 即 ln(x-1)<x-2 在(2,+∞)内恒成立. 令 x-1=n2(n∈N*且 n>1),则 ln n2<n2-1. 即 2ln n<(n-1)(n+1), ∴ ln n n-1 < 2 (n∈N*,且 n>1). n+1
[来源:学+科+网]

n-1 n?n-1? ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 ln 2 ln 3 ∴ 3 + 4 + 5 +…+ <2+2+2+…+ 2 = 4 , 3 + 4 + 即 n+1 ln 4 ln n n?n-1? +…+ < (n∈N*且 n>1)成立. 5 4 n+1
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