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数列求和的几种常用方法


2014-7-20

第一种方法:错项相减法(或称错位相减法)解数列求和问题探究

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法, 错位相减法法主要用于求数列{an· bn}的前n项和, 其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
这错位相减法也可以用于求数列{an/bn}的前n项和, 其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

2014-7-20

求当 x ? 1 时,求和: S n ? 1 ? 3 x ? 5 x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) x n ?1
解:由题可知 该数列的通项为 (2n ? 1) x n ?1 是等差数列 ?2n ? 1?的通项与等比数列 x n ?1 的 通项之积 设: S n ? 1 ? 3 x ? 5 x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ?1 …①

? ?

xSn ?
1

1x ? 3 x 2 ? 5 x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ??2n ? 3?x n ?1 ? (2n ? 1) x n ……… ② (设制错位)
(错位相减)

-②得 (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ? 2 x 2 ? 2 x 3 ? 2 x 4 ? ? ? ? ? 2 x n ?1 ? (2n ? 1) x n

1 ? x n ?1 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x ) S n ? 1 ? 2 x ? ? (2n ? 1) x n 又 ? x ? 1 1? x

(2n ? 1) x n ?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) ∴ Sn ? (1 ? x) 2
错位相减法的使用:1.在求和时候前n项和式子中两边同乘以等比数列的公比q. 2.Sn与qSn做一个错位相减。
2014-7-20

求数列 2 , 42 , 63 ,? ? ?, 2n ,? ? ? 前 n 项的和. n
2 2 2 2

由题可知, ? 设: S n ?

? 2n ? ? 1 ? 的通项是等差数列 ?2 n?的通项与等比数列 ? n ? 的通项之积 n ? ?2 ? ?2 ?

2 4 6 2n ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………………………………② 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 ∴ S n ? 4 ? n ?1 2

(设制错位) (错位相减)

2014-7-20

第二种方法:裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质 是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项, 最终达到求和的目的.通项分解(裂项).

求和

1 1 1 ? ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7
an ?

?

1 (2n ? 1)(2n ? 1)

1 1 1 ? an ? 2( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

数列{an}的前n项和:
1 1 1 1 1 S n ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1


2(1 ?

1 ) 2n ? 1



4n 2n ? 1

2014-7-20

求数列
1 1? 2 , 1 2? 3 ,? ? ?,
an ? ? 1
=

1 n ? n ?1
1

,? ? ?

的前n项和 ,则

.

解:设
Sn ? 1 1? 2

n ? n ?1 ? ??? ?

? n ?1 ? n 1 n ? n ?1

2? 3

? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n )
? n ? 1 ?1

2014-7-20

1 1 1 1 + + +…? 1· 2 2 · 3 3· 4 n( n ? 1) 1 1 1 1 (2) ? ? ?…? 1·5 3· 7 5· 9 (2 n ? 1)(2 n ? 3) 1 1 1 1 (3) ? ? ?…? 2 ·5 5·8 8·11 (3n ? 1)(3n ? 2) 1 1 1 解 (1) ? ? n(n + 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴S n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? … ? ( ? ) 1 2 2 3 3 4 n n ?1 1 ? 1? n ?1 n ? n ?1 (1)

2014-7-20

1 1 1 1 + + +…? 1· 2 2 · 3 3· 4 n( n ? 1) 1 1 1 1 (2) ? ? ?…? 1·5 3· 7 5· 9 (2 n ? 1)(2 n ? 3) 1 1 1 1 (3) ? ? ?…? 2 ·5 5·8 8·11 (3n ? 1)(3n ? 2) (1)

1 1 1 1 (2) ? ( ? ) (2n ? 1)(2n + 3) 4 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 ∴ S n = [1 ? ? ? ? ? ? … ? ? 4 5 3 7 5 9 2n ? 3 1 1 1 ? ? ] 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3
1 1 1 1 = [1 ? ? ? ] 4 3 2n ? 1 2n ? 3 n(4 n ? 5) ? 3(2 n ? 1)(2 n ? 3)
2014-7-20

1 1 1 1 + + +…? 1· 2 2 · 3 3· 4 n( n ? 1) 1 1 1 1 (2) ? ? ?…? 1·5 3· 7 5· 9 (2 n ? 1)(2 n ? 3) 1 1 1 1 (3) ? ? ?…? 2 ·5 5·8 8·11 (3n ? 1)(3n ? 2) (1)
(3) 1 1 1 1 ? ( ? ) (3n ? 1)(3n + 2) 3 3n ? 1 3n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ S n = [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? … ? ( ? )] 3 2 5 5 8 8 11 3n ? 1 3n ? 2

1 1 1 = ( ? ) 3 2 3n ? 2 n ? 6n ? 4
2014-7-20

第三种方法:分组求和法: 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列, 若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列, 然后分别求和,再将其合并即可.

2014-7-20

求下列数列的前n项和Sn:

1 1 1 1 (1)1 , 2 , 3 ,…,( n ? n ) ,…; 2 4 8 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (2) ? 2 , 3 ? 4 , 5 ? 6 ,…, 2 n ?1 ? 2 n ,…; 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 (3)1,1+ ,1+ ? ,…,1+ + +…+ n ?1 ,…. 2 2 4 2 4 2
1 1 1 1 解 (1)S n = 1 ? 2 ? 3 ? … ? ( n ? n ) 2 4 8 2 1 1 1 1 = (1+ 2+ 3+…+n) + ( ? ? ? … ? n ) 2 4 8 2 1 1 n(n +1) 2 (1 ? 2 n ) = ? 1 2 1? 2 n( n ? 1) 1 = 1+ ? n 2 2
2014-7-20

求下列数列的前n项和Sn:

1 1 1 1 (1)1 , 2 , 3 ,…,( n ? n ) ,…; 2 4 8 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (2) ? 2 , 3 ? 4 , 5 ? 6 ,…, 2 n ?1 ? 2 n ,…; 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 (3)1,1+ ,1+ ? ,…,1+ + +…+ n ?1 ,…. 2 2 4 2 4 2
1 2 1 2 1 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? … ? 2 n?1 ? 2 n 3 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 2 = ( + 3 + … + 2n-1 ) + ( 2 + 4 + … + 2n ) 3 3 3 3 3 3

(2)S n =

1 1 2 1 (1 ? 2 n ) ( 1 ? ) 3 3 32 32 n = ? 1 1 1? 2 1? 2 3 3 5 1 ? (1 ? 2 n ) 8 3
2014-7-20

求下列数列的前n项和Sn:

1 1 1 1 (1)1 , 2 , 3 ,…,( n ? n ) ,…; 2 4 8 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (2) ? 2 , 3 ? 4 , 5 ? 6 ,…, 2 n ?1 ? 2 n ,…; 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 (3)1,1+ ,1+ ? ,…,1+ + +…+ n ?1 ,…. 2 2 4 2 4 2

(3)先对通项求和
an = 1? 1 1 1 1 ? ? … ? n ?1 ? 2 ? n ?1 2 4 2 2 1 1 1 ∴ S n = (2 +2 +…+2) -(1+ + + … + n-1 ) 2 4 2 1 1 1 = 2n-(1+ + + … + n-1 ) 2 4 2 1 = 2n-2 + n ?1 2
2014-7-20

1 1 1 已 知 数 列 : 1 ? 1, ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 a a a
解:设 S n ? (1 ? 1) ? (

,…

求数列的前n项和:

1 1 1 ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a 1 1 1 将其每一项拆开再重新组合得 S n ? (1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) (分 a a a
组)

(3n ? 1) n (3n ? 1)n = (分组求和) 2 2 1 1? n (3n ? 1)n a ? a1? n (3n ? 1)n a 当 a ? 1 时, S n ? = ? ? 1 2 a ? 1 2 1? a
当 a =1 时, S n ? n ?

2014-7-20

.常用结论 1) ? k ? 1+2+3+...+n =
k ?1 n

n(n ? 1) 2

2)

? (2k ? 1) ? 1+3+5+...+(2n-1) = n 2
k ?1

n

3) 4)

1 ? k ? 1 ?2 ?3 ???n ? 6 n(n?1)(2n?1)
n 2

2

2

2

2

k ?1

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

,

1 1 1 1 ? ( ? ) n ( n ? 2) 2 n n ? 2

2014-7-20

第四种方法:倒序相加法

类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与 原数列相加, 就可以得到 n 个 a1 +an . 【特点:(a1 ? a n ) ? ( a 2 ? a n ?1 ) ? (a3 ? a n ? 2 ) ? ? ? ? ? 一 个常数或定值】

2014-7-20

小结
? ? ? ? 第一种方法:错项相减法 第二种方法:裂项相消法 第三种方法:分组求和法 第四种方法:倒序相加法

2014-7-20


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