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高三立体几何一轮复习修改教案


第九模块

立体几何

3 平面基本性质与空间两直线的位置关系 一、空间点与线,点与面,线与线,线与面,面与面位置关系 二、平面基本性质定理及推论 性质一:若直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内 符号表示: A, B ? l且A, B ? ?则l ? ? 性质二:经过不在同一直线上的三点有唯一一个平面 推论 1:直

线和直线外一点确定唯一平面 推论 2:平行直线确定唯一平面 推论 3:相交直线确定唯一平面 性质三:两个不重合的平面有一个公共点,那么有唯一一条通过公共点的公共交线 该性质 符号表示:

?
m O

l

?

n

三、异面直线所成的角 1、求异面直线 a 与 b 所成角的方法

a
a O

'

b
b

'

在空间中任取一点 O,过 O 作 a 与 b 的 平行线,则

a, b ?

a ,b

'

'

2、线线角的范围 线线角的范围
?

?0 , 90 ?
?

异面直线所成角的范围

?0 , 90 ?
? 0

四、平行: 空间中平行于同一条直线的两条直线平行

1

典例
一、三线共点问题 解题思路:先证明其中两条直线共点,再证明该点在第三条直线上 例空间四边形 ABCD 中,E,F,G 分别在 AB,BC,CD 上,且满足 AE:EB=CF:FB=2:1, CG:GD=AH:HD=3:1,过 E,F,G 的平面交 AD 于 H 求证:EH,FG,BD 三线共点 A H E B D F G C

练习:⑴三个平面两两相交得到三条交线,如果其中有两条相交于一点,那么第三条直线也 经过这一点

二、三点共线 解题思路:证明这三个点是两个平面的公共点 例如图, 在在四面体 ABCD 中作截面 PQR, CB 的延长线交于 M。 DB 的延长线交于 N.RP,DC PQ, RQ, 的延长线交于 K。求证:M,N,K 三点共线 A R Q M N B C K 三、三线共面问题 证空间中三条平行线共面 P D

四、求异面直线所成角问题 注:利用平行公理找角,利用余弦定理计算,结果要锐角或直角 ㈠平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角 正方体 ABCD ? 角的余弦值 ㈡补形法 例: 在直三棱柱

A B C D 中,E,F 分别是 B B 和C C 中点,则直线 AE 和 BF 所成
1 1 1 1 1 1

ABC
1 1

1

? ABC 中,?BCA ? 90 , D1 , F 1 分别是 A1 B1 , A1 C1 中 点
2

?

点,BC=CA= C

C ,则 B D 与A F 所成角的余弦值
1
1 1

A、

30 10

B、

1 2

C、

30 15

D、

15 10

练习:⑴在四面体 ABCD 中,E,F 分别是 AC,BD 的中点,若 CD=2AB=2,EF ? AB,则 EF 与 CD 所成的角等于 A、

75

?

B、

60
1

?

C、

45

?

D、

30

?

⑵正方体 ABCD ? 是C

A B C D 中,E,F 分别是正方形 AD D A 和 ABCD 的中心,G
1 1 1
1 1

C 的中点,设 GF, C
1

1

E 与 AB 所成的角分别为 ? , ?求? ? ?

五、作空间两个已知平面的交线 如图所示,在棱长为 a 的正方体 ABCD ?

A B C D 中,M,N 分别是 A A , C D 上
1 1 1 1 1 1 1

中点,过 D,M,N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线 l, ⑴画出直线 l ⑵设 l ?

AB
1

1

? P ,求线段 P B1 的长
D

C B

A M

D
P

1

N

A
E

C
B
1

1

1

综合练习: 1、 在空间中,下列命题正确的是 A、对边相等的四边形一定是平面图形 B、四边相等的四边形一定是平面图形 C、 有一组对边平行的四边形一定是平面图形 D、 有一组对角相等的四边形一定是平面图形 2、下列说法一定正确的是 ①三角形一定是平面图形 ②若四边形的两条对角线相交于一点,则四边形一定是平面图形 ③圆心和圆上两点可以确定一个平面 ④三条平行线最多可以确定三个平面 3、下列命题正确的有 ①若 ?ABC 在平面 ? 外,它的三条边所在的直线分别交 ? 于 P,Q,R 则 P,Q,R 共线

3

②若三条直线 a,b,c 互相平行,且分别交直线 l 于 A,B,C 三点,则这四直线共面 ③空间中不共线的五个点最多可以确定 10 个平面 平面 ?与? 相交,在 ?与? 内各取两点,所取的四个点都不在交线上,这四个点能确定多少 个平面 4 空间平行关系 一、空间平行关系转化图及相关定理 面面平行判定定理推论
平行 公理

? 线线平行 ?? ? 线线平行

?? ? ? ? ?? ? ? ? 线面平行
性质定理

线面平行 判定定理

线面平行

?? ? ? ? ?? ? ? ? 面面平行
基本性质

面面平行 判定定理

面面平行

面面平行性质定理 ㈠平行公理:空间中平行于同一条直线的两条直线平行 ㈡线面平行的判定定理: 1、文字语言:平面外直线与平面内直线平行则线面平行 2、图形语言: l

m

?
3、符号语言: l ? ? , m ? ? , l || m ? l || ? ㈢先面平行的性质定理 1、 文字语言:线面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,则线面平行 2、 图形语言

?
l

?

3、 符号语言: l || ? , l ? ? , ? ? ? ? l || ?
4

㈣面面平行性质定理 1、 文字语言:如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行则面面平行 2、 图形语言

l

?

m

?
3、符号语言: l , m ? ? , l ? m, l || ? , m || ? ? ? || ? ㈤面面平行的性质定理: 1、 文字语言:面面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行 2、 图形语言:

m

?

?
3、 符号语言: ? || ? , l ? ? ? l || ? ㈥面面平行判定定理的推论 1、文字语言:如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行则面面平行 2、图形语言 l

?

m

l
?

'

m

'

3、符号语言: l , m ? ? , l ? m, l || ? , m || ? ? ? || ? ㈦面面平行性质定理

5

1、 文字语言:如果两个平行平面和第三个平面相交,则交线平行 2、 图形语言:

?

?

l

m

?
3、符号语言

? || ? , ? ? ? ? l , ? ? ? ? m ? l || m
注:应用该定理时一定要保证和两个平行平面相交的四边形是平面图形 判断一个四边形是平面图形的方法 ?

?两条相交直线确定唯一平面 ? 两条平行线确定唯一平面

补充结论: 1、平行于同一平面的两个平面平行 2、垂直于同一平面的两条直线平行 3、垂直于同一直线的两个平面平行 典例: 一、线面平行的判定与性质 ㈠线面平行判定 线面平行,面面平行的判定与性质是我们今后研究的主要问题, 线面平行的判定方法 ①平行关系转画图 ?

?利用线线平行证线面平行 ?利用面面平行证线面平行

②向量法 ③线面平行定义:直线与平面没有公共点 其中线线平行关系的判定是解决线面平行判定问题的关键, 常见的线线平行的判断方法有

? 平行公理 ? ①平行关系转画图 ? 从线面平行到线线平行 ? 从面面平行到线面平行 ?
②三角形,平行四边形(菱形,矩形,正方形)梯形中位线性质 在找三角形中位线是常常利用平行四边形(菱形,矩形,正方形)对角线互相平分的性质 ③利用平行线分线段成比例定理推论找平行线

平行于三角形一边,截其它两边或两边的延长线,所得的对应线段成比例

6

A D

E

DE∥BC AD AE ⑴ ? DB EC AD AE DE ⑵ ? ? AB AC BC 注: 反之任取一组比例式可推得 DE ∥BC
C E

B D

A

DE∥BC DA EA DE ? ? AC AB BC 注:反之任取一组比例式可推知 DE∥BC
C

B

注该定理常和合分比定理结合
④向量法(后面讲) ⑤垂直于同一平面的两条直线平行 例如图所示:已知 E,F,G,M 分别是四面体的棱 AD,CD,BD,BC 的中点,求证: AM||面 EFG A E

B M C

G N N

设计说明:可以通过面面平行证线面平行 例已知正方体 ABCD求证:EF||平面 BC

A B C D ,棱长为 a,E,F 分别在 A B ,BD 上,且 B E ? BF
1 1 1 1
1 1

CB
1

1

练习:已知有公共边的两个全等矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内,P,Q 分别是对角线 AE,BD 上的点,且 AP=DQ 求证:PQ||平面 CBE ㈡线面平行的性质

7

例 1、如图四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,M 是 PC 中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AM 做平面交平面 BDM 于 GH, 求证:AP||GH P M G D H A 例 2、直三棱柱 求证: A
1

C

利用线线平行证明线面平行, 再利用线 面平行证线线平行 利用平行四边形 (菱形, 矩形, 正方形) 对角线互相平分的性质找中点, 连中位 线 ,创造线线平行条件

B

ABC
1

1

? ABC 中,M 为 AC 中点
1

B || 平面 BMC
1
1

A

A

2 2 2

C

1

B C

B

1

设计说明:牢牢把握直(正)棱柱,正棱锥的结构特征对于研究空间几何问题(空间平行关 系的判定与性质及空间垂直关系的判定与性质)有很大帮助。

?侧棱与底面垂直 ? ?侧面与底面垂直 直棱柱的结构特征 ? ? 侧面是矩形 ? 底面是多边形 ?
? ? ? 正棱锥结构特征 ? ? ? ? 底面是正多边形 侧棱都相等

? 侧棱与底面垂直 ? ? 侧面与底面垂直 正棱柱的结构特征 ? ?侧面是全等的矩形 ? 底面是正多边形 ?

侧面是全等的等腰三角形 顶点在底面的射影是底面的中心

正棱锥的判定:底面是正三角形,侧棱长都相等的棱锥是正棱锥 练习:如图,多面体 AEDBFC 的直观图及三视图如图所示,M,N 分别为 AF,BC 的中点 ⑴求证:MN||面 CDEF ⑵求多面体 A—CDEF 的体积

8

D E N

C 2 F M B 2

A 2

答案:

8 3

例 3、如图在三棱锥 A—BCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD,试问截面在什么位置 时截面面积最大? A E F

B H G C 分析:由已知可证 EF||CD,EG||AB

D

设 FG=x,FE=y,AB=a,CD=b, FG, EF ? AB, CD ? ? 显然 a,b, ? 为定值 FG||AB

x CF ? a CA
EF||CD

y AF ? b AC
由合分比定理

a ? x AF ? a AC b ∴ y ? ?a ? x ? a
截面 EFGH 的面积

S ? xy sin ? ?

b ?a ? x ?sin ? a
9

∴x ?

a b , y ? 时截面面积最大 2 2

二、面面平行的判定与性质 ㈠面面平行关系的判定 面面平行判定方法 ①平行关系转画图 ?

?利用线面平行证面面平行 ?利用线线平行证面面平行

②向量法(后面讲) ③垂直于同一直线的两个平面平行 ④面面平行的定义:两个平面没有公共点 例三棱柱 ABC求证:平面

ABC
1 1
1

1

,D 是 BC 上一点,且

A B ||平面 A C
1

1

D , D1 是 B1 C1 中点,

A B D ||平面 A C
1

1

D

练习:B 为 ?ACD 所在平面外一点,M,N,G 分别是 ?ABC , ?ABD , ?BCD 的重心 求证:平面 MNG||平面 ABC ㈡面面平行的性质 例 1 如 图 所 示 正 方 体 ABCD-

ABC D
1 1 1

1

的 棱 长 都 是 a,M,N 分 别 是 下 底 面 棱

A B ,B C
1 1 1

1

的中点,P 是上底面棱 AD 上一点,AP= CD 上,则 PQ= P D Q C

a ,过 P,M,N 的平面交上底面于 P,Q,Q 在 3

A

B

D
A

1

C
N M

1

1

B

1

答案:

2 2 a 3

例 2 如图直线 AC,DF 被三个平行平面 ? , ? , ? 所截 ⑴是否一定有 AD||BE|||CF ⑵若

AB DE ? ?, ? ? ,试判断 ?与? 的大小 BC EF
10

解⑴当 AC 与 DF 共面时由面面平行性质定理结论成立,但当 AC 与 DF 不共面时结论不成 立 ⑵当 AC 与 DF 共面时 ? ? ? 现在讨论 AC 与 DF 不共面时的情况 A

?

D

?

B

E

'

E

? C

F

'

F

法一:如图,过 A 作 A

F

'

||DF,交 ? 于

E ,交 ? 于 F
'

'

以下略 也可以从 B 或 C 处引平行线 法二:连 AF 练习:已知 AB,CD 是夹在两个平行平面 ? , ? 间的线段,M,N 分别是 AB,CD 的中点, 求证:MN||平面 ? 综合练习: 1、下列说法正确的是 A、 直线 l 平行于平面 ? 内无数条直线,则 l|| ? B、 若直线 a 在 ? 外,则 a|| ? C、 若直线 a ? b ? ? , b ? ? 则 a|| ? D、 若直线 a||b, b ? ? ,那么直线 a 平行于面 ? 内无数条直线 2、一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线位置关系 A、异面 B、相交 C、平行 D、不能确定 答案:C 3、a,b,c 为三条不重合直线, ? , ? , ? 为三个不重合平面,现给出六个命题



a || c ? ? ? a || b b || c ?



a || ? ? ? ? a || b b || ? ?



? || c ? ? ? ? || ? ? || c ?
? || ? ? ? ? ? || a a || ? ?



? || ? ? ? ? ? || ? ? || ? ?



? || c ?

? ? ? || a a || c ?



11

其中正确的是 A、①②③ B、①④⑤ C、①④ 答案:B 4、若直线 a 不平行于平面 ? ,则下列结论正确的是 A、 ? 面内所有直线与 a 异面 B、 ? 面内不存在与 a 平行的直线 C、 ? 面内直线与 a 都相交 D、直线 a 与 ? 有公共点 答案:D 5、平面 ? || ? 的一个充要条件是 A、 存在一条直线 a, a || ? , a || ? B、 存在一条直线 a, a ? ? , a || ? C、 存在两条平行线 a,b, a ? ? , b ? ? , a || ? , b || ? D、 存在两条异面直线 a,b, a ? ? , b ? ? , a || ? , b || ? 答案:D

D、①④⑤⑥

6、若平面 ? || ? ,直线 a || ? ,点 B ? ? ,则在平面 ? 内,与过 B 点的所有直线中 A、 不一定存在与 a 平行的直线 B、 只有两条与 a 平行的直线 C、 存在无数条与 a 平行的直线 D、 存在唯一一条与 a 平行的直线 答案:A 7、对于平面 ? 和共面的直线 m,n 下列命题中是真命题的是 A、 若 m ? ? , m ? n则n || ? B、 若 m || ? , n || ?则m || n C、 若 m ? ? , n || ?则m || n D、 若 m,n 与 ? 所成的角相等,则 m||n 答案:C 8、a,b 是两条不重合的直线,给出以下四个命题 1) 2) 3) 4) 若 a||b, b ? ? , 则a || ?

若a || ? , b ? ?则a || b
若 a || b, a || ? , 则b || ? 若 a || ? , b || ?则a || b
12

其中真命题的个数是 A、0 B、1 C、2 D、3 答案:A 9、考查下列三个命题,在()内补全条件

m ? ?? ? ① l || m ? ? l || ? ?? ? ?
答案:都是 l ? ?

m || ? ? ? ② l || m ? ? l || ? ?? ? ?
5 空间垂直关系

? ? ?? ? ③ l ? ? ? ? l || ?

??

? ?

一、空间垂直关系转化图及相关定理

线线垂直

?线面垂直的判定定理 ? ????? ? ?? ? ? ? ? 线面垂直定义

线面垂直

?面面垂直的判定定理 ? ????? ? ?? ? ? ? ? ? 面面垂直的性质定理

面面垂直

㈠线面垂直的判定定理 1、 文字语言:如果一条直线和一个平面内两条相交直线垂直,则线面垂直 2、 图形语言: l

n

?

m

O

3、 符号语言: m, n ? ? , l ? m, l ? n ? l ? ? ㈡线面垂直定义 1、 文字语言:线面垂直,直线与平面内所有直线垂直 2、 图形语言: n

m

?
3、 符号语言: l ? ? , m ? ? ? l ? m
13

㈢面面垂直的判定定理 1、 文字语言:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则面面垂直 2、 图形语言:

?
l

?

3、 符号语言: l ? ? , l ? ? ? ? ? ? ㈣面面垂直性质定理: 1、 文字语言:面面垂直,在一个平面內作交线的垂线垂直于另一个平面 2、 图形语言:

?
l

?
m

3、符号语言: ? ? ? , ? ? ? ? m, l ? ? , l ? m ? l ? ? 补充性质: 1、 线面垂直性质定理:两条平行线中有一条平行线与一个平面垂直,则另一条直线与这个 平面也垂直 2、 两个平行平面中有一个平面与一条直线垂直,则另一个平面与这条直线也垂直 3、三垂线定理与逆定理

14

A

如图所示 AO 为面 ? 的垂线,O 为垂足;AB 为面 ? 的 斜线,B 为斜足;BO 为斜线 AB 在 ? 面内的射影 ⑴线面垂直,在一个平面内与斜线垂直的直线与这条 直线在这个平面上的射影垂直

AO ? 平面?,m ? ? , m ? AB ? m ? BO

?

B

O m

⑵线面垂直,在一个平面内与射影垂直的直线与这条 射影对应的斜线垂直

AO ? 平面?,m ? ? , m ? BO ? m ? AB
三垂线定理推论:若平面的两条斜线相等,则这两条斜线对应的射影也相等,反之也对 例点 P 是等腰 ?ABC 所在平面外一点,PA ? 平面 ABC,PA=8,在 ?ABC 中,AB=AC=5,BC=6, 则点 P 到 BC 的距离 答案: 4 5 典型例题 一、线面垂直的判定与性质 线面垂直与面面垂直是今后我们要研究的主要问题。问题的关键是线线垂直。 线线垂直的判定方法 ①空间线面垂直证线线垂直 ②利用三垂线定理 ③向量法 ④利用勾股定理算垂直 线面垂直的判定方法 ①空间垂直关系转化图 ? ②向量法 例 1 如图所示, 圆 O 的直径, 为圆 O 上一点,AP ? 面ABC , AB C AF AE ? BP 于 E, ? CP 于 F, 求证: BP ? 平面AEF P E 本题通过线线垂直证明线面垂直,在找 线面垂直条件时采用了三垂线定理和圆 的直径对直角的性质

?利用线线垂直证线面垂直 ?利用面面垂直证线面垂直

F

C A O B

15

练习: 如图已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面, N 分别是 AB, 的中点, ?PDA ? 45 M, PC 若 求证: MN ? 面PCD P

?

Q A M B 例 2、直三棱柱 求证: C N

D

提示:取 PD 中点 Q,证 AQ 与面 PCD 垂直,从而利用“线面垂直的 性质定理”证 MN 与面 PCD 垂直

ABC
1 1

1

? ABC 中,M 为 AC 中点
1

A C ? 平面 BMC
1

A

1

A

2 2 2

C
B
1

1

B C

设计说明: ①牢牢把握直(正)棱柱,正棱锥的结构特征对于研究空间几何问题(空间平行关系的判定 与性质及空间垂直关系的判定与性质)有很大帮助。 ②在三视图的环境下证明线面,面面关系是几何证明的一个重点 练习:⑴如图所示,直三棱柱 ABC是

ABC
1 1

1

中,

B C ? A C , AC
1 1 1 1

1

?

A B ,M,N
1

A B ,AB 的中点,
1 1

⑴求证:

C M ? 面 A AB B
1 1

1

⑵求证:

A B ? AM
1

⑶求证:平面 AM

C

1

? 面N B1 C

16

A

1

C
M

1

B
A N

1

C

B 练习:如图,在直三棱柱 ABC⑴求证: ⑵若 A

ABC
1 1

1

中,AB=BC= B

B ,D 为 AC 的中点
1

B C || 面 A BD
1 1

C ? 面 A BD 求证: B C ? 面ABB A
1 1 1 1 1 1 1

1

⑶在⑵的条件下,设 AB=1,求三棱锥 B-

A C D 的体积

例 3:在正四棱锥 P-ABCD 中,PA=

3 AB,M 是 BC 的中点,G 是 ?PAD 的重心,则在平面 2

PAD 中经过点 G 且和直线 PM 垂直的直线有 条 答案:无数条 分析:本题利用线线垂直的方法证明 PM ? PAD。在寻找线线垂直条件时采用算垂直的方法 二、面面垂直的判定与性质 面面垂直的判定方法 ①空间垂直关系转化图:利用线面垂直证面面垂直 ②向量法 例 1 如图,?ABC 为正三角形,EC ? 平面ABC , BD||CE, CE=CA=2BD, 是 EA 的中点, 且 M 求证:⑴DE=DA ⑵平面 BDM ? 平面 ECA ⑶平面 DEA ? 面 ECA E D M C B

取 AC 中点 N,证明 DN||BN 再 证 BN ? 面 ECA,利用线面垂 直的性质定理知 DM ? 面 ECA 最后利用线面垂直证面面垂直

A
17

例 2 已知 ?BCD 中, ?BCD ? 分别是 AC,AD 上动点,且

90

?

,BC=CD=1, AB ? 面BCD , ?ADB ?

60

?

,E,F

AE BF ? ? ? ?0 ? ? ? 1? AC AD 求证:⑴不论 ? 为何值时,总有平面 BEF ? 面 ABC ⑵当 ? 为何值时,平面 BEF ? 面 ACD
A E F C B 第二问是存在性问题 当 BEF ? 面 ACD 时 由一问可知 EF ? 面ABC 又∵ BE ? ABC ∴ EF ? BE ∵BEF ? 面 ACD, BE ? BEF D

面BEF ? 面ACD ? EF ∴ BE ? 面ACD ∵ AC ? ACD ∴ BE ? AC
利用射影定理求 AE 从而求 ? 设计说明: ①本题是存在性问题,解决存在性问题可以把结论当已知探索使得已知成立的充分性条件 ②解决与空间几何有关的存在性问题最好用向量法 练习:1、如图,在矩形 ABCD 中,AB=2BC,P,Q 分别为线段 AB,CD 的中点,EP ? 面 ABCD ⑴求证:DP ? 面 EPC ⑵问在 EP 上是否存在 F,使平面 AFD ? 面 BFC

E 问题⑴利用线线垂直证线面垂 直,在寻找线线垂直条件 DP ? AC 时采用“算垂直”的 方法

B

C

P

Q

A

D

2、如图所示在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? PAD 为正三角形,其所在的平面垂直于底面 ABCD

60 ,且边长为 a 的菱形,侧面

?

18

⑴若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 面PAD ⑵求证: AD ? PB ⑶若 E 为 BC 中点,能否在棱 PC 上找到一点 F,使平面 DEF ? 面ABCD ,并证明你的结 论 分析:问题⑶是存在性问题,可以把结论当已知找条件,寻找的过程可省略。但本题要求证 明即把条件当已知证结论 3、 如图所示, 在四棱柱 ABCD⑴求证:

A B C D 中,已知 DC= D D =2AD=2AB,AD ? DC,AB||DC
1 1 1 1
1

D C ? AC
1

1

⑵设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置,使

D E || 面 A BD ,并说明理由
1 1

D
A
1

1

B

C

1

1

D A 二、折叠问题 B

C

例如图,四边形 ABCD 中,AC||BC,AD=AB, ?BCD ?

45 , ?BAD ? 90 ,将 ?ABD 沿
P

?

?

对角线 BD 折起,记折起后点的位置为 P,且使平面 PBD ? 面 BCD

A E B

D E C B F D C

⑴求证:平面 PBC ? 面PDC ⑵在折叠前的正方形 ABCD 中,做 AE ? BD 于 E,过 E 作 EF ? BC 于 F,求在折起后的图形 中 ?PFE 的正切值 设计说明:对于折叠问题,关键是抓住图形折叠前后的不变量及重要的折叠条件 综合练习: 1、a,b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是
19

A、 a ? ? ,b || ? , ? ? ? C、 a ? ? , b ? ? , ? || ? 答案:C

B、 a ? ? , b ? ? , ? || ? D、 a ? ? ,b || ? , ? ? ?

2、已知 ? , ? 是两个不同平面,m,n 是两条不同直线,则下列命题正确的是 A、 m ? ? , n ? ? , m || ? , n || ? ? ? || ? C、 m ? ? , m ? n ? n || ? 答案:D 3、已知 ? , ? 是两个不同平面,a,b 是两条不同直线,则下列命题正确的是 A、 a || b, a || ? ? b || ? C、 ? ? ? , a ? ? ? a || ? 答案:D 4、已知平面 ? , ? ,和直线 m ① m || ? ⑴当满足条件 ⑵当满足条件 答案:⑴③⑤⑵②⑤ 5、设 l,m,n 均为直线,其中其中 m,n 在平面 ? 内,则“ l ? ? ”是“ l ? m, l ? n ”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 答案:A 6、PA 垂直正方形 ABCD 所在平面,连接 PB,PC,PD,AC,BD,则一定互相垂直的平面是 ①面 PAB ? 面 PBC ②面 PAB ? 面 PAD ③面 PAB ? 面 PCD ④面 PAB ? 面 PAC A、①② B、①③ C、②③ D、②④ 答案:A 7、已知平面 ? ? ? , ? ? ? ? l ,点 A ? ? , A ? l ,直线 AB||l,直线 AC ? l ,直线 ②m ?? ③ m ?? ④? ? ? ⑤ ? || ? B、 ? ? ? , a || ? ? a ? ? D、 a ? b, a ? ? , b ? ? ? ? ? ? B、 ? || ? , m ? ? , n ? ? ? m || n D、 n || m, n ? ? ? m ? ?

时,有 m || ? 时,有 m ? ?

m || ? , m || ? ,则下面四种位置关系不一定成立的是
A、AB||m 答案:D B、 AC ? m C、 AB || ? D、AC ? ?

20

8、已知 ? , ? 是两个不同平面,m,n 是两条不同直线,则下列命题正确的是 A、 m || ? , m || ? ? m || n C、 ? ? ? , m ? ? ? m ? ? 答案:D 9、如图在正四棱柱 ABCD不成立的是 A、EF 与 B B、 m ? ? , m ? ? , m || ? , m || ? ? ? || ? D、 ? ? ? , m ? ? , m ? ? ? m || ?

A B C D 中,E,F 分别是 A B , B C 的中点,则下列结论
1 1 1 1 1 1

B 垂直
1

B、EF 与 BD 垂直 C、EF 与 CD 异面 D、EF 与 答案:D 10、已知 ? , ? , ? 是三个两两不同平面,a,b 是两条不同直线,则下列命题正确的是 ① a ? ? , a ? ? ? ? || ? ③ ? || ? , a ? ? , b ? ? , a || b 答案:①④ 6 空间直角坐标系及空间向量 一、空间直角坐标系 1、右手系:伸出右手,弯曲四指使得四指与掌面垂直,大拇指向上垂直翘起,四指的方向 为 x 轴,手掌向里的方向为 y 轴,大拇指的方向为 z 轴,三轴的公共点为 z 轴 2、卦限: 数轴上原点把数轴分成正负半轴。在坐标平面上,x 轴, 轴把平面分成四个象限, y 在空间三个坐标平面把空间分成八个卦限 z Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅰ ② ? ? ? , ? ? ? ? ? || ? ④ ? || ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a || b

A C 异面
1 1

y Ⅶ Ⅵ Ⅷ Ⅴ x

21

注:建系时最好建成右手系,并且尽量把图形放在第一卦限,在坐标轴或坐标平面上的点越 多越好,关于坐标平面对称的点越多越好 二、空间直角坐标系上点的坐标: 求一个点的坐标就是找该点在 x 轴,y 轴,z 轴上的坐标分量 已知正方体 直角坐标系 z

A B C D ? ABCD 棱长为 2,如图所示以正方体的中心 O 为原点建立空间
1 1 1 1

D
P

1

C
M K

1

A

1

H L D I N O

G J C y

B

1

E

F B

A

x

师生活动:利用图形求空间点的坐标并归纳 1、 在轴上点的坐标:

P ? x轴 P(x,0,0)
P ? y轴 P(0,y,0)

P ? z轴 p(0,0,z)
2、 在坐标平面上点的坐标

P ? xoy平面上 ,P(x,y,0) P ? yoz平面上 ,P(0,y,z)

P ? xoz平面上 ,P(x,0,z)

?x ?x , y ? y ,z ?z ? 3、已知 A?x , y , z ?, B ?x , y , z ? 则 AB 中点 P ? 2 ? 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 2

? ?

? ?

4、与 P(x,y,z)关于定点 A(a,b,c)对称点的 5、关于坐标平面对称点的坐标 与 P(x,y,z)关于 xoy 平面对称点的坐标

P ?2a ? x,2a ? y,2a ? z ?
1

P ? x, y , ? z ?
1

22

与 P(x,y,z)关于 xoz 平面对称点的坐标

P ? x, ? y , z ?
1

6、若 P 点在 xoy 面的射影为 L 点,则 P 点与 A 点的 x,y 轴分量相同,P 点 z 轴分量为 P 点 到面 xoy 的距离 例:如图所示,过正方形 ABCD 的中心 O 作 OP ? 平面 ABCD,已知正方形的边长为 2,OP=2, 连接 AP,BP,CP,DP,M,N 分别是 AB,BC 的中点,以 O 为原点,射线 OM,ON,OP 的正方 向为坐标轴建系,若 E,F 分别为 PA,PB 中点 求:A,B,C,D,E,F 坐标

E D O A N B C

M

设计说明:本题用对称性求点的坐标很方便,例只需求出点 B 坐标,A,C,D 的坐标可用对 称性求出来 三、空间向量的坐标运算 注:空间向量的加法,减法,数乘的几何意义;两个向量的共线条件;向量的内积运算公式 与平面向量完全相同 空间向量的坐标运算公式

?x , y , z ?, B?x , y , z ?则 AB ? ?x ? x , y ? y , z ? z ? 若已知 a ?x , y , z ? , b ?x , y , z ? 加减法: a ? b ? ?x ? x , y ? y , z ? z ? 数乘: ? a ? ?? x , ? y , ? z ?
?

若A

1

1

1

2

2

2

2

1

2

1

2

1

?

?

1

1

1

2

2

2

?

?

1

2

1

2

1

2

?

1

1

1

内积:
?

a ?b ? x x ? y y ? z ? z
1 2 1 2 1

?

?

2



a

??? ? ?a? ? ? ?
2 ? 2

2

x
b

2

1

?

y

2

1

? z1

2

其它一些常用公式

? ? ?? ? a ? b? ? ? ?

a

?

? 2

? 2a ?b
23

?

?

? ? ? ?? ? ? ? ? a ? b ?? a ? b ? ? ? ?? ?
? ? 1 2

? 2

a
1

?b

? 2

a ?b? x ?x ? y ? y ? z ?z
2 1

2

?0
?

?

设直线 a 的方向向量为

a

,直线 b 的方向向量为

b

a ? ? b ? a || b
四、直线的方向向量与平面的法向量 注:直线的方向向量与平面的法向量都不取零向量 1、 直线的方向向量:在直线上或与直线平行的向量叫做直线的方向向量 2、 平面的法向量:和平面上两条不共线向量都垂直的向量叫做平面的法向量 下面介绍平面法向量的求法 例:已知:已知 设
?

?

?

a ? ?1,1,0?, b ? ?0,1,1? ,求 a 与b的法向量n
?

?

?

?

?

?

n ?x, y, z ?
? ? ? ? ? ? ?

?

n ? a ? n?a ? 0 n ? b ? n?b ? 0
∴?
?

?x ? y ? 0 ?y ? z ? 0

由于 x 每给一个值,就各有一个与之对应的 y 值和 z 值, 由此说明一个平面的法向量有无穷 多个,这和常识也是相符的,我们只需取其中一个法向量即可 令 x=1,y=-1,z=1 ∴

n ?1,?1,1?
?
? ?

?

7 空间向量的应用 一、向量法分析空间线线,线面,面面的位置关系
?

l , m 分别为直线 l,m 的方向向量; n1, n 2 分别为平面 ? , ? 的法向量

㈠线线平行: 1、 文字语言:两直线的方向向量平行则线线平行 2、 图形语言: 师生活动:
?

l
?

?

l

在这里强调

l

? ? m ? l || m ?? ? R ?

?

?

?

m
3、符号语言:

但反之不对,当 m 这样写正确:
?

m ? 0, l ? 0 时,这是不可以的

?

? ?

?

l

? ? ? ?? || m ? m ? 0 ? ? ? ? ?

24 ? 存在唯一的实数?满足 l ? ? m

?

l

? ? m ? l || m ? l || m?? ? R?

?

?

?

㈡线面平行: 1、 文字语言:如果直线的方向向量与平面的法向量垂直,则线面平行 2、 图形语言:
?

l
?

l

n1
?
? ? ? ?

3、 符号语言: ?

l n1 ? 0 ? l ? n1 ? l || ?

㈢面面平行: 1、 文字语言:如果两个平面的法向量共线则面面平行 2、 图形语言:
?

n1
?
3、 符号语言:

?

n2
?

n1 ? ? n2 ? n1 || n2 ? ? || ?
㈣线线垂直: 1、 文字语言:两直线的方向向量垂直则线线垂直 2、 图形语言:
?

?

?

?

?

l
?

l

m l

m
?

3、 符号语言: ?

n ? 0? l ? m?l ? m

?

?

?

㈤线面垂直: 1、 文字语言:如果直线的方向向量与平面内的两条不共线向量垂直则线面垂直 2、 图形语言:

25

l
? ?

b
?
3、 符号语言:
?

l

a a , b ? ?且 a 与b 不共线, ? l ? 0, b ? l ? 0 ? l ? ? a
㈥面面垂直: 1、 文字语言:如果两个平面的法向量垂直则面面垂直 2、 图形语言:
? ? ? ? ? ? ? ?

?
?

n2

?

n1

?

3、 符号语言:

n1? n1 ? 0 ? n1 ? n2 ? ? ? ?
二、空间角 ㈠空间角的范围

?

?

?

?

?0 , 90 ? 2、异面直线所成角的范围 ?0 , 90 ? 3、线面角的范围 ?0 , 90 ? 4、斜线与平面所成的角范围 ?0 , 90 ? 5、二面角的范围 ?0 ,180 ? 6、向量夹角范围 ?0 ,180 ? 7、直线的倾斜角范围 ?0 ,180 ?
1、线线角的范围
? ? ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ? ?

㈡空间角的定义:

26

1、 异面直线所成角的定义:略 2、 斜线与平面所成角的定义:斜线与平面所成的角等于斜线与它在这个平面上的射影所成 的角

m

l

如图 l 为平面 ? 的垂线,m 为 平面 ? 的斜线,n 为斜线 m 在 平面 ? 上的射影

m, ? ? m, n

?

n

注:求线面角关键找与斜线有 交点的平面的垂线

注:在用定义法求线面角时常会用到空间垂直关系相关定理(特别是线面垂直的判定定理, 线面垂直定义,面面垂直性质定理) ,三垂线定理及推论,直(正)棱柱的结构特征,正棱 锥的结构特征,正棱锥的判定方法 例:已知正三棱柱 ABC 成角的正弦值 练 习 : ⑴ 在 长 方 体 ABCD-

ABC
1 1

1

的侧棱长与底面边长相等,则 A

B 与侧面 AC C A 所
1

1

1

ABC D
1 1 1

1

中 , AB=BC=2 A

A ? 1 , 则 BC
1

1

与平面

B B1 D1 D 所成角的正弦值
⑵正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成角为 3、 二面角的定义:在二个平面内各引一条与交线垂直的直线,这两条垂线所成的角就是这 两个平面所成的二面角的平面角

?
n

?
m

m ? ? , n ? ? , ? ? ? ? l , m, n ? l

? , ? ? m, n

l

二面角的求法: ⅰ)定义法:在用定义法求二面角时常会用到空间平行及垂直关系相关定理,三垂线定理及 推论,直(正)棱柱的结构特征,正棱锥的结构特征,正棱锥的判定方法 利用定义计算二面角常常使用余弦定理。 例 1 已知已知正四棱锥的体积是 12,底面对角线长 2 6 ,则侧面与底面所成的二面角等于

27

ⅱ)平移交线法,截面法与截面法 例 2 已知正三棱柱 ABC-

ABC
1 1

1

的底面边长是 2,高为 1,过顶点 A 做一平面 ? ,与侧

面 BC

C B 交于 EF,且 EF||BC,若平面 ? 与底面 ABC 所成二面角大小为 x ? 0 ? x ? 6 ? , ? ?
1 1

?

??

四 边 形

BCEF

的 面 积 为

y, 则 函 数

y=f ( x ) 的 图 象 大 致 是 :

? 6
A B

? 6
C

? 6
D

? 6

A B

N

C F

A G B M E

C F

M E

A

1

C
B
1

1

A

1

B

C

1

1

图2 图1 三、向量法求空间角 ㈠向量法求线线角:空间两条直线所成的角与它们方向向量所成的角相等或互补
?

l
?

l

l, m ?

?

?

l ,m
? ?

m

m

cos l , m ? cos

l ,m

28

?

l
?

l

l, m ? ? ?

?

?

l ,m
? ?

m
综上:

m

cos l , m ? ? cos

l ,m

?

| cos l , m |? cos

?

? ? ?? , m 由 l , ? ? ?0, ?则 cos l , m ? cos l ? 2?

?

l ,m ?

?

l ?m
? ?

?

lm

㈡向量法求线面角:空间直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面法向量所成的角互 余,或比向量角小

? 2
?

n1
l

?

n1基线为?的垂线
l,? ?

?

l
?
?

?
2

?

?

?

l , n1
? ?

sin l , ? ? cos

l , n1

n1
?

l

l,? ?

?

l , n1 ?

?

?
2
?

l
?

sin l , ? ? ? cos

?

l , n1

综上: | sin l , ? |? cos

?

? ?? l , n1 由 l , ? ? ?0, 2 ?故 sin l , ? ?| cos ? ?

?

?

?

l , n1 |
? ?

㈢空间向量的方法求二面角,方法一:内积法 如图所示,在两个平面 ? , ? 内以交线上的点为起点各引一条与交线垂直的向量

m, n

29

?
?

n
?

?

m ? ? , n ? ? ,? ? ? ? l, m , n ? l
?, ? ?
? ?

?

?

?

?

l

m

m, n

例: 已知直角 ?ABC 中,?C ?

90 , ?B ? 30 , AB=4,D 为 AB 的中点,沿中线将 ?ACD

?

?

折起使得 AB= 13 ,则二面角 A-CD-B 的大小为

B B F D E A E A D F

C

对于折叠问题,关键是抓住图形折叠前后的不变量及重要的折叠条件 注:①求二面角是二面角一般为锐角或钝角很少求直角,零角或平角 ②二面角的性质可以直观观察得到 四、空间向量方法求空间点到平面的距离

A
? ?

?

n
B

d ?O, ? ? ?

OB ? n
?

n
?
典例 一、向量法确定空间线线,线面,面面位置关系,求空间角及空间点到平面的距离

30

注:①应用向量法研究空间几何问题的关键是建系及确定空间点的坐标, ②在建系时最好建立右手系(在原图形上找或作三条有公共点且两两垂直的线段做为坐标 轴) ,在坐标平面上的点越多越好,关于原点或坐标平面对称的点越多越好 ③在建系时会用到空间垂直关系相关定理(线面垂直的判定定理,线面垂直定义,面面垂直 的性质定理) ,线面角的定义,直(正)棱柱的结构特征,正棱锥的结构特征 ④确定空间点的坐标必要时时可以设参数表示空间点的坐标, 但参数用得越少越好如轴上点 的坐标可用一个参数表示;坐标平面上点的坐标可用两个参数表示;已知线段两端点的坐标, 只需一个参数就可以表示该线段上任意点坐标(利用向量共线条件)如下图 A C B

若已知 A,B 坐标设 C(x,y,z)

AB ? 0设 AC ? ? AB 可求点 C 坐
标 注: ? 为实参数 例在四棱锥 P-ABCD 中,PA ? 平面 ABCD,PB 与底面所成的角为 角梯形, ?ABC ? ?BAD ?

?

?

?

?

45 ,底面 ABCD 为直

?

⑴求证:面 PAC ? 面 PCD ⑵在棱 PD 上是否存在一点 E,使 CE||面 PAB?若存在确定 E 的位置,若不存在说明理由

90 ,PA=BC= 2 AD

?

1

(0,0,1)P E(x,y,z)

A B(1,0,0)

D(0,2,0)

C(1,1,0)

练习 1、如图,在直三棱柱 ABCAB,BC 的中点,M 为 A ⑴证明:

ABC
1 1

1

中, ?ACB ?

90
?

?

,AC=BC=a,D,E 分别为棱

A 上的点,二面角 M-DE-A 为 30
1

A B ?C D
1 1 1

⑵求 MA 的长,并求点 C 到平面 MDE 的距离

31

A

1

C
B
1

1

(k,0,0) M

(0,-a,0) A C

a a ( ,? ,0 )D 2 2

B(a,0,0)

答案:

2、 (07 高考全国Ⅱ)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 SD ? 底面 ABCD,E,F 分别为 AB,SC 的中点, ⑴证明:EF||面 SAD ⑵设 SD=2DC,求二面角 A-EF-D 的正切值

a 4

(0,0,k)S

F( 0, ,

1 k ) 2 2

D C(0,1,0)

(1,0,0)A

E ?1,

? 1 ? B(1,1,0) ,0 ? ? 2 ?

例 2:07 福建正三棱柱 ABC⑴求证: A

ABC
1 1

1

中,所有棱长为 2,D 为 C

C

1

中点,

B

1

? 面 A1 BD

⑵求二面角 A ? ⑶求 C 到平面

A D - B 的正弦值
1 1

A BD 的距离

32

C

A
D B F

1

C

1

O A

B

1

练习 1、 08 全国Ⅰ) ( 如图, 四棱锥 A-BCDE 中, 底面 BCDE 为矩形, 侧面 ABC ? 底面 BCDE, BC=2,CD= 2 ,AB=AC ⑴证明:AD ? CE ⑵设 CE 与平面 ABE 所成的角为

45 ,求二面角 C-AD-E 的余弦值

?

2、 如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2 ,AF=1,M 是线段 EF 的中点 ⑴求证:AM||面 BDE ⑵试在线段 AC 上确定一点 P,使得 PF 与 CD 所成角是

60

?

E M F C B

D

A

例 3(08 湖南)四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的菱形, ?BCD ? PA ? 底面 ABCD,PA=2 证明:平面 PBE ? 面 PAB 如图所示建立空间直角坐标系

60 ,E 是 CD 的中点,

?

33

如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱 ABCD ? 后得到的图形,其中 ?BAE ? ?GAD ? ⑴求证: BD ? AD
?

A B C D ,经平面 AEFG 所截
1 1 1 1
?

45 ,AB=2AD=2 ?BAD ? 60

C

1

⑵求平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值

如图,四棱锥 P-ABCD 中,PB⊥底面 ABCD,CD⊥PD,底面 ABCD 为直角梯形,AD||BC,AB⊥ BC,AB=AD=PB=3,点 E 在棱 PA 上,且 PE=2EA, ⑴求异面直线 PA 与 CD 所成的角 ⑵求证:PC||面 EBD ⑶求二面角 A—BE—D 的大小 z P(0,0,3)

E y C(0,6,0)

x

A(3,0,0)

D(3,3,0)

师生活动: ⑴本题重点不是建系也不是求空间角和分析空间线面关系 ,而是用向量法确定点的坐标

三、顶点转移的方法求体积 已知正三棱柱 ABC ? 为 A、 3 B、

A B C 中,底面边长为 2,高为 1,则点 B 到平面 A BC 的距离
1 1 1
1 1

3 2

C、2

D、

3 2

34

C
A
1

1

D

B
C

1

A

B

练习:如图正方形 ABCD 和 ABEF 的边长均为 1,且它们所在的平面互相垂直 ,G 为 BC 的中 点,求点 G 到面 ADE 距离

F

E

O

A D

B G

C

分析:还原几何体,并且用转化的方法把点面距离转化为线面距离再转化为点面距离

35


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