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2012-2013学年广州市铁一中学高二理科数学期中考试题(必修1-5+选修2-1第一章)


广州市铁一中学 2012 学年第一学期期中 高二数学(理科)试题 第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1 已知 A ? {1, 2 , 4 , 6 }, B ? { 3 , 4 , 5 }, U ? {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 求 C u A ? B ? (

)

A、 {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

B {1, 2 , 4 , 6 }

C、 { 2 , 4 , 5 }

D、 { 3 , 4 , 5 }
|a | |b |

2.已知向量 a 与向量 b 的夹角为 120°,若向量 c=a+b,且 a⊥c,则

的值为(



A.

1 2

B.
?
2

2 3

3

C.2
?
4 ) 等于 1 7

D. 3 ( D.7 )

3.已知 ? ? ( ? A.-7

, 0 ), sin ? ? ?

4 5

, 则 tan( ? ?

B.-

1 7

C.

4.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的 体积是 A.27 C.33 ( B.30 D.36 )

5.有编号分别是 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的球的编号互不相同的 概率为 ( ) A.
5 21

B.

2 7

C.

1 3

D.

8 21

6.对于实数 x,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,例如 [? ] ? 3 , [ ? 1 . 08 ] ? ? 2 ,定义函数{x} ? x ? [ x ] , 则下列命题中正确的是 A.函数 { x } 的最大值为 1 C.函数 { x } 是周期函数 B.函数 G ( x ) ? { x } ? D.函数 { x } 是增函数
1 2

( 有且仅有一个零点



?2x ? 3 y ? 5 ? 7、已知实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ,则 x ? 3 y 的最大值是( ?y ? 0 ?



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A.

5 2

B .3

C . 4
第 1 页(共 9 页)

D .

9 2
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2 8、在各项均不为零的等差数列 ? a n ? 中,若 a n ? 1 ? a n ? a n ? 1 ? 0 ( n ? 2 ) ,则 S 2 n ? 1 ? 4 n ? ( ..



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A .-2

B .0
x a
2 2

C .1

D .2

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9.如图,从双曲线

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的左焦点 F 引圆 x

2

? y

2

? a 的切线,切点为 T,延长 FT
2

交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则 | MO | ? | MT | 与 b ? a 的大小关系 为( )

A. | MO | ? | MT | ? b ? a B. | MO | ? | MT | ? b ? a C. | MO | ? | MT |? b ? a D.大小关系不确定


10、函数 y ? f ( x ) 是定义在 [ a , b ] 上的增函数,其中 a , b ? R ,且 0 ? b ? ? a ,已知 y ? f ( x ) 无零点,设 函数 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) ,对于 F ( x ) 有如下四个说法:①定义域是 [ ? b , b ] ;②是偶函数;③最小
2 2

值是 0;④在定义域内单调递增;其中正确说法的个数有
A .4 个 B .3 个

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C .2 个

D .1 个

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第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在题中的横线上.
y) 11、已知向量 a ? ( x ? 1, 2 ? 向量 b ? ( y ? 2 , x ? 1) ,若 a ∥ b ,则 x ? y ? 12.已知一三角形 ABC 用斜二测画法画出的直观图是面积为
2 2

?

?

?

?

.



3 的正三角形 A ? B ?C ? (如图),则三角形 ABC 中边长与
正三角形 A ? B ?C ? 的边长相等的边上的高为_______ C’ y’ 1 0.5 2 1
x

y
z

O’

A’

B’

x’

13、在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差 数列,每一纵列成等比数列,那么, x ? 14 已知函数 f(x) = x ? 1
3

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y? z

的值为

.

? 2

x ?1

的零点有四个 x1、x2、x3、x4,则

f(x1+x2+ x3+x4)=_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)在△ABC 中, A、 C 的对边分别为 a 、 、 , 角 B、 b c 且满足 ( 2 a ? c ) cos B ? b cos C .
第 2 页(共 9 页)

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 m ? (sin A ,1), n ? ( ? 1,1) ,求 m ? n 的最小值.
2 0

(本小题满分 12 分) 某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成 绩分组,得到的频率分布表如下左图所示. (1)请先求出频率分布表中①、②位置相应数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生 进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试,求:第 4 组至 少有一名学生被考官 A 面试的概率? 16.
0 7 0 3 1 6

组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计

分组
?160
,165

频数
?

频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00

5 ① 30 20 10 100

?165
?170 ?175

,170
,175 ,180

?
? ?

[1 8 0 ,1 8 5 ]

17. (本题满分 14 分) 如图 5,已知 A B ? 平面 A C D , D E ? 平面 A C D , △ A C D 为等边三角形, A D ? D E ? 2 A B , F 为 C D 的中点. (1)求证: A F // 平面 B C E ; (2)求证:平面 B C E ? 平面 C D E ; A B E

C

F 图5

D

18、 (本题 14 分) 如图,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分成
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面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1)设 AD= x ,DE= y ,求 y 关于 x 的函数关系式; A
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(2)如果 DE 是灌溉水管,我们希望它最短,DE 的位置应在哪 里?请予证明.
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x D y

E

19、 (本题 14 分)
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B
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C

已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 2 , n ? 1 ? 2 (1 ? a
{ an n
2

1 n

) ? an
2

(n ? N ? ) .

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}

第 3 页(共 9 页)

(1)求证数列
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是等比数列,并求其通项公式; ,求数列 { b n } 的前 n 项和 S n ;
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(2)设 b n ? (3)设 c n ?

an n
n an

,求证: c 1 ? c 2 ? c 3 ? ? ? ? ? ? ? ? c n ?

7 10

.

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20. (本小题满分 14 分)过双曲线 2x2?y2=1 上一点 A(1,1)作两条动弦 AB, AC,且直线 AB, AC 的斜率的乘积 为 3. (1)问直线 BC 是否可与坐标轴垂直?若可与坐标轴垂直,求直线 BC 的方程,若不与坐标轴垂直,试说明理由. (2)证明直线 BC 过定点.

四、附加题: (一班学生做,满分 20 分) 对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x ) ,如果存在区间 ? m , n ? ? D ,同时满足下列条件:① f ( x ) 在 ? m , n ? 内是 单调的;②当定义域是 ? m , n ? 时, f ( x ) 的值域也是 ? m , n ? 时,则称 ? m , n ? 是该函数的“和谐区间” 。 (1) 判断函数 y ? 3 ?
4 x

是否存在“和谐区间” ,并说明理由;

(2) 如果 ? m , n ? 是函数 y ?

?a

2

? a? x ?1 a x
2

?a

,求 n ? m 的最大值; ? 0 ? 的一个“和谐区间”

(3) 有些函数有无数个“和谐区间” ,如 y ? x ,请你再举一类(无需证明)

广州市铁一中学 2012 学年高二期中考 数学试题(理科)答案
第 4 页(共 9 页)

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题号 答案 题目要求的。 ) 2 3 A B

1 D

4 B

5 D

6 C

7 C

8 A

9 B

10 C

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 5 12、 2

6

13、 1

;14、

19



三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 12 分) 解: (I)由正弦定理
a sin A ? c sin C ? b sin B ? 2R

,有 a ? 2 R sin A ,

b ? 2 R s i n B , c ? 2 R sin C

代入(2a-c)cosB=bcosC,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.???????????4 分 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C) ∵A+B+C=π ,∴2sinAcosB=sinA.????????????????6 分 ∵0<A<π ,∴sinA≠0. ∴cosB=
1 2

.?????????????????????????7 分
?
3

∵0<B<π ,∴B= (II) m ? n =-sinA+1 由 B=
?
3

.??????????????????????8 分 ??????????????10 分

得 A∈(0,
?
2

2? 3



??????????????11 分

所以,当 A ?

时, m ? n 取得最小值 0.????????????12 分

16. (本题满分 12 分) 解: (1)由题可知,第 2 组的频数为 0 .3 5 ? 1 0 0 ? 3 5 人, ????? 1 分 第 3 组的频率为
30 100 ? 0 .3 0 0 , ???2 分

频率分布直方图如右: ?????????? 5 分 (2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组分别为: 第 3 组: 第 4 组: 第 5 组:
30 60 20 60 10 60 ? 6 ? 1 人, ? 6 ? 2 人, ???? 7 分 ? 6 ? 3 人, ???? 6 分

???? 8 分

所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人。 (3)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A 2 , A 3 ,第 4 组的 2 位同学为 B 1 , B 2 ,第 5 组的 1 位同学为 C 1 , 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下: ( A1 , A 2 ) , ( A1 , A 3 ) , ( A1 , B 1 ) , ( A1 , B 2 ) , ( A1 , C 1 ) ,
第 5 页(共 9 页)

( A 2 , A3 ) , ( A 2 , B1 ) , ( A 2 , B 2 ) , ( A 2 , C 1 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B 2 ) , ( A3 , C 1 ) , ( B1 , B 2 ) ,
( B 1 , C 1 ) , ( B 2 , C 1 ) , ????????????????????????????10 分

其中第 4 组的 2 位同学为 B 1 , B 2 至少有一位同学入选的有: ( A1 , B 1 ) , ( A1 , B 2 ) ,
( A 2 , B 1 ) , ( A 2 , B 2 ) , ( A 3 , B 1 ) , ( B 1 , B 2 ) , ( A 3 , B 2 ) , ( B 1 , C 1 ) , ( B 2 , C 1 ) , 9 中可能, ????11 分

所以其中第 4 组的 2 位同学为 B 1 , B 2 至少有一位同学入选的概率为 17. (本题满分 14 分) 证明:(1) 证:取 C E 的中点 G ,连结 F G 、 B G . ∵ F 为 C D 的中 点, ∴ G F // D E 且 G F ?
1 2 DE .

9 15

?

3 5

????12 分

∵ A B ? 平面 A C D , D E ? 平面 A C D , ∴ A B // D E ,∴ G F // A B . 又 AB ?
1 2 D E ,∴ G F ? A B .

???? 4 分

∴四边形 G F A B 为平行四边形,则 A F // B G . ∵ A F ? 平面 B C E , B G ? 平面 B C E , ∴ A F // 平面 B C E . (2)求证:平面 B C E ? 平面 C D E ; 证:∵ ? A C D 为等边三角形, F 为 C D 的中点, ∴ AF ? CD ∵ D E ? 平面 A C D , ???? 9 分 ???? 7 分

A F ? 平面 A C D ,∴ D E ? A F .

又 C D ? D E ? D ,故 A F ? 平面 C D E .???? 11 分 ∵ B G // A F ,∴ B G ? 平面 C D E . ∵ B G ? 平面 B C E , ∴平面 B C E ? 平面 C D E . 18. (本题满分 14 分) 解: (1)在△ADE 中, y = x +AE -2 x ·AE·cos60° ? y = x +AE - x ·AE,①
第 6 页(共 9 页)
2 2 2 2 2 2

????14 分

又 S△ADE= S△ABC=
2
2 2

1

x

·AE·sin60° ? x ·AE=2.②
2 2 x
2

1

2 ②代入①得 y = x + ( ) -2( y >0), ∴ y = x ?

4 x
2

? 2

又 x ≤2,若 x ? 1 , A E ? ∴y = x ?
2

2 x

? 2 ,矛盾,所以 x ≥ 1

4 x
2

? 2

(1≤ x ≤2).
x ?
2

(2)如果 DE 是水管 y = 当且仅当 x =
2

4 x
2

? 2≥

2?2 ? 2 ?

2 ,

4 x
2

,即 x = 2 时“=”成立,

故 DE∥ BC,且 DE= 2 . 19. (本题满分 14 分) 解: (1)? a 1
? a n ?1 ( n ? 1)
2

? 2

, a n ?1
N

? 2 (1 ? an n
2

1 n

) ? an (n ? N )

2

*

(3) c n 设 Tn

?

n an

?

1 n ?2
n

? 0

? 2?

an n
2

,n ?
n

*

?{

} 为等比数列

? c1 ? c 2 ? c 3 ? ? ? c n

,则 T1

? T 2 ? T3 ? T 4

?

an n
2

?

a1 1
2

?2 ?
1

n ?1

? 2 ? an ? n ? 2 ? n?2
2

2

n

当 n ≥4 时,
Tn ? 1 1?2
? 1 8

(2) b n

an n

n

?

1 2?2
1 24
2

?

1 3?2
3

?

1 4?2
4

?? ?

1 n ?2
n

? S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ? 2 2Sn ?
2 3 4

3

n ?1

? n?2
n

n

1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ( n ? 1) ? 2 ? n ? 2

n ?1

?

1 2

?

?

1 ? 1 1 1 ? ? ? 5 ?? ? n ? 4 ? 4 ?2 2 2 ?

? ?Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2

1

2

3

n

n ?1

? 2

n ?1

? 2 ? n?2

n ?1

?

2 3

?

1 4

?

2

1 ? 1 n?3 ? 1? ( ) 4 ? ? 2 ? ? 1? 1 2

?

2 3

?

1 4

?

1 2
3

?

1

1 n ?( ) 4 2

? S n ? ( n ? 1) ? 2

n ?1

? 2

?

2 3

?

1

?

1
3

?

2 3

?

1 32

?

2 3

?

1 30

?
7 10

7 10

4 2

综上: c1 ? c 2 20. (本题满分 14 分) 解:令 B(x1, y1),C(x2, y2). (1)当 BC 与 x 轴垂直时,有 x1=x2,
2

? c3 ? ? ? cn ?

y1= ?y2,
2

故:3=

y1 ? 1 ? y1 ? 1 1 ? y1 2 (1 ? x 1 ) 2 (1 ? x 1 ) ? ? ? ? 2 2 x1 ? 1 x1 ? 1 1 ? x1 ( x 1 ? 1) (1 ? x 1 )

?x1= ,与|x1|?
5

1

2 2

矛盾.因此 AB 不与 x 轴垂直.. 3 分

当 BC 与 y 轴垂直时,有 x1= ?x2, y1= y2, 故:3=
1
y1 ? 1 x1 ? 1 ? y1 ? 1 ? x1 ? 1 ? (1 ? y 1 ) 1 ? x1
2 2

?

2 (1 ? y 1 ) 1 ? y1
2

2

?

2 (1 ? y 1 ) 1 ? y1

?y1= ? .因此 AB 可与 y 轴垂直, 此时 AB 的方程为 y=
5

1

? . 5分
5

(2)当 BC 不与坐标轴垂直时,kAB· AC= k

y1 ? 1 x1 ? 1

?

y2 ?1 x2 ?1

=3,

故 3(x1?1)(x2?1)=(y1?1)(y2?1). ???① .............. 6 分 2 2 令 BC : y=kx+b,代入双曲线方程有: 2x ?(kx+b) =1?(2?k2)x2?2kbx?b2?1=0.???②
第 7 页(共 9 页)

x1,x2 是方程②的两个实根. 则(x1?1)(x2?1)=
f (1 ) 2?k
2

令 f(x)= (2?k2)x2?2kbx?b2?1,
2

?

2?k

? 2 kb ? b 2?k
2

2

?1

. ③

……………….. 8 分

直线方程又可 写成:x=

y ?b k

, 代入 2x2?y2=1,有: 2(y?b)2?k2y2=k2, 整理得:(2?k2)y2?4by+2b2?k2=0.?④ 令 g(y)= (2?k2)y2?4by+2b2?k2.
? 4b ? 2b
2 2

y1,y2 是方程④的两个实根. (y1?1)(y2?1)=
3 (1 ? k
2

g (1 ) 2? k
2
2

?

2 ? 2k

2

.

?⑤

??????10 分

③,⑤两式代入①式,有:

2? k

? 2 kb ? b )
2

2 ? k

?

2 ? 2k

2

? 4b ? 2b
2

2

2 ? k

,

故 3[1?(k+b)2]=2[(b?1)2?k2],

从而:3(1?k?b)(1+k+b)=2(b?1?k)(b?1+k). ??⑥ 因为点 A(1,1)不在直线 y=kx+b 上,故 k+b?1. 利用⑥,可知: 3 (1+k+b)+ 2(b?1?k)=0, 即 k+5b+1=0? ?
1 5 ? k? 1 5
?1 ?5 ,? 1? ? 5?

? b.

[来源:学+科+网]

因此直线 AB 过定点 M ? . ?????

?1 ?5

,?

1? ? 5?

.直线 y=? 也过定点 M.
5

1

综上所述,直线 AB 恒过定点 M ?

14 分

附加题: (一班学生做,满分 20 分) 解(1)设 ? m , n ? 是函数 y ? 3 ?
4 x

的“和谐区间” ,则 y ? 3 ?

4 x

在 ? m , n ? 上单调。

所以 ? m , n ? ? ? ? ? , 0 ? 或 ? m , n ? ? ? 0 , ? ? ? 因此, y ? 3 ?
4 x

在 ? m , n ? 上为增函数。
4 x ? x 有两个解 m , n
2

则 f ( m ) ? m , f ( n ) ? n 。即方程 3 ? 又3 ?
4 x
2

? x 可化为 x ? 3 x ? 4 ? 0 ,而 x ? 3 x ? 4 ? 0 无实数解。 4 x

所以,函数 y ? 3 ?

不存在“和谐区间”
2

(2)因为 f ? x ? ?

?a

? a? x ?1 a x
2

?

a ?1 a

?

1 a x
2

在 ? m , n ? 上是单调的,

所以 ? m , n ? ? ? ? ? , 0 ? 或 ? m , n ? ? ? 0 , ? ? ? 则 f (m ) ? m , f (n ) ? n 所以 m , n 是
a ?1 a ? 1 a x 1 a
2 2

? x 的两个同号的实数根 ? 0

即方程 a 2 x ? ? a 2 ? a ? x ? 1 ? 0 有两个同号的实数根,注意到 m n ? 只要 ? ? ? a ? a ? ? 4 a ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ? ? 3
2 2 2

所以 n ? m ?

?m

? n ? ? 4mn ?
2

? a ? a ? 4 ? ?? 2 ? 2 ? a ? a
2

?

3 a
2

?

2 a

?1 ?

1? 4 ? 1 ?3 ? ? ? ? 3? 3 ? a

2

第 8 页(共 9 页)

其中 a ? 1 或 a ? ? 3 ,所以,当 a ? 3 时, n ? m 取最大值

2 3

3

(3) ,答案不唯一,如可写出以下函数: y ? a ? x ( a 为常数) y ? ,

k x

( k ? o 为常数)

第 9 页(共 9 页)


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