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静安区2014年高三数学理科一模试卷


静安区 2013 学年第一学期高三年级质量检测
数学(理科)试卷
(试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟) 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
1.已知集合 , ,则 . 2014.01

2.已知



,则

的值是

.

3.当

时,函数

的值恒大于 1,则实数 的取值范围是

.

4.关于未知数 的实系数一元二次方程 个一元二次方程为 .

的一个根是

(其中 为虚数单位),写出一

5.某班有 38 人,现需要随机抽取 5 人参加一次问卷调查,抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有 种. (结果用数值表示) 6.不等式 的解集是 .

7.若

(其中 、 为有理数),则

.

8.已知方程

,则当

时,用列举法表示方程的解的集合是

.

9.如图,平面内有三个向量 且| |=| |=2,| |=

、 ,若

、 =λ

,其中 +μ



的夹角为 120°,



的夹角为 30°, .

(λ 、μ ∈R),则λ +μ 的值为

10.设某抛物线 为 .

的准线与直线

之间的距离为 3,则该抛物线的方程

11. 已知

, 且

, 则

的值用 表示为

.

12.已知椭圆 圆 于 、 两点.则直线

,过椭圆 的斜率为

上一点 .

作倾斜角互补的两条直线



,分别交椭

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13 . 若 圆

与 圆 的直径两个端点,则动点 的轨迹方程为

的 两 个 交 点 始 终 为 圆 .

14.已知不等式

的解集为

,则

,且

的值为

.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分.
15 . “ ( ) A.充要条件; 16.已知命题 么 :如果 B.充分不必要条件; ,那么 ;命题 C.必要不充分条件; :如果 ,那么 ( D.既不充分也不必要条件. ;命题 :如果 ) ,那 ”是“直线 与直线 互相垂直”的

.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是 ① 命题 是命题 的否命题,且命题 是命题 的逆命题.

② 命题

是命题

的逆命题,且命题 是命题

的否命题.

③ 命题

是命题

的否命题,且命题 是命题

的逆否命题.

A.①③; 17.已知函数

B.②;

C.②③

D.①②③ 的值域是 ,则实数 的取值范围是 ( )

A.



B.



C.

; D.

.

18 .已知函数 与函数

是定义在实数集 的图像在

上的以 2 为周期的偶函数,当

时, )

. 若直线

内恰有两个不同的公共点,则实数 的值是(

A.





B.0;C.0 或

; D.0 或

.

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三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 5 分. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章 给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积= (弦?矢+矢 2).

弧田(如图),由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所 对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. 按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为 弧田. (1)计算弧田的实际面积; (2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少 平方米?(结果保留两位小数) , 弦长等于 9 米的

20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

(1)设 、

是不全为零的实数,试比较



的大小;

(2)设

为正数,且

,求证:

.

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

已知双曲线

(其中

).

(1)若定点

到双曲线上的点的最近距离为

,求 的值;

(2)若过双曲线的左焦点 是双曲线的右焦点.求△

,作倾斜角为 的面积 .

的直线 交双曲线于



两点,其中



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22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.

设无穷数列

的首项

,前 项和为



),且点

在直线

上( 为与 无关的正实数).

(1)求证:数列



)为等比数列;

(2)记数列

的公比为

,数列

满足

,设

,求数列

的前 项和



(3)(理)若(1)中无穷等比数列 求函数 的值域.



)的各项和存在,记



23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 9 分. 已知函数 (其中 且 ), 是 的反函数.

(1)已知关于 的方程

在区间

上有实数解,求实数

的取值范围;

(2)当

时,讨论函数

的奇偶性和增减性;

(3)设

,其中

.记

,数列

的前 项的和为



),

求证:

.

第 4 页 共 10 页

2013 学年第一学期静安理科数学试卷解答与评分标准
1. ; 2. (理) ; 3. 4. ; 5. (理) ;

6.(理)



7.169;

8.(理)



9.(理)

12;

10.



.

11. (理)



12. (理)



13. (理)



14.(理)

4;

15.(理)B ; 16.A. 17. C 18.D

19. 解:(1) 扇形半径

,????????? 2 分

扇形面积等于

????????? 5 分

弧田面积=

(m2)????????? 7 分

(2)圆心到弦的距离等于

,所以矢长为

.按照上述弧田面积经验公式计算得

(弦?矢+矢 2)=

.?????????10 分

平方米????????? 12 分

按照弧田面积经验公式计算结果比实际少 1.52 平米. 20. (理)(1)解法 1: ? = = ??????3 分

因为 、 是不全为零的实数,所以 6分 解法 2:当 时,

,即

?

。?????????

;????????? 2 分



时,作差:


第 5 页 共 10 页

又因为 、

是不全为零的实数,所以当

时,

?



综上,

?

。?????????6 分 时,取得等号 3。????????? 7 分

(2)证明:当 作差比较:

>0

所以,

????????? 14 分

21. (理)(1)设点

在双曲线上,由题意得:



由双曲线的性质,得

。????? 1 分

(i)若 3分 (ii) 若 6分 (2)

,则当

时,

有最小值。最小值

,所以

。?????

, 则当

时,

有最小值, 此时

, 解得

。 ?????

, =

,直线 与

轴垂直时,

,此时,△

的面积

.????????? 7 分

直线 与 轴不垂直时,直线 方程为

,????????? 8 分





第 6 页 共 10 页

解法 1:将

代入双曲线方程,整理得:

,即

????????? 10 分

所以,

????????? 11 分

=

.?????14 分

解法 2:将

代入双曲线方程,整理得:

,????????? 10 分



,????????? 11 分



到直线

距离





的面积

=

.?????14 分

22. (1)由已知,有



第 7 页 共 10 页



时,

;?????????2 分



时,有



两式相减,得

,即



综上,

,故数列

是公比为

的等比数列;???? 4 分

(2)由(1)知,

,则



于是数列

是公差

的等差数列,即

,???????? 7 分



=

????????10 分

(3)(理)由

解得:

。????????? 12 分

????????? 14 分

,当

时,

,函数

的值域为



????????? 16 分

第 8 页 共 10 页

23. (理)(1)

转化为求函数



上的值域,

该函数在

上递增、在

上递减,所以

的最小值 5,最大值 9。所以

的取值范围为

。????????? 4 分

(2)

的定义域为

,????????? 5 分

定义域关于原点对称,又 数。????????? 6 分 下面讨论在 上函数的增减性.



,所以函数

为奇函

任取



,设

,令

,则



,所以

因为





,所以

.????????? 7 分

又当

时,

是减函数,所以

.由定义知在

上函数是减函

数.????????? 8 分 又因为函数 是奇函数,所以在 上函数也是减函数.???????? 9 分

(3)

;???????? 10 分

第 9 页 共 10 页

因为



,所以



。?? 11 分





时,则

,??? 12 分



,??? 13 分

由二项式定理

,???????? 14 分

所以



从而

。 ???????? 18 分

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