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高中数学高考知识点总结附有经典例题


高一数学必修 1 知识网络
集合
? ()元素与集合的关系:属于(?)和不属于(?) ?1 ? ? ? ?集合与元素 (2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性 ? ? (3)集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集 ? ? ? (4)集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法 ? ? ? ? ?子集:若x ? A ? x ? B,则A ? B,即A是B的子集。 ? ? ? ? ?1、若集合A中有n个元素,则集合A的子集有2n 个,真子集有(2n -1)个。 ? ? ? ? ? ? ? ?2、任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A ? ? 注? ? ? ?关系 ? ? ?3、对于集合A, B, C , 如果A ? B,且B ? C , 那么A ? C. ? ? ? ?4、空集是任何集合的(真)子集。 ? ? ? ? ? ?真子集:若A ? B且A ? B ? (即至少存在x0 ? B但x0 ? A),则A是B的真子集。 集合 ? ? ? ? ? ?集合相等:A ? B且A ? B ? A ? B ? ? ? ? ? ?定义:A ? B ? ? x / x ? A且x ? B? ?集合与集合 ? ? ?交集 ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? ?,A ? B ? B ? A,A ? B ? A, A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? A ? ? ? ? ? ? ? ? ?并集 ?定义:A ? B ? ? x / x ? A或x ? B? ? ? ? ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? A,A ? B ? B ? A,A ? B ? A,A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? B ? ? ? ?运算 ? ? ? Card ( A ? B ) ? Card ( A) ? Card ( B ) - Card ( A ? B ) ? ? ? ? ?定义:CU A ? ? x / x ? U 且x ? A? ? A ? ? ? ? ? ?补集 ?性质: U A) ? A ? ?, U A) ? A ? U,CU (CU A) ? A,CU ( A ? B ) ? (CU A) ? (CU B ), ? (C (C ? ? ? ? ? CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B ) ? ? ? ? ? ?

函数

?映射定义:设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个元素x, 在集合B中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :? B为从集合A到集合B的一个映射 ? ? 传统定义:如果在某变化中有两个变量x , y , 并且对于x在某个范围内的每一个确定的值, ? 按照某个对应关系f , y 都有唯一确定的值和它对应。那么y 就是x的函数。记作y ? f ( x ). ?定义 ? ? 近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。 ? 定义域 ?函数及其表示 ?函数的三要素 ?值域 ? ? ? ?对应法则 ? ? ?解析法 ? ? ?函数的表示方法 ?列表法 ? ? ?图象法 ? ? ?传统定义:在区间? a ,b ?上,若a? x1? x2 ?b ,如f ( x1 )? f ( x2 ) ,则f ( x ) 在? a ,b ?上递增, a ,b ?是 ? ? ? ? 递增区间;如f ( x1 )? f ( x2 ),则f ( x ) 在? a ,b ?上递减, a ,b ?是的递减区间。 ? ? ? ?单调性?导数定义:在区间 a ,b 上,若f ( x )?0,则f ( x ) 在 a ,b 上递增, a ,b 是递增区间;如f ( x )?0 ? ? ? ? ? ? ? ? 则f ( x ) 在? a ,b ?上递减, a ,b ?是的递减区间。 ? ? ? ? ? ? ? ? ?最大值:设函数y ? f ( x )的定义域为I,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x?I,都有f ( x )?M ; ? 函数 ? (2)存在x0?I,使得f ( x0 ) ? M 。则称M 是函数y ? f ( x ) 的最大值 ?最值? 函数的基本性质 ?最小值:设函数y ? f ( x )的定义域为I,如果存在实数N 满足:(1)对于任意的x?I,都有f ( x )? N; ? ? ? (2)存在x0?I,使得f ( x0 ) ? N。则称N 是函数y ? f ( x ) 的最小值 ? ? ? ?(1) f ( ? x ) ?? f ( x ), x?定义域D,则f ( x ) 叫做奇函数,其图象关于原点对称。 ? ? ?奇偶性?( 2 ) f ( ? x ) ? f ( x ), x?定义域D,则f ( x ) 叫做偶函数,其图象关于y轴对称。 ? ? ? 奇偶函数的定义域关于原点对称 ? ?周期性:在函数f ( x )的定义域上恒有f ( x ?T ) ? f ( x )( T ?0的常数 ) 则f ( x ) 叫做周期函数,T 为周期; ? ? T的最小正值叫做f ( x )的最小正周期,简称周期 ? ? ? (1)描点连线法:列表、描点、连线 ? ? ? ?向左平移? 个单位:y1? y , x1?a ? x? y ? f ( x ? a ) ? ? ? ?向右平移a个单位:y ? y , x ? a ? x? y ? f ( x ?a ) ? ?平移变换?向上平移b个单位:x1? x , y1?b ? y ? y ?b ? f ( x ) 1 1 ? ? ? ? ? ? ?向下平移b个单位:x1? x , y1?b ? y ? y ?b ? f ( x ) ? ? ?横坐标变换:把各点的横坐标x1缩短(当w?1时)或伸长(当 0? w?1时) ? ? ? ? 到原来的1 / w倍(纵坐标不变),即x1? wx? y ? f ( wx ) 伸缩变换? ? ? 纵坐标变换:把各点的纵坐标y1伸长(A?1) 或缩短(0? A?1) 到原来的A倍 ? ? ? ?函数图象的画法 ? (横坐标不变), 即y1? y / A? y ? f ( x ) ? ? ? ? (2)变换法? ? ? ? ?xy? x1?2 x0 x1?2 x0 ?x ?关于点 ( x0 , y0 ) 对称: ? y1? 2 y0 ?? y1? 2 y0 ? y ?2 y0 ? y ? f ( 2 x0 ? x ) ? ? ? ? ? ?关于直线x ? x0对称: ? x1? 2 x0 ??x1? 2 x0 ? x? y ? f ( 2 x0 ? x ) ? ? ? ?xy? y1 y1? y ? ?对称变换? ? ? ? ?关于直线y ? y0对称: ? x1 ? ?xy1? y?2 y0??xy11??x2 y0 ? y?2 y0 ? y? f ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? ?xy?x1 ?1 ? ?关于直线y ? x对称: ? y1? y ? f ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

-1-

附: 一、函数的定义域的常用求法: 1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对 数函数的底数大于零且不等于 1;5、三角函数正切函数 y ? tan x 中 x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ;余切函数 y ? cot x

中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法 三、函数的值域的常用求法: 1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法 四、函数的最值的常用求法: 1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结论: 1、若 f ( x), g ( x) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 在这个区间上也为增(减)函数 2、若 f ( x) 为增(减)函数,则 ? f ( x) 为减(增)函数 3 、 若 f ( x) 与 g ( x) 的 单 调 性相 同,则 y ? f [ g ( x)] 是 增函 数; 若 f ( x) 与 g ( x) 的 单 调 性 不同 ,则

? ? ?零点:对于函数y ? f(x), 我们把使f ( x ) ? 0的实数x叫做函数y ? f ( x )的零点。 ? ? ?定理:如果函数y ? f ( x ) 在区间[ a , b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f ( a ) ? f ( b ) ? 0, ? ?零点与根的关系 ? 那么,函数y ? f ( x ) 在区间[ a , b ]内有零点。即存在c ? ( a , b ), 使得f ( c ) ? 0, 这个c也是方 ? ? ? 程f ( x ) ? 0的根。(反之不成立) ? ? ?关系:方程f ( x ) ? 0 有实数根 ? 函数y ? f ( x ) 有零点 ? 函数y ? f ( x )的图象与x轴有交点 ? ? ?(1) 确定区间[ a , b ], 验证f ( a ) ? f ( b ) ? 0, 给定精确度? ; ?函数与方程 ? ?( 2 ) 求区间( a , b )的中点c ; ? ? 函数的应用 ? ?( 3) 计算f ( c ); ?二分法求方程的近似解 ? ①若f ( c ) ? 0, 则c就是函数的零点; ? ? ? c ? ? ②若f ( a ) ? f ( c ) ? 0, 则令b ? (此时零点x 0 ? ( a , b )); ? ? c ? ③若f ( c ) ? f ( b ) ? 0, 则令a ? (此时零点x 0 ? ( c , b )); ? ? ? ?( 4 ) 判断是否达到精确度? :即若 a - b ? ? , 则得到零点的近似值a ( 或b ); 否则重复 2 ? 4。 ? ? ?几类不同的增长函数模型 ?函数模型及其应用 ?用已知函数模型解决问题 ? ?建立实际问题的函数模型 ?
m n ? ? ?根式: a , n为根指数,a为被开方数 ? n m ? ? ? an ? ? ? a ? ? ? ?分数指数幂 ? ? ? ? ? a r a s ? a r ? s ( a ? 0, r , s ? Q ) 指数的运算 ? ? ? ? r s ? ?指数函数 ? rs ? ?性质 ?( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? Q ) ? ? ?( ab ) r ? a r b s ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ) ? ? ? ? ? ? ? x ? ?指数函数 ?定义:一般地把函数y ? a ( a ? 0且a ? 1)叫做指数函数。 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ?对数:x ? log a N , a为底数,N 为真数 ? ? ? ? ?log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ; ? ? ? 基本初等函数 ? ? ? ? ? ?log a M ? log a M ? log a N ; ? ? ? . N ?对数的运算 ?性质 ? ? ? ? ? log a M n ? n log a M ; ( a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0) 对数函数 ? ? ? ? ? ? ? log c b ? log ( a , c ? 0且a , c ? 1, b ? 0) ? ?换底公式: a b ? ? ? log c a ? ? ? ? ? ? ?对数函数 ?定义:一般地把函数y ? log a x ( a ? 0且a ? 1)叫做对数函数 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ? ? ?幂函数 ?定义:一般地,函数y ? x 叫做幂函数,x是自变量,? 是常数。 ? ? ?性质:见表2 ?

y ? f [ g ( x)] 是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 ,如果一个函数 y ? f ( x) 既是奇函数又是偶函数,则

f ( x) ? 0 (反之不成立)
2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶 函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。 5 、 若 函 数

f ( x) 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 则

f ( x) 可 以 表 示 为

1 1 f ( x) ? [ f ( x) ? f (? x)] ? [ f ( x) ? f (? x)] ,该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶函数的和。 2 2

-2-

表 1 定 义 域 值 域

x 指数函数 y ? a ? a ? 0, a ? 1?

对数数函数

y ? log a x ? a ? 0, a ? 1?
x ? ? 0, ?? ?
y?R

第一象限 性质

减函数

增函数

过定点 0, ( 1 )

x?R
y ? ? 0, ?? ?

高中数学必修 2 知识点
一、直线与方程
(1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它 的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义: 倾斜角不是 90°的直线, 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用 k 表示。 k ? tan ? 。 即 斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ? ? 0 ,90 时, k ? 0 ;
? ?

图 象

?

?

当 ? ? 90 ,180
?

?

?

? 时, k ? 0 ;

当 ? ? 90 时, k 不存在。
?

过定点 (0,1) 减函数 增函数 减函数

过定点 (1, 0) 增函数

②过两点的直线的斜率公式: k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x 2 ) x 2 ? x1

x ? (??, 0)时,y ? (1, ??) x ? (??, 0)时,y ? (0,1)
性 质

x ? (0,1)时,y ? (0, ??)

x ? (0,1)时,y ? (??, 0)

注意下面四点:(1)当 x1 ? x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等 于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b

x ? (0, ??)时,y ? (0,1) x ? (0, ??)时,y ? (1, ??) x ? (1, ??)时,y ? (??, 0) x ? (1, ??)时,y ? (0, ??)

a?b
表2

a?b
?

a?b

a?b

③两点式: ④截矩式:

y ? y1 x ? x1 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? ? y2 ? y1 x2 ? x1

幂函数 y ? x (? ? R)

x y ? ?1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a, b 。

??

p q

? ?0

0 ? ? ?1

? ?1

? ?1

p为奇数 q为奇数
奇函数

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 1 2 注意:○各式的适用范围 ○特殊的方程如: 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ; (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线系: A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常 数) (二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: y ?

y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ? x0 , y0 ? ;

p为奇数 q为偶数

(ⅱ)过两条直线 l1 :

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

,其中直线 l 2 不在直线系中。 ? A1x ? B1 y ? C1 ? ? ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) (6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

p为偶数 q为奇数
偶函数

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交

-3-

A x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 1 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

方程组无解 ? l1 // l 2 ; 则 | AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

方程组有无数解 ?

l1 与 l 2 重合

(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这 些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE ? A B C D E 或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD ' 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的 截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
' ' ' ' '

(8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),(x2 , y2) 是平面直角坐标系中的两个点, B (9)点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? Ax0 ? By 0 ? C 2 2
A ?B

(10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,圆心
2 2 2

?a, b ? ,半径为 r;
? 2 2?

表示:用各顶点字母,如五棱锥 P ? A B C D E 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的 平方。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
' ' ' ' '

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? D ,? E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F ? ?
2 2

2

当 D ? E ? 4 F ? 0 时,表示一个点; 当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
2 2 2 2

(1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a ?2 ? ? y ? b ?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为 d ? Aa ? Bb ? C ,则 2 2
A ?B

有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交
2 2

(2) 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 , C : ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 , 圆 先将方程联立消元, 得到一个一元二次方程之后, 令其中的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l与C相离 ; ? ? 0 ? l与C相切 ; ? ? 0 ? l与C相交 2 注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 xx0 ? yy0 ? r 去解直线与圆相切的问题,其中 ? x 0 , y 0 ? 表示切点坐 标,r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程: 2 ①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r (课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广). 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 2 2 2 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r , C 2 : ?x ? a 2 ? ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。

表示:用各顶点字母,如五棱台 P ? A B C D E 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影) ;侧视图(从左向右) 、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。
' ' ' ' '

3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)
'

S 直棱柱侧面积 ? ch
S正棱台侧面积 ?

三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?

1 (c1 ? c2 )h' 2

1 S圆柱侧 ? 2?rh S正棱锥侧面积 ? ch' 2 S圆 台 侧 面 积 (r ? R)?l ?
S圆锥表 ? ?r ?r ? l ?

S圆锥侧面积 ? ?rl

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R 2

?

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

V柱 ? Sh

V圆柱 ? S h ? 2r h V锥 ? 1 S h ?
3

1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

-4-

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 ' V圆台 ? (S ' ? S S ? S )h ? ? (r 2? rR ? R )2 h 3 3

(4)球体的表面积和体积公式:V 球 = 4 ? R3
3

; S 球面 = 4? R 2

4、空间点、直线、平面的位置关系 (1)平面 ① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的; ② 平面的表示:通常用希腊字母α 、β 、γ 表示,如平面α (通常写在一个锐角内) ; 也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面 BC。 ③ 点与平面的关系:点 A 在平面 ? 内,记作 A ?? ;点 A 不在平面 ? 内,记作 A ?? 点与直线的关系:点 A 的直线 l 上,记作:A∈l; 点 A 在直线 l 外,记作 A ?l;

直线与平面的关系:直线 l 在平面α 内,记作 l ? α ;直线 l 不在平面α 内,记作 l ? α 。 (2)公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 (即直线在平面内,或者平面经过直线) 应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1: A ? l , B ? l , A ?? , B ?? ? l ? ? (3)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。 公理 2 及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 (4)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号:平面α 和β 相交,交线是 a,记作α ∩β =a。 符号语言: P ? A ? B ? A ? B ? l , P ? l 公理 3 的作用: ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。 (5)公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 (6)空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质:既不平行,又不相交。 ③ 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a’∥a,b’∥b,则把直线 a’和 b’ 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面 直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。 说明: (1)判定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义;②异面直线的判定定理 (2)在异面直线所成角定义中,空间一点 O 是任取的,而和点 O 的位置无关。 ②求异面直线所成角步骤: A、 利用定义构造角, 可固定一条, 平移另一条, 或两条同时平移到某个特殊的位置, 顶点选在特殊的位置上。 B、 证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角 (7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。 (8)空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点.

三种位置关系的符号表示:a ? α a∩α =A a∥α (9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点;α ∥β 相交——有一条公共直线。α ∩β =b 5、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行 ? 线面平行 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。线面平行 ? 线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (线面平行→面面平行) , (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行→面面平行) , (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行→线线平行) 7、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面 角(平面角是直角) ,就说这两个平面垂直。 (2)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 9、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角:规定为 0 ? 。 ②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线 a,b 平行的直线 a ?, b? ,形成两条相交 直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 (2)直线和平面所成的角 ? ? ①平面的平行线与平面所成的角:规定为 0 。 ②平面的垂线与平面所成的角:规定为 90 。 ③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成 的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角: “一作,二证,三计算” 。 在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线, 在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息: (1)斜线上一点到面的垂线; (2)过斜线上的一点或过斜线的平面与 已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。 (3)二面角和二面角的平面角 ①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半 平面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成 .. ... 的角叫二面角的平面角。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的 二面角为直二面角 ④求二面角的方法

-5-

定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角 7、空间直角坐标系 (1)定义:如图, OBCD ? D, A, B,C , 是单位正方体.以 A 为原点, 分别以 OD,O A, ,OB 的方向为正方向,建立三条数轴 x轴.y轴.z轴 。 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1)O 叫做坐标原点 2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。 (2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向,食指 指向为 y 轴正向,中指指向则为 z 轴正向,这样也可以决定三轴间的相位置。 (3)任意点坐标表示:空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x, y, z) 来表示,有序实数组 ( x, y, z) 叫做点 M 在此 空间直角坐标系中的坐标,记作 M ( x, y, z) (x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标) (4)空间两点距离坐标公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2

3. 在输出结果时,如果有多个输出,一定要用流程线把所有的输出总结到一起,一起终结到结束框。

?

算法结构: 顺序结构,选择结构,循环结构
A A Y A p N N B B Y p p Y N N 当型循环 A

直到型循环

高一数学必修 3 公式总结以及例题 §1 算法初步 ?
秦九韶算法:通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值,对于一个 n 次多项式,只要作 n 次乘法和 n 次加法即可。表达式如下:
a n x n ? a n ?1 x n ?1 ? ... ? a1 ? ????a n x ? a n?1 ?x ? a n?2 ?x ? ...?x ? a 2 ?x ? a1

Ⅰ.顺序结构(sequence
Ⅱ.选择结构(selection

structure ) :是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行

的操作,一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。 structure ) :或者称为分支结构。其中的判断框,书写时主要是注意临界条件的确

例题:秦九韶算法计算多项式 3x 6 ? 4 x 5 ? 5 x 4 ? 6 x 3 ? 7 x 2 ? 8 x ? 1 , 当 x ? 0.4 时,
需要做几次加法和乘法 运算?
即:
答案: 6 , 6

定。它有一个入口,两个出口,执行时只能执行一个语句,不能同时执行,其中的 A,B 两语句可以有一个 为空,既不执行任何操作,只是表明在某条件成立时,执行某语句,至于不成立时,不执行该语句,也不 执行其它语句。 Ⅲ.循环结构(cycle structure) :它用来解决现实生活中的重复操作问题,分直到型(until)和当型(while) 两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时(即不知道循环次数时)用当型循环。

?

基本算法语句:本书中指的是伪代码(pseudo code) ,且是使用 BASIC 语言编写的,是介于 自然语言和机器语言之间的文字和符号,是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统 一的格式,只要书写清楚,易于理解即可,但也要注意符号要相对统一,避免引起混淆。如: 赋值语句中可以用 x ? y ,也可以用

?????3x ? 4?x ? 5?x ? 6?x ? 7?x ? 8?x ? 1

?

x?y ;

表示两变量相乘时可以用“*” ,也可以用“ ? ”

理解算法的含义:一般而言,对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法,其意义具有广泛的含 Ⅰ. 赋值语句(assignment statement) :用 ? 表示, 如: x ? y ,表示将 y 的值赋给 x,其中 x 是一个
变量,y 是一个与 x 同类型的变量或者表达式.

义,如:广播操图解是广播操的算法,歌谱是一首歌的算法,空调说明书是空调使用的算法… (algorithm) 1. 描述算法有三种方式:自然语言,流程图,程序设计语言(本书指伪代码). 2. 算法的特征: ①有限性:算法执行的步骤总是有限的,不能无休止的进行下去 ②确定性:算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切,而且必须有输出,输出可以是一个或多个。没 有输出的算法是无意义的。 ③可行性: 算法的每一步都必须是可执行的, 即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成, 在时间上有一个合理的限度

一般格式: 变量 ? 表达式 ” ,有时在伪代码的书写时也可以用 “ x ? y ” “ ,但此时的 “ = ”
不是数学运算中的等号,而应理解为一个赋值号。 注: 1. 赋值号左边只能是变量,不能是常数或者表达式,右边可以是常数或者表达式。 = ”具有计算功 “ 能。如: 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的,而 a = 3*5 – 1 , a = 2a + 3 都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如:a = b = c = 2 , a , b , c =2 都是错误的,而 a = 3 是正确的.

3. 算法含有两大要素:①操作:算术运算,逻辑运算,函数运算,关系运算等②控制结构:顺序结构,
选择结构,循环结构

Ⅱ.

?

流程图: (flow chart): 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形
程序,它直观、清晰、易懂,便于检查及修改。 注意:1. 画流程图的时候一定要清晰,用铅笔和直尺画,要养成有开始和结束的好习惯 2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程,反过来再检查,比如:遇到判断框时,往往临界 的范围或者条件不好确定,就先给出一个临界条件,画好大致流程,然后检查这个条件是否正确,再考虑是 否取等号的问题,这时候也就可以有几种书写方法了。

输入语句(input statement): Read a ,b 表示输入的数一次送给 a ,b 输出语句(out statement) :Print x ,y 表示一次输出 运算结果 x ,y 注: 支持多个输入和输出, 1. 但是中间要用逗号隔开! Read 语句输入的只能是变量而不是表达式 3. Print 2. 语句不能起赋值语句,意旨不能在 Print 语句中用 “ = ”4. Print 语句可以输出常量和表达式的值.5.
有多个语句在一行书写时用 “ ; ”隔开.

例题:当 x 等于 5 时,Print “x = ”; x 在屏幕上输出的结果是 x = 5 Ⅲ.条件语句(conditional statement) : 1. 行 If 语句: If A Then B 注:没有 End If 2. 块 If 语句: 注:①不要忘记结束语句 End If ,当有 If 语句嵌套使用时,有几个 If ,就
必须要有几个 End If ②. Else If 是对上一个条件的否定, 即已经不属于上面的条件, 另外 Else If 后

-6-

面也要有 End If ③ 注意每个条件的临界性,即某个值是属于上一个条件里,还是属于下一个条件。 ④ 为了使得书写清晰易懂,应缩进书写。格式如下: If Else C End If 例题: 用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法. Read a , b , c If a≥b Then If a≥c Then Print a Else Print c End If Else If b≥c Then Print b Else Print c End If End If Read a , b , c If a≥b and a≥c Print a Else If b≥c Then Print b Else Print c End If A Then B If A Then B Else If C Then D End If

S ?1
S ?1 For I From 3 To 99 Step 2 S ? S? I End For Pr int S
?

S ?1 I ?1 While I ? 99 S ? S? I I?I?2 End While Pr int S
?

I ?1 While I ? 97 I?I?2 S ? S? I End While Pr int S
?

S ?1 I ?1 Do
Then

S ?1 I ?1 Do I?I?2 S ? S? I Loop Until I ? 99 Pr int S
?

S ? S? I I?I?2 Loop Until I ? 100 (或者 I ? 99 ) Pr int S
?

或者

S ?1 I ?1 Do While I ? 99 (或者I ? 100 S ? S? I I?I?2 Loop Pr int S
?

S ?1 I ?1 ) Do While I ? 97 (或者I ? 99 ) I?I?2 S ? S? I Loop Pr int S
?

注:1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数。 2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的数

Ⅳ.循环语句( cycle statement) ? 当事先知道循环次数时用 For 循环 ,即使是 N 次也是已知次 : 数的循环 ? 当循环次数不确定时用 While 循环 ? Do 循环有两种表达形式, 与循环结构的两种循环相对
应. For I From 初值 to 终值 Step 步长 … End For For 循环 While A … End While

While 循环

颜老师友情提醒:1. 一定要看清题意,看题目让你干什么,有的只要写出算法,有的只要求写出伪代码,而有 的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。 2. 在具体做题时,可能好多的同学感觉先画流程图较为简单,但也有的算法伪代码比较好写,你也可以 在草稿纸上按照你自己的思路先做出来,然后根据题目要求作答。一般是先写算法,后画流程图,最后写伪代 码。 3. 书写程序时一定要规范化,使用统一的符号,最好与教材一致,由于是新教材的原因,再加上各种版本,可能 同学会看到各种参考书上的书写格式不一样, 而且有时还会碰到我们没有见过的语言, 希望大家能以课本为依据, 不要被铺天盖地的资料所淹没!

Do

While … Loop

p 当型 Do 循环

Do … Loop Until p 直到型 Do 循环

高中数学必修 4 知识点
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几 象限角. 第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?

说明:1. While 循环是前测试型的,即满足什么条件才进入循环,其实质是当型循环,一般在解决有关问题时, 可以写成 While 循环, 较为简单, 因为它的条件相对好判断. 2. 凡是能用 While 循环书写的循环都能用 For 循环书写 3. While 循环和 Do 循环可以相互转化 4. Do 循环的两种形式也可以相互转化,转化时条件要相
应变化 5. 注意临界条件的判定.

例题: 设计计算 1? 3 ? 5 ? ... ? 99 的一个算法. (见课本 P21 )

?

? ?

第二象限角的集合为 ? k ? 360? ? 90? ? k ? 360? ? 180? , k ? ?
-7-

?

第三象限角的集合为 ? k ? 360? ? 180? ? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? ?

?

? ?

? 4 ? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

第四象限角的集合为 ? k ? 360? ? 270? ? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? ? 终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 , k ? ?
?

?

?

? ? ?
? 终边所 n

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? ? 90? , k ? ? 终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 90? , k ? ?

?

?

?

? 6 ? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; 再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1 倍(纵坐标不变) ,得到 ?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360? ? ? , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正 n
*

半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度. 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360? , 1? ?
? 180 ? ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?

函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原 来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象.

l . r

函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1 倍(纵坐标不变) ,得到函数 ?

?

?

y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度,得到函数 ?

8、 若扇形的圆心角为 ? ?? 为弧度制? , 半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S , l ? r ? , ? 2r ? l , 则 C
1 1 S ? lr ? ? r 2 . 2 2

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短) 到原来的 ?

倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质:
①振幅: ? ;②周期: ? ?

9 、 设 ? 是 一 个 任 意 大小 的 角 , ? 的 终 边 上 任意 一 点 ? 的 坐 标 是 ? x, y ? , 它 与 原 点 的 距 离 是
y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象 限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .

r r ? x 2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? ? 2?

函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax ,则
1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: ??
性 函 质 数

12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1
sin ? sin ? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ? ? ; ? 2 ? cos? ? tan ? ?
2 2 2 2

y P T v O M A x

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

13、三角函数的诱导公式:

图象

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? . ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? .
-8-

定义 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

值域

? ?1,1?
当 x ? 2 k? ?

? ?1,1?
?k ? ??
当 x ? 2k? ? k ? ? ? 时,
ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

R

⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

?

?

?

?

?
2

时 , ymax ? 1 ; 当 最值
x ? 2 k? ?

?

?

?

?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
2?

既无最大值也无最小值

设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a ? ? a ; ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . ⑵运算律:① ? ? ? a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a ;③ ? a ? b ? ? a ? ? b .

??? ?

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
周期 性 奇偶 性
2?

?
奇函数

?

?

奇函数

偶函数

?

?

?

?

?

?

? ?? ? 在 ? 2 k? ? , 2 k? ? ? 2 2? ?
单调 性

?

?

?

?

?

?? ?

?

?

?

在 ? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ? 上

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

? ?? ? 是 增 函 数 ; 在 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ? 2 k? , 2 k? ? ? ? ? ? k ? ? ? 上是增函数. ? k ? ? ? 上是减函数.

⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ? a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线. 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k? , 0 ?? k ? ? ? 对称 对 性 称
x ? k? ?

??

?? ?

?








? k? ? 对称中心 ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?



?
2

? k ? ??

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ? ? ?

只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底) 22、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1? 2 上的一点, ?1 、 ? 2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ? ?? 2 时, 点 ? 的坐标是 ?

?

??

?? ?

??

?? ?

??? ?

????

无对称轴

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?. 1? ? ? ? 1? ?

23、平面向量的数量积:
? ? ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .

? ?

? ?

??

? ?

?

?

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时,

?

?

?

?

? ?

?

?

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? ?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b .
⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .

? ?

? ?

?

?

?? ?
?

?

?

? ?

?

?? ?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;

?

?

?

?

?

?

2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ?

?

?2

?

x2 ? y2 .

?

?

?

?

?? ?

?

?

?

?

?

?

?

C ? a

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

?

?

?

?

? ? ? ? ? ③a ?0 ? 0?a ? a .

?

? b

?

? ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b ? ? ? ? ? 设 a 、b 都是非零向量, a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? ,? 是 a 与 b 的夹角,则 cos ? ? ? ? ? . 2 2 a b x12 ? y12 x2 ? y2
-9-

? ? ? ? ???? ??? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数 称为等差数列的公差.

tan ? ? tan ? ⑸ tan ?? ? ? ? ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ?
tan ? ? tan ? ⑹ tan ?? ? ? ? ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos ⑶ tan 2? ?
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ( cos2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? ) . 2 2

18、 由三个数 a ,? ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列, ? 称为 a 与 b 的等差中项. b ? 则 若 则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 19、若等差数列

a?c , 2

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
? 2 ? ? 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ? 1? d .

26、 ? sin ? ? ? cos ? ?

? . ?

20、通项公式的变形:① an

? am ? ? n ? m ? d ;② a1 ? an ? ? n ? 1? d ;③ d ?

*

an ? a1 n ?1



高中数学必修 5 知识点
1、正弦定理:在 ???C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ???C 的外接圆的半径,则有

④n ?

an ? am an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? n?m d

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ④ . ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
4、余弦定理:在 ???C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,
2 2 2 2 2 2

21、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an 且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 2an
*

? a p ? aq ;若 ?an ? 是等差数列,

? a p ? aq .
;② S n

22、等差数列的前 n 项和的公式:① Sn

?

n ? a1 ? an ? 2

? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d.

23、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ?

?

*

? ,则 S2n ? n ? an ? an?1 ? ,且 S偶 ? S奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an an ?1



c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 5、余弦定理的推论: cos ? ? , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ac 2ab
6、设 a 、 b 、 c 是 ???C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
2 2 2 ?

② 若 项 数 为 2n ? 1 n ? ?

?

*

? ,则 S

2 n ?1

? ? 2n ? 1? an , 且 S奇 ? S偶 ? a , n

S奇 S偶

?

n ( 其 中 S奇 ? n a , n n ?1

S偶 ? ? n ? 1? an ) .
24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数 称为等比数列的公比. 25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a ,G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G ? ab ,则称 G
2

②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2 ? 2 2 2 ?

- 10 -

为 a 与 b 的等比中项. 26、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q 27、通项公式的变形:① an
n ?1

ax2 ? bx ? c ? 0
. ;③ q n ?1 ?
*

一元二次

? x x ? x 或x ? x ?
1 2

? am q n ? m ;② a1 ? an q

?? n ?1?

a n?m an ? n . ;④ q am a1

不等 式的 解集

? a ? 0?
ax2 ? bx ? c ? 0

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

28、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ?an ? 是等比数列, 且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 an
*

? a ? 0?

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

2

? a p ? aq .

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式.36、二元一次不等式组:由几个二元 一次不等式组成的不等式组.37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有 序数对 ? x, y ? ,所有这样的有序数对 ? x, y ? 构成的集合. 38、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方. 39、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 . ① 若 ? ? 0 , 则 ?x ? ? ?C 0 表 示 直 线 ?x ? ? ?C 0 上 方 的 区 域 ; ?x ? ? ?C 0 表 示 直 线 y ? y ? y ?

?na1 ? q ? 1? ? 29、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ?

?

*

? ,则 S

S偶


?q.

② Sn? m

? Sn ? q ? Sm .
n

③ S n , S 2n ? S n , S3n ? S2 n 成等比数列. 31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b
n n

?x ? ? ?C 0 下方的区域. y ?
② 若 ? ? 0 , 则 ?x ? ? ?C 0 表 示 直 线 ?x ? ? ?C 0 下 方 的 区 域 ; ?x ? ? ?C 0 表 示 直 线 y ? y ? y ?

? n ? ?, n ? 1? ;

?x ? ? ?C 0 上方的区域. y ?
40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 解析式.线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? .可行域:所有可行解组成的集合.最优解:使目标函数取得最大值或最 小值的可行解.

⑧a ?b ? 0?

n

a ? n b ? n ? ?, n ? 1? .

33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? ? b ? 4ac
2

??0

??0

??0

二次函数 y ? ax ? bx ? c
2

? a ? 0 ? 的图象
有两个相异实数根 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0
2

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 a?b 42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 ? ab . 2
41、设 a 、 b 是两个正数,则 43、常用的基本不等式:① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;② ab ?
2 2

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2

x1,2 ?

? a ? 0 ? 的根

?b ? ? 2a

有两个相等实数根

b x1 ? x2 ? ? 2a

没有实数根

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b? ?? ③ ab ? ? ? a ? 0, b ? 0 ? ;④ ? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ?
2 2

? x1 ? x2 ?

44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值

s2 . 4

- 11 -

⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .

高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 2.德摩根公式

CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B .
3.包含关系

A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R
4.容斥原理

card ( A ? B) ? cardA ? cardB ? card ( A ? B) card ( A ? B ? C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A ? B) ? card ( A ? B) ? card ( B ? C ) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C ) .
5.集合 {a1 , a2 ,? , an } 的子集个数共有 2 n 个;真子集有 2 n –1 个;非空子集有 2 n –1 个;非空的真子集 有 2 n –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ;
2

? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; ?? ? m ? 2 ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? f ( m) ? 0 ? (2)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m , n ) 内有根的充要条件为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 或 ? 或 ? af ( n) ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2 ? f ( n) ? 0 ; ? ? af (m) ? 0 ? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ?? ? m ? 2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? , ?? ?, ? ? , ?? ,??? 不同)上含参数的二次不等式

f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t ) min ? 0( x ? L) . (2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )man ? 0( x ? L) .
?a ? 0 ?a ? 0 ? 4 2 (3) f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ? 2 . ?c ? 0 ?b ? 4ac ? 0 ?
12.真值表 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有 n 个 小于 不小于 至多有 n 个 对所有 x , 存在某 x , 成立 不成立 p 或q 对任何 x , 不成立 存在某 x , 成立

(2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ;
2

(3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 7.解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式

N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0 f ( x) ? N M ?N M ?N ?0 |? ? | f ( x) ? ? M ? f ( x) 2 2 1 1 ? . ? f ( x) ? N M ? N 8.方程 f ( x) ? 0 在 ( k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的一个必要而不是
充分条件.特别地, 方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在 ( k1 , k 2 ) 内,等价于 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 ,或
2

f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ?

k ? k2 b k1 ? k 2 b ,或 f (k 2 ) ? 0 且 1 ? ?? ? k2 . 2a 2 2 2a
2

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1)个

9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ? 体如下: (1)当 a>0 时,若 x ? ?

b 处及区间的两端点处取得,具 2a

?p 且 ?q ?p 或 ?q

p 且q

b b ? ? p, q? ,则 f ( x)min ? f (? ), f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? ; 2a 2a

14.四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q
- 12 -

b ? ? p, q? , f ( x) max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b b i ( (2) 当 a<0 时 , 若 x ? ? , ) ? ? p, q? , 则 f ( x) i n m ? n f p )f ,? q ( 若 x ? ? ? ? p, q? , 则 m ? 2a 2a f ( x) a x m a x f p )f ,? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . ? ( q( ) ? m x??
10.一元二次方程的实根分布 依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则

互逆 互 为 逆 为 逆 否 互逆

逆命题 若q则p 互 否

逆否命题 若非q则非p

15.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

y ?[f

?1

1 (kx ? b) 是 y ? [ f ( x) ? b] 的反函数. k

28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .
x

(3)对数函数 f ( x) ? log a x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x , f ( xy ) ? f ( x) f ( y ), f (1) ? ? .
'

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ? ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2 (2)设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为减
( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ?
函数. 17.如果函数 f (x) 和 g (x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数; 如果函数

(5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,

f (0) ? 1, lim
x ?0

g ( x) ?1. x

29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,

y ? f (u) 和 u ? g (x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数.
18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那 么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 19. 若 函 数 y ? f (x) 是 偶 函 数 , 则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ; 若 函 数 y ? f ( x ? a) 是 偶 函 数 , 则

f ( x ? a) ? f ( ? x ? a) .
20.对于函数 y ? f (x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f (x) 的对称轴是函数 x ? 函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2
a 2

a?b ;两个 2

21. 若 f ( x) ? ? f (? x ? a) , 则 函 数 y ? f (x) 的 图 象 关 于 点 ( ,0) 对 称 ; 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) , 则 函 数

y ? f (x) 为周期为 2a 的周期函数. n n ?1 22.多项式函数 P( x) ? an x ? an ?1 x ? ? ? a0 的奇偶性 多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x) . a?b (2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx ) 2 ? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .
24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称.

1 ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 2 或 ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? a), ( f ( x) ? ?0,1?) ,则 f (x) 的周期 T=2a; 2 1 (3) f ( x) ? 1 ? ( f ( x) ? 0) ,则 f (x) 的周期 T=3a; f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1, 0 ?| x1 ? x2 |? 2a) ,则 f (x) 的周期 T=4a; 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) (5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a) ? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f (x) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=6a.
或 f ( x ? a) ? 30.分数指数幂 (1) a n ? (2) a
m ? n
m

1
n

?

a 1

m

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).
?

?

a
n

m n

31.根式的性质 (1) ( n a ) ? a . (2)当 n 为奇数时, a ? a ;
n n

当 n 为偶数时, a ?| a |? ?
n n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

a?b (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? 对称. 2m ?1 (3)函数 y ? f (x) 和 y ? f ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25. 若 将 函 数 y ? f (x) 的 图 象 右 移 a 、 上 移 b 个 单 位 , 得 到 函数 y ? f ( x ? a) ? b 的 图 象 ; 若 将 曲 线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象.
26.互为反函数的两个函数的关系

32.有理指数幂的运算性质 (1)

a r ? a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q) .
r s r rs r r

(2) (a ) ? a (a ? 0, r , s ? Q) . (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) . p 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数 幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式

f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a .
27.若函数 y ? f (kx ? b) 存在反函数,则其反函数为 y ?

1 ?1 [ f ( x) ? b] ,并不是 y ? [ f ?1 (kx ? b) ,而函数 k
- 13 -

log a N ? b ? a b ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
34.对数的换底公式

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1, N ? 0 ). log m a n 推论 log am bn ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1, n ? 1 , N ? 0 ). m log a N ?
35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ;

? a1 ? an q ,q ?1 ? 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ? 1

42.等比差数列 ?a n ?: an ?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

M ? log a M ? log a N ; N n (3) log a M ? n log a M (n ? R) .
(2) log a 36.设函数 f ( x) ? log m (ax ? bx ? c)( a ? 0) ,记 ? ? b ? 4ac .若 f (x) 的定义域为 R ,则 a ? 0 , ? ? 0 ; 且
2

?b ? ( n ? 1) d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ?
其前 n 项和公式为
2

若 f (x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广

?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? sn ? ? . d 1 ? qn d (b ? ) ? n, (q ? 1) ? 1? q q ?1 1? q ?
43.分期付款(按揭贷款)



1 若 a ? 0 , b ? 0 , x ? 0 , x ? ,则函数 y ? log ax (bx) a 1 1 (1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? log ax (bx) 为增函数. a a 1 1 (2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? log ax (bx) 为减函数. a a
推论:设 n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) log m? p (n ? p) ? log m n . (2) log a m log a n ? log a 2 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有 y ? N (1 ? p) . 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系
x

ab(1 ? b) n 每次还款 x ? 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b) n ? 1
44.常见三角不等式 (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

?

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1 .
45.同角三角函数的基本关系式

?

2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

m?n . 2

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? =
46.正弦、余弦的诱导公式

sin? , tan ? ? cot? ? 1 . cos?
(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)
n ? n? ?( ?1) 2 co s ? , co s( ??) ? ? n ?1 2 ?( ?1) 2 sin ? , ?

n ?1 ? s1 , an ? ? ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). ? sn ? sn ?1 , n ? 2
40.等差数列的通项公式

n ? n? ?(?1) 2 sin ? , sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?

an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
其前 n 项和公式为

47.和角与差角公式

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d 1 ? n2 ? (a1 ? d )n . 2 2 sn ?
41.等比数列的通项公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 ? tan ? tan ? sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式);
cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos 2 ? ? sin 2 ? .

an ? a1q

n ?1

a ? 1 ? q n (n ? N * ) ; q

a sin ? ? b cos? = a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 (a, b) 的象限决定, tan ? ?
48.二倍角公式

b ). a

其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ? na , q ? 1 ? 1

sin 2? ? sin ? cos? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? . tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
49. 三倍角公式

- 14 -

sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? ? 4sin ? sin( ? ? )sin( ? ? ) . 3 3 cos3? ? 4cos3 ? ? 3cos? ? 4cos? cos( ? ? ) cos( ? ? ) 3 3
tan 3? ? 3 tan ? ? tan 3 ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) . 2 1 ? 3 tan ? 3 3

?

?

?

?

.

50.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) , x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x∈R(A,ω , ? 为常数, A≠0, >0)的周期 T ? 且 ω 函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? 51.正弦定理

2?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

? . ?

?



(1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ? b); ( (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ 1、λ 2, 使得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a ? b(b ? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 63.两向量的夹角公式

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
52.余弦定理

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
53.面积定理

??? ?

??? ??? ? ?

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? ? 1 (3) S?OAB ? (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB) . 2
(1) S ? 54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

cos ? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).

64.平面两点间的距离公式

??? ? ??? ??? ? ? d A, B = | AB |? AB ? AB

?

C ? A? B ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . ? ? 2 2 2

? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
65.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 66.线段的定比分公式 设 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , P( x, y ) 是线段 P P2 的分点, ? 是实数,且 P P ? ? PP2 ,则 1 1 1

55. 简单的三角方程的通解

sin x ? a ? x ? k? ? (?1)k arcsin a(k ? Z ,| a |? 1) . co s x ? a ? x ? 2k? ? arccos a(k ? Z ,| a |? 1) . tan x ? a ? x ? k? ? arctan a(k ? Z , a ? R) .
特别地,有

sin ? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1) ? (k ? Z ) . co s? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) . tan ? ? tan ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) .
k

??? ?

????

56.最简单的三角不等式及其解集

sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arcsin a, 2k? ? ? ? arcsin a), k ? Z . sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? ? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? arccos a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? 2? ? arccos a), k ? Z .

x1 ? ? x2 ? ???? ???? ?x ? 1? ? ??? OP ? ? OP ? ? 1 2 ? OP ? ? 1? ? ? y ? y1 ? ? y2 ? 1? ? ? ??? ? ???? ???? 1 ). ? OP ? tOP ? (1 ? t )OP2 ( t ? 1 1? ?
67.三角形的重心坐标公式 △ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A(x1 ,y1 ) 、 B(x2 ,y2 ) 、 C(x3 ,y3 ) , 则 △ ABC 的 重 心 的 坐 标 是

tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ? arctan a, k? ? ), k ? Z . 2 tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ?
57.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么
- 15 -

?

?

G(

2

, k? ? arctan a), k ? Z .

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3
68.点的平移公式

???? ' ' ' ' 注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F ' 上的对应点为 P ( x , y ) ,且 PP 的坐标为 (h, k ) .
69.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P( x, y ) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到点 P ( x ? h, y ? k ) .
'

???? ??? ???? ? ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ?? ? OP ' ? OP ? PP ' . ? ' ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ?

(1)

(2)
' '

(2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k . (3) 图 象 C 按 向 量 a= (h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 若 C 的 解 析 式 y ? f ( x) , 则 C 的 函 数 解 析 式 为 y ? f ( x ? h) ? k .
' '

(3)

(4)曲线 C : f ( x, y) ? 0 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的方程为 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 .
' '

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? . ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

(5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则

76.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,

??? 2 ??? 2 ???? 2 ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . ??? ? ??? ? ??? ? ? (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? (5) O 为 ?ABC 的 ?A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC .
(1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . 71.常用不等式:
2 2

a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
(2)当 0 ? a ? 1时,

a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;

(1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 3 3 3 (3) a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(2) a, b ? R ?
?

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
77.斜率公式

(4)柯西不等式

k?

(a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R.
(5) a ? b ? a ? b ? a ? b . 72.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 推广 已知 x, y ? R ,则有 ( x ? y ) ? ( x ? y) ? 2 xy
2 2

y2 ? y1 ( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ). 1 x2 ? x1

78.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

1 2 s . 4

(1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x ? y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x ? y | 最小. (2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大. 73.一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) ,如果 a 与 ax ? bx ? c 同号,则其解
2 2

y ? y1 x ? x1 ? ( y1 ? y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). 1 y2 ? y1 x2 ? x1 x y (4)截距式 ? ? 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ;
2

② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 .

集在两根之外;如果 a 与 ax ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ;
2

(2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,

x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2 ② l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ;
① l1 || l2 ? 80.夹角公式

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x 2 ? a 2 ? x ? a 或 x ? ?a .
75.无理不等式

k2 ? k1 |. 1 ? k2 k1 ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 )
(1) tan ? ?|

- 16 -

A1 B2 ? A2 B1 |. A1 A2 ? B1 B2 ( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ).
(2) tan ? ?| 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 81. l1 到 l 2 的角公式

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] ? 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ? (ax ? by ? c) ? 0 ,其中 ax ? by ? c ? 0 是直线 AB 的方程,λ 是待定的
系数. (2) 过 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 与 圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是
2 2

? . 2

k2 ? k1 . 1 ? k2 k1 ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) A B ? A2 B1 (2) tan ? ? 1 2 . A1 A2 ? B1 B2 ( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ).
(1) tan ? ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0 ,λ 是待定的系数. (3) 过 圆 C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 圆 C2 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是
x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,λ 是待定的系数.
88.点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种
2 2 2

若d ?

(a ? x0 ) 2 ? (b ? y0 ) 2 ,则

? . 2

d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内. 89.直线与圆的位置关系
直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:
2 2 2

82.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 P ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 x ? x0 ),其中 k 是待定 0 的系数; 经过定点 P ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数. 0 (2)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A1x ? B1y ? C 1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l 2 ),其中λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是 Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ
是参变量. 83.点到直线的距离 (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). A2 ? B 2 84. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若 B ? 0 ,当 B 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的上方的区域;当 B 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 B ? 0 ,当 A 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的右方的区域;当 A 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设曲线 C : ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( A1 A2 B1 B2 ? 0 ) ,则

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . Aa ? Bb ? C 其中 d ? . A2 ? B 2
90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ;
r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 .
91.圆的切线方程 (1)已知圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
2 2

d?

| Ax0 ? By0 ? C |

①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2

D( x0 ? x) E ( y0 ? y) ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y) 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x ? y0 y ? ? ? F ? 0 表示过两个切点的切点弦方程. 2 2 ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,注意不 x0 x ? y0 y ?
要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x ? y ? r .
2 2 2

①过圆上的 P ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ; 0
2

2 2 (2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F >0).
2 2

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k .
2

? x ? a ? r cos ? (3)圆的参数方程 ? . ? y ? b ? r sin ? (4)圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? 0 (圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
87. 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程是

92.椭圆 93.椭圆

? x ? a cos ? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y ? b sin ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 a 2 b2 a2 a2 PF1 ? e( x ? ) , PF2 ? e( ? x) . c c

- 17 -

94.椭圆的的内外部

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? 2 a b 2 x y2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆

2

2

x y ? ? 1. a b 2 2 x0 y0 ? 2 ? 1. a2 b

2 0 2

2 0 2

b 2 4ac ? b 2 ( ) ? (a ? 0 )的 图 象 是 抛 物 线 : 1 ) 顶 点 坐 标 为 2a 4a b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 ? 1 4ac ? b 2 ? 1 (2)焦点的坐标为 (? (3)准线方程是 y ? . (? , ); , ); 2a 4a 2a 4a 4a
102. 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c ? a( x ?
2

103.抛物线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y ? 2 px( p ? 0) .
2 2

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 2 2 2 2 2 (3)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a b 2 x y2 96.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 a b 2 a a2 PF1 ?| e( x ? ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c
97.双曲线的内外部

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y ? 2 px( p ? 0) .
2 2

(2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y ? ?2 px( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y ? ?2 px( p ? 0) .
2 2

(3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的外部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

(4) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? ?2 py ( p ? 0) 的外部 ? x ? ?2 py ( p ? 0) .
2 2

104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2

(2)过抛物线 y ? 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

2 2 x0 y0 ? 2 ? 1. a2 b 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

(3)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB ? 2 AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y ) ? 0 , f 2 ( x, y ) ? 0 的交点的曲线系方程是
2 2

f1 ( x, y ) ? ? f 2 ( x, y ) ? 0 ( ? 为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
2 2 2 2

x2 y2 ? 2 ? 1 ,其中 k ? max{a 2 , b2 } .当 k ? min{a 2 , b2 } 时,表示椭 2 a ?k b ?k
( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

x2 y2 x2 y 2 b ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . 2 a b a b a 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a b a 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 a b a b
y 轴上). 99. 双曲线的切线方程

圆; 当 min{a , b } ? k ? max{a , b } 时,表示双曲线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ? (弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由
方程 ?

? y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). ?F( x , y) ? 0

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ?1. a2 b x2 y 2 2 2 2 2 2 (3)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a b 2 100. 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式 p 2 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2 p p 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x2 ? p . 2 2 2 y? 2 , y ? ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt)或 P ( x? , y? ) ,其中 y?2 ? 2 px? . 101.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( 2p
(1)双曲线
- 18 -

107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y ) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

F (x ?

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? ) ? 0. 2 2 A ?B A2 ? B 2
2 2

108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,用 x0 x 代 x ,用 y0 y 代 y ,用
2
2



x0 ? x y ?y 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 x y ? xy0 x ?x y ?y Ax0 x ? B ? 0 ? Cy0 y ? D ? 0 ? E? 0 ? F ? 0 ,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是 2 2 2

x0 y ? xy0 代 xy , 2

此方程得到. 109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直;

(5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的 对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b.

设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 (1)a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (2)a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a= (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (λ ∈R); (4)a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; 123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 124.空间的线线平行或垂直 设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则

??? ??? ??? ? ? ? AB ? OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) .
r r

? x1 ? ? x2 r r r r r r ? a P b ? a ? ? b(b ? 0) ? ? y1 ? ? y2 ; ?z ? ? z 2 ? 1 r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 .
125.夹角公式 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos〈a,b〉=

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

.
2 2 2

推论 (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ) ? (a1 ? a2 ? a3 )(b1 ? b2 ? b3 ) ,此即三维柯西不等式.
2 2 2 2

126. 四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD 中, AC 与 BD 所成的角为 ? ,则

cos ? ?

| ( AB 2 ? CD 2 ) ? ( BC 2 ? DA2 ) | . 2 AC ? BD

127.异面直线所成角

??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB . ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线.
???? ???? ????

118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x, y ,使 p ? ax ? by .

r r cos? ?| cos a, b | r r | x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 | | a ?b | r ? = r 2 | a |?|b | x1 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2
o o

b b (其中 ? ( 0 ? ? ? 90 )为异面直线 a, 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, 的方向向量)
??? ?? ? AB ? m ?? ? ? ? arc sin ??? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m | 129.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分别是 ?1 、
128.直线 AB 与平面所成角

r r

??? ???? ? ? ???? ???? 或对空间任一定点 O,有序实数对 x, y ,使 OP ? OM ? xMA ? yMB . ??? ? ??? ? ??? ? ???? 119.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 OP ? xOA ? yOB ? zOC ( x ? y ? z ? k ) ,则当 k ? 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ? 1 时,若 O? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共面. ???? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? A、B、 、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD ? x AB ? y AC ? C ???? ??? ? ??? ? ???? OD ? (1 ? x ? y)OA ? xOB ? yOC ( O?平面 ABC).
120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x,y,z,使 p=xa+yb +zc. 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实数 x,y,z,使

推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x, y ,使 MP ? xMA ? yMB ,

? 2 , A、B 为 ?ABC 的两个内角,则
sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? (sin 2 A ? sin 2 B)sin 2 ? .
特别地,当 ?ACB ? 90 时,有
?

sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? sin 2 ? .
130.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分别是 ?1 、

??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? xOA ? yOB? zOC.
121.射影公式

? 2 , A'、B' 为 ?ABO 的两个内角,则
tan 2 ?1 ? tan 2 ? 2 ? (sin 2 A' ? sin 2 B ' ) tan 2 ? .
特别地,当 ?AOB ? 90 时,有
?

??? ? ' ' 已知向量 AB =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A ,作 B 点在 l 上的射影 B ,则 ??? ? A' B ' ?| AB | cos 〈a,e〉=a·e
122.向量的直角坐标运算
- 19 -

sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? sin 2 ? . 131.二面角 ? ? l ? ? 的平面角

?? ? ?? ? ?? ? m?n m?n ? ? arc cos ?? ? 或 ? ? arc cos ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n |
132.三余弦定理 设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 ? 1 ,AB 与 AC 所成的角为 ? 2 , AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 . 133. 三射线定理 若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 ? 1 , ? 2 ,与二面角的棱所成的角是θ , 则有 sin ? sin ? ? sin ?1 ? sin ? 2 ? 2sin ?1 sin ? 2 cos ? ;
2 2 2 2

144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面 距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应 边的比的平方) ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式) V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). (1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与棱数 E 的关系:

1 E ? nF ; 2
(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E ? 146.球的半径是 R,则

| ?1 ? ? 2 |? ? ? 180? ? (?1 ? ? 2 ) (当且仅当 ? ? 90? 时等号成立).
134.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

1 mV . 2

??? ? ??? ??? ? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 .

135.点 Q 到直线 l 距离

4 3 ?R , 3 2 其表面积 S ? 4? R .
其体积 V ? 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球 的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 148.柱体、锥体的体积

??? ? ??? ? 1 h? (| a || b |) 2 ? (a ? b) 2 (点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量 a= PA ,向量 b= PQ ). |a|
136.异面直线间的距离

??? ?? ? ? ? | CD ? n | ? d? ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 分别是 l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 间的距离). |n| 137.点 B 到平面 ? 的距离 ??? ?? ? ? | AB ? n | ? ? d? ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, A ?? ). |n|
138.异面直线上两点距离公式

6 6 a ,外接球的半径为 a. 12 4

d ? h ? m ? n ? 2mn cos ? . ???? ??? ? d ? h2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos EA' , AF .
2 2 2

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3
'

d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos ? ( ? ? E ? AA' ? F ).
(两条异面直线 a、b 所成的角为θ ,其公垂线段 AA 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、F,

149.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn . 150.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ??? mn . 151.排列数公式
m An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) =

A' E ? m , AF ? n , EF ? d ).
139.三个向量和的平方公式

? ? ? ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? (a ? b ? c) 2 ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a, b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ? 2 | c | ? | a | cos c, a

n! * .( n , m ∈N ,且 m ? n ). (n ? m)!

140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 , 夹角分别为 ?1、? 2、? 3 ,则有

l 2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos 2 ?1 ? cos 2 ? 2 ? cos 2 ? 3 ? 1 ? sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? sin 2 ?3 ? 2 .
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理

注:规定 0!? 1. 152.排列恒等式 (1) An ? (n ? m ? 1) An
m m ?1

;

S?

S' . cos?
'

n m An ?1 ; n?m m m ?1 (3) An ? nAn ?1 ;
(2) An ?
m

(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S 斜棱柱侧 和 V斜棱柱 ,它的直截面的周长和面积分别是 c1 和 S1 ,则 ① S斜棱柱侧 ? c1l . ② V斜棱柱 ? S1l . 143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行.

(4) nAn ? An ?1 ? An ;
n n

n ?1
m

(5) An ?1 ? An ? mAn
m

m ?1

.

(6) 1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? ? n ? n! ? (n ? 1)!? 1 . 153.组合数公式
m Cn =
m An n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! * = = ( n ∈N , m ? N ,且 m ? n ). m Am m!(n ? m)! ? 1? 2 ? ?? m

154.组合数的两个性质

- 20 -

(1) C n = C n
m 0

m

n?m m ?1

; = C n ?1 .
m

(3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分给 m 个人,物件必须被分完,分别得 到 n1 , n2 , ? , nm 件 , 且 n1 , n2 , ? , nm 这 m 个 数 彼 此 不 相 等 , 则 其 分 配 方 法 数 共 有
nm n n N ? C p1 ? C p 2 n1 ...Cnm ? m!? ?

(2) C n + C n

注:规定 C n ? 1 . 155.组合恒等式

p!m! . n1!n2! . n. ! .m

n ? m ? 1 m?1 Cn ; m n m m (2) Cn ? Cn?1 ; n?m n m m (3) Cn ? Cn ??1 ; 1 m
m (1) Cn ?

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分给 m 个人,物件必须被分完,分 别得到 n1 , n2 ,?, nm 件,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、?个相等,则其分配方法数有

(4)

?C
r ?0 r r
0

n

r n

= 2n ;
r r r r ?1

p !m ! . a!b!c!... n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...) (5)(非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分为任意的 n1 , n2 ,?, nm 件无记号的 p! . m 堆,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数有 N ? n1!n2!...nm! N? ?
(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分为任意的 n1 , n2 ,?, nm 件无记
n

nm n n C p1 ? C p 2? n1 ...Cnm ? m!

(5) C ? C r ?1 ? C r ? 2 ? ? ? C n ? C n ?1 . (6) C n ? C n ? C n ? ? ? C n ? ? ? C n ? 2 .
1 2 r n

号的 m 堆, n1 ,n2 , nm 这 m 个数中分别有 a、 c、 且 ?, b、 ?个相等, 则其分配方法数有 N ?
n ?1

p! . n1!n2!...nm !(a!b!c!...)

(7) C n ? C n ? C n ? ? ? C n ? C n ? C n ? ? 2
1 3 5 0 2 4

.

(7)(限定分组有归属问题)将相异的 p ( p ? n1 +n2 + ?+nm )个物体分给甲、乙、丙,??等 m 个人,物 体必须被分完,如果指定甲得 n1 件,乙得 n2 件,丙得 n3 件,?时,则无论 n1 , n2 ,?, nm 等 m 个数是否全相 异或不全相异其分配方法数恒有
nm n n N ? C p1 ? C p 2? n1 ...Cnm ?

(8) C n ? 2C n ? 3C n ? ? ? nCn ? n2
1 2 3 n

n ?1

. .
n

(9) C C ? C
r m 0 n 0 2

r ?1 m

C ??? C C ? C
1 n 0r m r n 2 2

r m? n n 2

p! . n1!n2!...nm!

(10) (C n ) ? (C n ) ? (C n ) ? ? ? (C n ) ? C 2 n .
1 2

159. “错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为

156.排列数与组合数的关系
m An ? m ? Cn . ! m

157.单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. (1) “在位”与“不在位” ①某(特)元必在某位有 An ?1 种;②某(特)元不在某位有 An ? An ?1 (补集思想) ? An ?1 An ?1 (着眼位置)
m 1 m ?1 m ?1 m ?1

1 1 1 1 ? ? ? ? ? (?1) n ] . 2! 3! 4! n! 推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为 f (n) ? n ![
1 2 3 4 f (n, m) ? n !? Cm (n ? 1)!? Cm (n ? 2)!? Cm (n ? 3)!? Cm (n ? 4)! p m ? ? ? (?1) p Cm (n ? p )!? ? ? (?1) m Cm (n ? m)!

m 1 m ? An ?1 ? Am ?1 An ??1 (着眼元素)种. 1

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) ①定位紧贴: k (k ? m ? n) 个元在固定位的排列有 Ak An ? k 种.
k m?k

1 2 3 4 p m Cm C m C m C m p Cm m Cm ? n ![1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? (?1) ? ? ? (?1) ]. m An An An An Anp An

②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An ? k ?1 Ak 种.注:此类问题常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ? h ? 1) ,把它们合在一起来作全排列,k 个的一组互不能挨近的所有 排列数有 Ah Ah ?1 种. (3)两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?
n Am ?1 n 当 n ? m ? 1 时,无解;当 n ? m ? 1 时,有 n ? C m ?1 种排法. An
h k

n ? k ?1

k

160.不定方程 x1 +x2 + ? +xn ? m 的解的个数 (1)方程 x1 +x2 + ?+xn ? m ( n, m ? N )的正整数解有 C m ?1 个.
? (2) 方程 x1 +x2 + ?+xn ? m ( n, m ? N )的非负整数解有 C n?m?1 个.
n ?1

?

n ?1

(3) 方 程 x1 + x2 +? +x ? m( n, m ? N ) 满 足 条 件 xi ? k ( k ? N , 2 ? i ? n ? 1 ) 的 非 负 整 数 解 有 n
n C m??11? ( n ? 2)( k ?1) 个.

?

?

(4) 方 程 x1 + x2 +? +x ? m n, m ? N ) 满 足 条 件 xi ? k ( k ? N , 2 ? i ? n ? 1 ) 的 正 整 数 解 有 ( n
n
1 ? n 1 C nn??m? ? C1n?2 Cnm?1n? 2?? C 2 2?C ? m1?2n? 3? ? ? n ? 2 Cn ? 2n2?Cn ? 1m?( 个.? ? ( 1) 1 k n k? ? 2 ) n
k

?

?

(4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为 C m ? n . 158.分配问题 ( 1 ) (平 均分组 有归 属问 题 )将 相异 的 m 、 n 个 物 件等 分给 m 个 人 ,各 得 n 件,其 分配 方法 数共 有

161.二项式定理 (a ? b) ? C a ? C a
n 0 n n 1 n

n ?1

b?C a
2 n

n?2

r n b ? ? ? C n a n?r b r ? ? ? C n b n ; 2

二项展开式的通项公式
r Tr ?1 ? C n a n ?r b r (r ? 0,2?,n) . 1,

(mn)! N ? C ?C ?C ??? C ? C ? . (n!) m (2)(平均分组无归属问题)将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其分配方法数共有 n n C n ? C n ? C n ... ? C2 n ? Cn (mn)! N ? mn mn ? n mn ? 2 n ? . m! m!(n!) m
n mn n mn ? n n mn ? 2 n n 2n n n

162.等可能性事件的概率

P( A) ?

m . n

163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和
- 21 -

P(A+B)=P(A)+P(B). 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) ? Cn P k (1 ? P)n ?k .

n ? ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? i ?1 ? n ? ? a ? bx ,其中 ?b ? 2 y ? ? ? xi ? x ? ? i ?1 ? a ? y ? bx ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx 2

.

179.相关系数

168.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) P ? 0(i ? 1, 2,?) ; i (2) P ? P2 ? ? ? 1 . 1 169.数学期望

r?

? ? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

.
n i ?1

(? xi 2 ? nx 2 )(? yi 2 ? ny 2 )
i ?1

n

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 180.特殊数列的极限

E? ? x1P ? x2 P2 ? ? ? xn Pn ? ? 1
170.数学期望的性质 (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b . (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np . (3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? q 171.方差
k ?1

?0 ? (1) lim q ? ?1 n ?? ?不存在 ?
n

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或q ? ?1
.

p ,则 E? ?
2

1 . p

D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? pn ? ?
2 2

?0 ? ak n ? ak ?1n ? ? ? a0 ? at (2) lim ?? n ?? b n t ? b n t ?1 ? ? ? b t t ?1 0 ? bk ?不存在 ?
k k ?1

(k ? t ) (k ? t ) . (k ? t )

172.标准差

?? = D? .
173.方差的性质 (1) D ? a? ? b ? ? a D? ;
2

(3) S ? lim

a1 1 ? q n 1? q
x ? x0

?

n ??

??

a1 1? q

( S 无穷等比数列

?a q ?
n ?1 1

( | q |? 1 )的和).

181. 函数的极限定理
x ? x0

(2)若 ? ~ B(n, p) ,则 D? ? np(1 ? p) .
(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(?

lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a .
x ? x0

? k ) ? g (k , p) ? q

k ?1

q p ,则 D? ? 2 . p

182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x) ? f ( x) ? h( x) ; (2) lim g ( x) ? a, lim h( x) ? a (常数),
x ? x0 x ? x0

174.方差与期望的关系

D? ? E? ? ? E? ? .
2 2

175.正态分布密度函数

则 lim f ( x) ? a .
x ? x0
2

f ? x? ?
差.

? 1 e 2? 6

? x?? ?
262

, x ? ? ??, ?? ? ,式中的实数μ ,? ( ? >0)是参数,分别表示个体的平均数与标准

本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立. 183.几个常用极限

176.标准正态分布密度函数
x ? 1 f ? x? ? e 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2? 6 2 177.对于 N ( ? , ? ) ,取值小于 x 的概率 ? x?? ? F ? x? ? ? ? ?. ? ? ? P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ?
2

1 ; ? 0 , lim a n ? 0 ( | a |? 1 ) n ?? n 1 1 (2) lim x ? x0 , lim ? . x ? x0 x ? x0 x x0
(1) lim
n ??

184.两个重要的极限

? F ? x2 ? ? F ? x1 ?

sin x ?1; x ?0 x x ? 1? (2) lim ?1 ? ? ? e (e=2.718281845?). x ?? ? x?
(1) lim 185.函数极限的四则运算法则 若 lim f ( x) ? a , lim g ( x) ? b ,则
x ? x0 x ? x0

? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? ?? 2 ? ??? ?. ? ? ? ? ? ?
178.回归直线方程

(1) lim ? f ? x ? ? g ? x ?? ? a ? b ; ? ? (2) lim ? f ? x ? ? g ? x ?? ? a ? b ; ? ?
x?x0
x? x0

- 22 -

(3) lim

x ? x0

g ? x?

f ? x?

?

a ?b ? 0? . b

(2) (1 ? x) ? 1 ? ? x(? ? R) ; (3) e ? 1 ? x ; (4) ln (1 ? x) ? x ;
x

?

1 ?1? x ; 1? x

186.数列极限的四则运算法则 若 lim an ? a, lim bn ? b ,则
n ?? n ??

(1) lim ? an ? bn ? ? a ? b ; (2) lim ? an ? bn ? ? a ? b ;
n ?? n ??

(3) lim

(4) lim ? c ? an ? ? lim c ? lim an ? c ? a ( c 是常数).
n ?? n ?? n ??

an a ? ?b ? 0? n ?? b b n

(5) sin x ? x ( x 为弧度) ; (6) tan x ? x ( x 为弧度) ; (7) arctan x ? x ( x 为弧度) 196.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f (x) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 197.复数的相等

187. f (x) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)

f ?( x0 ) ? y?
188.瞬时速度

x ? x0

? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y . ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 198.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值)

? ? s?(t ) ? lim

?s s(t ? ?t ) ? s(t ) . ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t

| z | = | a ? bi | = a 2 ? b 2 .
199.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi) ? (c ? di) ?

189.瞬时加速度

?v v(t ? ?t ) ? v(t ) . a ? v?(t ) ? lim ? lim ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t 190. f (x) 在 (a, b) 的导数 dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) . f ?( x) ? y? ? ? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 dx dx ?x 191. 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义
函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f (x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , 相应的切线方程是

ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2

200.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式

y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) .
192.几种常见函数的导数 (1) C? ? 0 (C 为常数). (2) ( xn ) ? nx
'

(3) (4) (5)

(6) 193.导数的运算法则
' ' ' '

( n ? Q) . (sin x)? ? cos x . (cos x)? ? ? sin x . 1 1 e (ln x)? ? ; (log a x )? ? log a . x x x x x x (e )? ? e ; (a )? ? a ln a .
'

n ?1

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).
202.向量的垂直 非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ 2 ,则

???? ?

???? ?

???? ???? ? ? z OZ1 ? OZ 2 ? z1 ? z2 的实部为零 ? 2 为纯虚数 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 z1

? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 (λ 为非零实数).
203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,
2

(1) (u ? v) ? u ? v . (2) (uv) ? u v ? uv .
'

(3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2
' ' ' '

194.复合函数的求导法则 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 u x ? ? ( x ) ,函数 y ? f (u) 在点 x 处的对应点 U 处有导数 yu ? f (u ) ,则 复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处有导数,且 y x ? yu ? u x ,或写作 f x (? ( x)) ? f (u )? ( x) .
' ' ' ' ' '

?b ? b 2 ? 4ac ; 2a b 2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2 ③ 若 ? ? b ? 4ac ? 0 , 它 在 实 数 集 R 内 没 有 实 数 根 ; 在 复 数 集 C 内 有 且 仅 有 两 个 共 轭 复 数 根
2 ①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?

x?

195.常用的近似计算公式(当 x 充小时) (1) 1 ? x ? 1 ?

?b ? ?(b 2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) . 2a

1 n 1 x ; 1? x ?1? x ; 2 n

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