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黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第一次模拟考试数学(文)试题


哈尔滨三中 2015 年第一次模拟考试 数学试卷(文史类)
第I卷
合题目要求的.) 1. 集合 P ? ? x A. (1,2] 2. (选择题, 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

? x ?1 ? ? 0? , Q ? x y ? 4 ? x 2 ,则 P ? Q ? ? x?3 ?
B. [1,2] C. (??, ?3)

?

?

(1, ??)

D. [1,2)

等差 数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 = 6 , a1 = 4 ,则公差 d 等于 A. 1 B.

5 3

C. ? 2

D. 3

3.

在 ?ABC 中, AB ? A. 30
?

3 , AC ? 1 , ?B ? 30? , ?ABC 的面积为
B. 45
?

3 ,则 ?C ? 2
?

C. 60

?

D. 75

4.

下列函数在 (0,??) 上为减函数的是 A. y ? ? x ? 1 B. y ? e
x

C. y ? ln(x ? 1)

D. y ? ? x( x ? 2)

5.

2 设定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? x ? 4( x ? 0) ,则 f ( x ? 2) ? 0 的解集为

A. (?4, 0)

(2, ??)

B. (0, 2)

(4, ??)

C. (??,0)

(4, ??)

D. (?4, 4)

6.

将函数 f ?x ? ? sin?2 x ? ? ? 的图象向左平移 一个可能取值为 A.

? 个单位,所得到的函数图象关于 y 轴对称,则 ? 的 8

3? 4

B.

? 4

C. 0

D. ?

?
4

7.

给出下列关于互不相同的直线 m 、 l 、 n 和平面 ? 、 ? 的四个命题:
·1 ·

① 若 m ? ? , l ? ? ? A ,点 A ? m ,则 l 与 m 不共面; ② 若 m 、 l 是异面直线, l // ? , m // ? ,且 n ? l , n ? m ,则 n ? ? ; ③ 若 l // ? , m // ? , ? // ? ,则 l // m ; ④ 若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? A , l // ? , m // ? ,则 ? // ? , 其中为真命题的是

A.①③④

B.②③④

C.①②④

D.①② ③

?x ? y ? 1 ? 0 ? 8. 变量 x 、 y 满足条件 ? y ? 1 ,则 ( x ? 2) 2 ? y 2 的最小值为 ? x ? ?1 ?
A.

3 2 2

B. 5

C.

9 2

D. 5

9.

如图, ?AOB 为等腰直角三角形, OA ? 1 , OC 为斜边 AB 的高, P 为线段 OC 的中点,则

AP ? OP ?
A. ? 1 B. ?

A

1 8
P

C

C. ?

1 4

D. ?

1 2

O

B

? 10. 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ?ABC ? ?BAD ? 90 , BC ? 2 AD , ?PAB 和 ?PAD 都是等

边三角形,则异面直线 CD 与 PB 所成角的大小为 A. 90 B. 75 C. 60
?

P

?

?

D

A
B

C
·2 ·

D. 45

?

11. 已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交 点,若 PF ? 3QF ,则 QF = A.

5 2

B.

8 3

C. 3

D. 6

12. 设 f ( x) ? lg x ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在区间 (0,4) 上有三个零点,则实数 a 的取值范围是 A. ? 0, ?

? ?

1? e?

B. ?

? lg 2 lg e ? , ? e ? ? 2

C. ?

? lg 2 ? ,e? ? 2 ?

D. ? 0,

? ?

lg 2 ? ? 2 ?

哈尔滨三中 2015 年第一次模拟考试 数学试卷(文史类)
第Ⅱ卷
(非选择题, 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小 题 5 分,共 20 分 ,将答案填在答题卡相应的位置上. ) 13. 正项等比数列 ?an ? 中, a 2 ? 4 , a4 ? 16 ,则数列 ?an ? 的前 9 项和等于 14. 某几何体的三视图如图所示,则 它的体积为 . .

2

4

4

正视图

侧视图

2

x2 y 2 ? 1, 15. 已知椭圆 C : ? 点 M 与 C 的焦点不重合, 若 M 关于 C 的两焦点的对称点分别为 P , 16 12
Q ,线段 MN 的中点在 C 上,则 | PN | ? | QN |?
·3 ·

俯视图



16 . 定 义 : 如 果 函 数 y ? f ( x) 在 定 义 域 内 给 定 区 间 [ a, b] 上 存 在 x0 (a ? x0 ? b) , 满 足

f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a ) , 则称函数 y ? f ( x) 是 [ a, b] 上的 “平均值函数” ,x0 是它的一个均值点, b?a

例如 y ? x 2 是 [ ?1,1] 上的平均值函数,0 就是它的均值点. 现有函数 f ( x) ? x 3 ? mx是 [ ?1,1] 上 的平均值函数,则实数 m 的取值范围是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 12 分) 设 ?ABC 是锐角三角形,三个内角 A , B , C 所对的边分别记为 a , b , c ,并且

(sin A ? sin B)(sin A ? sin B) ? sin(
(Ⅰ)求角 A 的值;

?
3

? B) sin(

?
3

? B) .

(Ⅱ)若 AB ? AC ? 12 , a ? 2 7 ,求 b , c (其中 b ? c ) .

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 (an?1 ? 1)(an ? 1) ? 3(an ? an?1 ) , a1 ? 2 ,令 bn ? (Ⅰ)证明:数列 {bn } 是等差数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式.

1 . an ? 1

·4 ·

19.(本小题满分 12 分)

?ABC 为等腰直角三角形, AC ? BC ? 4 , ?ACB ? 90? , D 、 E 分别是边 AC 和 AB 的中
点,现将 ?ADE 沿 DE 折起,使面 ADE ? 面 DEBC , H 是边 AD 的中 点,平面 BCH 与 AE 交于点 I . (Ⅰ)求证: IH // BC ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? HIC 的体积.

A

I

H

E

D

B
20.(本小题满分 12 分) 如图,抛物线 C1 : y 2 ? 2 px 与椭圆 C 2 :

C

x2 y2 ? ? 1 在第一象限的交点为 B , O 为坐标原 16 12

点, A 为椭 圆的右顶点, ?OAB 的面积为 (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程;

8 6 . 3

(Ⅱ)过 A 点作直线 l 交 C1 于 C 、 D 两点,求 ?OCD 面积的最小值.

y B

C

O
D
21.(本小题满分 12 分)

A

x

2 2 设函数 f ( x) ? ax ln x ? b( x ? 1) ( x ? 0) ,曲线 y ? f ( x) 过点 (e, e ? e ? 1) ,且在点 (1,0) 处

·5 ·

的切线方程为 y ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 1) 2 ; (Ⅲ)若当 x ? 1 时, f ( x) ? m( x ? 1) 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分 )选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形 ,延长 BA 和 CD 相交于点 P ,

PA 1 ? , PB 4

PD 1 ? . PC 2
B

AD (Ⅰ)求 的值; BC
(Ⅱ)若 BD 为⊙ O 的直径,且 PA ? 1 , 求 BC 的长.

?O
D

A P

C

23.( 本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是

? 2 x? t ? ? 2 ( t 是参数) ,以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的 ? 2 ?y ? t?4 2 ? 2 ?
·6 ·

极坐 标方程 ? ? 2 cos( ? ?

?
4

).

(Ⅰ)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系; (Ⅱ)设 M 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 2 . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若存在实数 x ,使得 f ( x) ? x ? a ,求实数 a 的取值范围.

·7 ·

哈尔滨三中 2015 年第一次模拟考试 数学试卷(文史类)答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 D 5 B 6 B 7 C 8 D 9 B 10 A 11 B 12 B

二、填空题: 13. 1022 三、解答题: 17.解:(Ⅰ) sin 2 A ? ( 14.

8? 3

15. 16

16. ( ?3, ? ]

3 4

3 1 3 1 cos B ? sin B) ? ( cos B ? sin B) ? sin 2 B 2 2 2 2

?

3 3 (cos 2 B ? sin 2 B ) ? , 4 4
3 ? ,? A ? . 3 2

? sin A ?

??????????

6分

(Ⅱ) AB ? AC ? b cos A ? 12 ,? bc ? 24 , 又 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 3bc ,? b ? c ? 10 ,

? b ? c ,? b ? 4 , c ? 6 .??????????
18.解:(Ⅰ) (an?1 ? 1)(an ? 1) ? 3?(an ? 1) ? (an?1 ? 1)? ,

12 分

?

1 a n ?1 ? 1

?

1 1 1 ? ,即 bn ?1 ? bn ? ,??bn ?是等差数列.???6 分 3 an ? 1 3 1 2 n ? ,?????????? 3 3
10 分

(Ⅱ)? b1 ? 1 ,? bn ?

an ? 1 ?

3 n?5 ,? a n ? .?????????? n?2 n?2

12 分

19. (Ⅰ)因为 D 、 E 分别是边 AC 和 AB 的中点,

·8 ·

所以 ED // BC , 因为 BC ? 平面 BCH , ED ? 平面 BCH , 所以 ED // 平面 BCH 因为 ED ? 平面 BCH , ED ? 平面 AED ,平面 BCH ? 平面 AED ? HI 所以 ED // HI 又因为 ED // BC , 所以 IH // BC . (Ⅱ) S ?AIC ? ???? ?????????? 6 分

1 1 ?1?1 ? 2 2 高 CD ? 2 1 1 1 V ? ? ?2 ? 3 2 3

?????????????? 12 分

20. 解: (Ⅰ)因为 ?OAB 的面积为

8 6 4 6 ,所以 y B ? ,?????2 分 3 3

代入椭圆方程得 B( ,
2

4 4 6 ), 3 3
?????6 分

抛物线的方程是: y ? 8x (Ⅱ) 直线 CD 斜率不存在时, S?OCD ? 16 2 ;

直线 CD 斜率存在时,设直线 CD 方程为 y ? k ( x ? 4) ,带入抛物线,得

ky2 ? 8 y ? 32k ? 0
1 1 S?OCD ? OA y1 ? y2 ? 16 2 ? 2 ? 16 2 , 2 k
综上 S?OCD 最小值为 16 2 . ?????12 分

21.解:(Ⅰ) f ?( x) ? 2a ln x ? ax ? b ,

·9 ·

f ?(1) ? a ? b ? 0 , f (e) ? ae2 ? b(e ?1) ? a(e2 ? e ? 1) ? e2 ? e ? 1
? a ? 1 , b ? ?1 .????????????4 分
(Ⅱ) f ( x) ? x2 ln x ? x ? 1 , 设 g ( x) ? x2 ln x ? x ? x2 , ( x ? 1) , g ?( x) ? 2 x ln x ? x ? 1

( g ?( x))? ? 2ln x ? 0 ,? g ?( x ) 在 ?0,??? 上单调递增,

? g ?( x) ? g ?(1) ? 0 ,? g ( x) 在 ?0,??? 上单调递增,? g ( x) ? g (1) ? 0 . ? f ( x) ? ( x ? 1)2 .????????????8 分
(Ⅲ)设 h( x) ? x2 ln x ? x ? m( x ?1)2 ? 1 ,

h?( x) ? 2 x ln x ? x ? 2m( x ? 1) ? 1 ,
(Ⅱ) 中知 x2 ln x ? ( x ?1)2 ? x ?1 ? x( x ?1) ,? x ln x ? x ? 1 ,

? h?( x) ? 3( x ?1) ? 2m( x ?1) ,
①当 3 ? 2m ? 0 即 m ? ②当 3 ? m ? 0 即 m ?

3 时,h ?( x) ? 0 , 成立. ? h( x) 在 [1, ??) 单调递增, ? h( x) ? h(1) ? 0 , 2

3 时, h?( x) ? 2 x ln x ? (1 ? 2m)( x ? 1) , 2
2 m?3 2

(h?( x))? ? 2ln x ? 3 ? 2m ,令 (h?( x)) ? 0 ,得 x0 ? e

? 2 ? 1,

当 x ??1, x0 ? 时, h?( x) ? h?(1) ? 0 ,? h( x) 在 ?1, x0 ? 上单调递减? h( x) ? h(1) ? 0 ,不成立. 综上, m ?

3 .????????????12 分 2

22. (Ⅰ)由 ? PAD ? ?PCB , ?A ? ?A ,得 ?PAD 与 ?PCB 相似, 设 PA ? x, PD ? y 则有

x y ? ? y ? 2x , 2 y 4x
?????????? ??5 分

所以

AD x 2 ? ? BC 2 y 4

·10·

(Ⅱ) ?C ? 90 , PA ? 4, PC ? 2 2,BC ? 2 2 ????????????10 分

23.解:(Ⅰ)直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0 曲线 C 的直角坐标系下的方程为 ( x ?

2 2 2 2 ) ? (y ? ) ?1 2 2

圆心 (

5 2 2 2 ? 5 ?1 ,? ) 到直线 x ? y ? 4 2 ? 0 的距离为 d ? 2 2 2

所以直线 l 与曲线 C 的位置关系为相离. ?????5 分 (Ⅱ)设 M (

2 2 ? cos ? , ? ? sin ? ) , 2 2

则 x ? y ? cos ? ? sin ? ?

? 2 sin(? ? ) ? ? ? 2, 2 ? ? .?????10 分 4 ?

24. (Ⅰ)① 当 x ? ?

1 时, ?1 ? 2 x ? x ? 2 ? x ? ?3 ,所以 x ? ?3 2 1 1 ② 当 ? ? x ? 0 时, 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? ,所以为 ? 2 3 ③ 当 x ? 0 时, x ? 1 ? 2 ? x ? 1 ,所以 x ? 1
综合①②③不 等式的解集为 ? ??, ?3? ??1, ??? ?????5 分

(Ⅱ)即 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? a ? x ?

1 a ? x ? 1? 2 2
1 a ? 1 ? ? a ? ?3 ???????10 分 2 2
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由绝对值的几何意义 ,只需 ?

·11·


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