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第二讲 函数的定义与三要素


第二讲 函数的定义与三要素
【知识梳理】
1、对映射定义的理解: (1) 非空集合 A 和 B 不加约束, 可以是数集, 可以是点集, 也可以是其它元素形成的集合; (2)对应法则 f 具有方向性; (3) “任一(元素)对应唯一(元素)”,即 A 中任一元素在 B 中都有唯一的象.在这里,A 中元素 不可剩,允许 B 中有剩余;不可“一对多”,允许“多对一”.因此,根据 B 中元素有无剩余的情况, 映射又可分为“满射”和“非满射”两类. 2、函数概念中强调: (1)非空数集之间的对应; (2)函数三要素中有一个不同,则两个函 数不同。

题型一 映射与函数 例 1: 已知映射 f:A ? B ,其中 B={1,2,3,4},集合 B 是 A 中元素在映射 f 的作用下象 组成的集合,且对于任意的 a ? A ,在 B 中和它对应的元素是|a|,则这样的 A 的个数为 16
个。

练习:1、已知 A={1,2,3,4},B={5,6},取适当的对应法则,问: (1)从 A 到 B 可以建立起多少个不同的映射?16 (2)以 A 为定义域,B 为值域的函数有多少个?在(2)的条件下,满足 f(1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) 的函数有多少个?3

2、已知: A= ?a, b, c? B= ?? 2,0,2?映射 f: A→B 满足 f(a)+f(b)=f(c), 求满足的映射的个数。 7

题型二:函数定义域 知识点:求函数定义域一般有三类问题: (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有 意义;
(3) 已知 f ( x) 的定义域求 f [ g ( x)] 的定义域或已知 f [ g ( x)] 的定义域求 f ( x) 的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ②若已知 f ( x) 的定义域 ? a, b? ,其复合函数 f ? g ( x)? 的定义域应由 a ? g ( x) ? b 解出。 例 1:求下述函数的定义域: (1) f ( x) ?

2x ? x 2 ? (3 ? 2 x) 0 ; lg(2 x ? 1)
2 2

(2) f ( x) ? lg( x ? ka) ? lg( x ? a ).

?2 x ? x 2 ? 0 ? 1 3 3 ?2 x ? 1 ? 0 解: (1)? ? ,解得函数定义域为 ( ,1) ? (1, ) ? ( ,2] . 2 2 2 ?2 x ? 1 ? 1 ? ?3 ? 2 x ? 0
(2)? ?

? x ? ka
2 2 ?x ? a

, (先对 a 进行分类讨论,然后对 k 进行分类讨论) ,

①当 a=0 (k ? R) 时,函数定义域为 (0,??) ; ②当 a ? 0 时,得 ?

? x ? ka , ? x ? ?a或x ? a

1)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka,??) , ?k ? 1

2)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 ( a,??) , ?? 1 ? k ? 1

3)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka,?a) ? (a,??) ; ?k ? ?1

③当 a ? 0 时,得 ?

? x ? ka , ? x ? a或x ? ?a

1)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka,??) , ?k ? ?1 ?a ? 0 时,函数定义域为 (?a,??) , ?? 1 ? k ? 1

2)当 ?

3)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka, a) ? (?a,??) 。 ?k ? 1

点评:在这里只需要根据解析式有意义,列出不等式,但第(2)小题的解析式中含有 参数,要对参数的取值进行讨论,考察学生分类讨论的能力。 例 2:若函数 f ( x ? 1) 的定义域是 [1, 2] ,则函数 f ( x ) 的定义域为_____________ 解析: [4,9] 变式:已知函数 f [lg( x ? 1)] 的定义域为 [0,9] ,则函数 f (2x ) 的定义域为____________ 解析: ( ??, 0] 例 3:已知函数 f ( x) ? 1 ? 2x ? a 4x 的定义域为 (??,1] ,求实数 a 的取值范围. 解析: a ? ?

3 4

变式:已知函数 f ( x) ? mx 2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R . (1)求实数 m 的取值范围; (2)当 m 变化时,若 f ( x ) 的最小值为 f ( m) ,求函数 f ( m) 的值域. 解析: (1) m ? [0,1] ; (2) [0, 2 2]

题型二 函数的解析式
知识点: 求函数解析式的方法 (1)换元法:由已知条件 f[g(x)]=F(x),可令 t=g(x); (2)待定系数法:若已知函数类型时可有此法; (3)函数方程法:将 f(x)作为一个求知数解出来; (4)赋值法:对于抽象函数常用。 例 1 (1).已知 f ( x ? ) ? x ?
3

1 x

1 ,求 f ( x ) ; x3

(2)已知 f( x +1)=x +2 x ,求 f(x) (3)设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 且 f ( x) =0 的两实根平方和为 10,图象过点 (0,3),求 f ( x) 的解析式. (4)f(x)满足 af(x)+f(

1 )=ax x

(a≠±1),求 f(x)

(5)f(x)为 R 上的函数且满足 f(0)=1,并且对任意实数 x,y 有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求 f(x)

例 2. 设 f ( x ) 与 g ( x) 的定义域是 {x | x ? R, 且x ? ?1} , f ( x ) 是偶函数,g ( x) 是奇函数, 且 f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x ) 与 g ( x) 的解析表达式 x ?1

变式: 设 f ( x ) 是 R 上的奇函数, 且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) , 则当 x ? (??, 0) 时 f ( x ) =____

题型二 函数的值域
知识点:求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不 等式法等 无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域 例 1:求下列函数的值域:
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(1) y ? 3x2 ? x ? 2 ; (2) y ? ? x2 ? 6x ? 5 ; (3) y ?

3x ? 1 ; x?2

(4) y ? x ? 4 1 ? x ; (5) y ? x ? 1 ? x2 ; (6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ; (7) y ?

1 ? sin x 2 x2 ? x ? 1 1 2 x2 ? x ? 2 y ? (x ? ) ; ; ( 8 ) (9) y ? 。 2 2 ? cos x 2x ?1 2 x ? x ?1

1 23 23 y ? 3x 2 ? x ? 2 ? 3( x ? ) 2 ? ? , 6 12 12 23 ∴ y ? 3x2 ? x ? 2 的值域为 [ , ?? ) 。 12
解: (1) (配方法) 改题:求函数 y ? 3x2 ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域。 解: (利用函数的单调性)函数 y ? 3x2 ? x ? 2 在 x ? [1,3] 上单调增, ∴当 x ? 1 时,原函数有最小值为 4 ;当 x ? 3 时,原函数有最大值为 26 。 ∴函数 y ? 3x2 ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域为 [4, 26] 。 (2)求复合函数的值域: 设 ? ? ? x2 ? 6 x ? 5 ( ? ? 0 ) ,则原函数可化为 y ? 又∵ ? ? ? x2 ? 6x ? 5 ? ?( x ? 3)2 ? 4 ? 4 , ∴ 0 ? ? ? 4 ,故

?。

? ?[0, 2],

∴ y ? ? x2 ? 6x ? 5 的值域为 [0, 2] 。 (3) (法一)反函数法:
y? 3x ? 1 2x ? 1 的反函数为 y ? ,其定义域为 {x ? R | x ? 3} , x?2 x ?3

∴原函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} 。 x?2
3x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 , ? ? 3? x?2 x?2 x?2

(法二)分离变量法: y ? ∵
7 7 ? 0 ,∴ 3 ? ? 3, x?2 x?2

∴函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} 。 x?2
2

(4)换元法(代数换元法) :设 t ? 1 ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? t ,

∴原函数可化为 y ? 1 ? t 2 ? 4t ? ?(t ? 2)2 ? 5(t ? 0) ,∴ y ? 5 , ∴原函数值域为 ( ??,5] 。 注:总结 y ? ax ? b ? cx ? d 型值域, 变形: y ? ax 2 ? b ? cx 2 ? d 或 y ? ax2 ? b ? cx ? d (5)三角换元法: ∵ 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,∴设 x ? cos ? , ? ?[0, ? ] ,
2

则 y ? cos ? ? sin ? ? ∵ ? ?[0, ? ] ,∴ ? ? ∴ 2 sin(? ?

2 sin(? ? ) 4

?

?

? 5? ? 2 ? [ , ] ,∴ sin(? ? ) ?[? ,1] , 4 4 4 4 2

?
4

) ? [?1, 2] ,

∴原函数的值域为 [?1, 2] 。
??2 x ? 3 ( x ? ?4) ? (?4 ? x ? 1) , (6)数形结合法: y ?| x ? 1| ? | x ? 4 |? ?5 ?2 x ? 3 ( x ? 1) ?

∴ y ? 5 ,∴函数值域为 [5, ??) 。 (7)判别式法:∵ x ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴函数的定义域为 R 。
2

2 x2 ? x ? 2 由y? 2 得: ( y ? 2) x2 ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 x ? x ?1



①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3 x ? 0 ? 0 ,∴ x ? 0 ? R
2 ②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵ x ? R 时方程 ( y ? 2) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实根,

∴△ ? ( y ? 1) ? 4 ? ( y ? 2) ? 0 ,
2 2

∴1 ? y ? 5 且 y ? 2 , ∴原函数的值域为 [1,5] 。
1 2 x 2 ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 (8) y ? ? ? x? ? x? ? 2 ? , 1 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x? 2 2

∵x?

1 1 ,∴ x ? ? 0 , 2 2
? 2,

1 1 1 1 ∴ x ? ? 2 ? 2 (x ? ) 2 2 x?1 2 (x ? 1) 2 2

1 1? 2 1 当且仅当 x ? ? 2 时,即 x ? 时等号成立。 2 x?1 2 2

∴y?

2?

1 , 2 1 , ??) 。 2

∴原函数的值域为 [ 2 ?

(9) (法一)方程法:原函数可化为: sin x ? y cos x ? 1 ? 2 y ,
2 ∴ 1 ? y sin( x ? ? ) ? 1 ? 2 y (其中 cos ? ?

1 1 ? y2

,sin ? ?

y 1 ? y2

) ,

∴ sin( x ? ? ) ?

1? 2 y 1? y2

?[?1,1] ,

2 ∴ |1 ? 2 y |? 1 ? y ,

∴ 3y ? 4 y ? 0 ,
2

∴0 ? y ?

4 , 3
4 3

∴原函数的值域为 [0, ] 。

变式 1:函数 f ( x) ? log 2

x ? log 2 (2 x) 的最小值为_________.

例 2:设函数 g ? x ? ? x2 ? 2 ? x ? R ? , f ? x ? ? ? ( ) .

? ? g ? x ? ? x ? 4, x ? g ? x ? , 则 f ? x ? 的值域是 ? ? g ? x ? ? x, x ? g ? x ? ,

A. ? ? , 0 ? U ?1, ?? ? 4

? 9 ?

? ?

B. ?0, ???
2

C. ? , ?? ?

?9 ?4

? ?

D. ? ? ,0? U ? 2, ?? ? 4

? 9 ?

? ?

2 2 解析: 解 x ? g ? x? ? x ? 2 得 x ? x ? 2 ? 0 , 则 x ? ?1 或 x ? 2 . 因此 x ? g ? x ? ? x ? 2 的

? x 2 ? x ? 2, x ? ?1或x ? 2, 解 为 : ?1 ? x ? 2 . 于 是 f ? x ? ? ? 2 当 x ? ?1 或 x ? 2 时 , ? x ? x ? 2, ? 1 ? x ? 2,

f ? x? ? 2 .
9 1? 9 ? 当 ?1 ? x ? 2 时, x ? x ? 2 ? ? x ? ? ? ,则 f ? x ? ? ? , 4 2? 4 ?
2
2 又当 x ? ?1 和 x ? 2 时, x ? x ? 2 ? 0 ,所以 ?

2

9 ? f ? x? ? 0 . 4

可得 f ? x ? ? 2 或 ?

9 ? 9 ? ? f ? x ? ? 0 ,因此 f ? x ? 的值域是 ?? ,0? U ? 2, ?? ? .故选D. 4 ? 4 ?

变式 2 :设 g ( x) 是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若函数 f ( x) ? x ? g ( x) 在区间 [0,1] 上 的值域为 [?2,5] ,则 f ( x ) 在区间 [0,3] 上的值域为 解析: [?2, 7]

【课后演练】

1 2 1.函数 y=( )x 的值域是( 3 A.(0,+∞) B.(0,1)

) C.(0,1] ) D.[1,+∞) D.[1,+∞)

2.函数 f(x)=log2(3x-1)的定义域为( A.(0,+∞) B.[0, +∞)

C.(1,+∞) )

1 3.函数 y= x?x-1?-lg 的定义域为( x A.{x|x>0} B.{x|x≥1}

C.{x|x≥1 或 x<0} ) C.y= 1 ? ?x-1 2

D.{x|0<x≤1}

4.下列函数中值域为正实数集的是( A.y=-5x


1 - B.y=( )1 x 3

D.y= 1-2x )

5.已知函数 f(x)=ax 1(a> 0,a≠1)的定义域和值域都是[1,2],则 a 的值为( A. 2 2 B.2 C. 2 1 D. 3

?x2, |x|≥1, ? 6.设 f(x)=? g(x)是二次函数,若 f(g(x))的值域是[0,+∞),则 g(x)的值 ? ?x, |x|<1,

域是(

) B.(-∞,-1]∪[0,+∞) D.[1,+∞)

A.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.[0,+∞) 二、填空题 7.函数 y=

1 的定义域是______ __. 6-x-x2

8.函数 f(x)= x+ x?x-2?的 定义域是________. 1 9.设函数 f(x)= (x+|x|),则函数 f[f(x)]的值域为________. 2 三、解答题 10.求下列函数的定义域: (1)y= 25-x2+lgcos x; (2)y=log2(-x2+2x).
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11.设 O 为坐标原点,给定一个定点 A(4,3), 而点 B(x,0)在 x 轴的正半轴上移动,l(x) x 表示 AB 的长,求函数 y= 的值域. l?x? 12.已知函数 f(x)=x 2+4ax+2a+6. (1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数 f(x)的函数值均为非负数,求 g(a)=2-a|a+3|的值域.

详解答案
一、选择题 1 2 1.解析:∵x2≥0,∴( )x ≤1,即值域是(0,1]. 3 答案:C 2.解析:由 3x-1>0,得 3x>1,即 3x>30,∴x>0. 答案:A x?x-1?≥0 ? ? 3.解析:由?1 得 x≥1. >0 ? ?x 答案:B 1 4.解析:∵1-x∈R,y=( )x 的值域是正实数集, 3 1 - ∴y=( )1 x 的值域是正实数 集. 3 答案:B
?a0=2 ?a0=1 ? ? 5.解析:当 0<a<1 时,有? ,不成立;当 a>1 时,有? ,综上可知 a=2. ? ? ?a=1 ?a=2

答案:B 6.解析:由 f(x)≥0,可得 x≥0 或 x≤-1,且 x ≤-1 时,f(x)≥1;x≥0 时,f(x)≥0. 又 g(x)为二次函数,其值域为(-∞,a]或[b,+∞)型,而 f(g(x))的值域为[0,+∞), 可知 g(x)≥0. 答案:C 二、填空题 7.解析:由函数解析式可知 6-x-x2>0,即 x2+x-6<0,故-3<x<2. 答案:(-3,2 )
?x≥0, ? 8.解析:要使函数有意义,则? ? ?x?x-2?≥0,

解之得 x ≥2 或 x=0 ∴函数的定义域为[2,+∞)∪{0}. 答案:[2,+∞)∪{0}

9.解析:先去绝对值,当 x≥0 时,f(x)=x,故 f[f(x)]=f(x)=x,当 x<0 时,f(x)=0, 故 f[f(x)]=f(0)=0, 即 f[f(x)]=?
?x?x≥0? ? ?0?x<0? ?

,易知其值域为[0,+∞).

答案:[ 0,+∞) 三、解答题
?25-x2≥0, ? 10.解:(1)由? ? ?cos x>0,

-5≤x≤5, ? ? 得? π π ? ?2kπ-2<x<2kπ+2?k∈Z?, 借助于数轴,解这个不等式组,得函数的定义域为 3π π π 3π [-5,- )∪(- , )∪( ,5]. 2 2 2 2 (2)-x2+2x>0,即 x2-2x<0,∴0<x<2. ∴函数的定义域 为(0,2). 11.解:依题意有 x>0, l(x)= ?x-4?2+32= x2-8x+25, x x 所以 y= = 2 = l?x? x -8x+25 1 . 8 25 1- + 2 x x
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8 25 1 4 9 由于 1- + 2 =25( - )2+ , x x x 25 25 所以 8 25 3 5 1- + 2 ≥ ,故 0<y≤ . x x 5 3

x 5 即函数 y= 的值域是(0, ] . 3 l?x? 12.解:(1)∵函数的值域为[0,+∞), ∴Δ=16a2-4(2a+6)=0 3 ?2a2-a-3=0?a=-1 或 a= . 2 (2)∵对一切 x∈R 函数值均为非负, 3 ∴Δ=8(2a2-a-3)≤0?-1≤a≤ , 2 ∴a+3>0. ∴g(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2 3?2 17? ? 3?? =-? ?a+2? + 4 ?a∈?-1,2??.
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3? ∵二次函数 g(a)在? ?-1,2?上单调递减, 3? 19 ∴g? ?2?≤g(a)≤g(-1),即- 4 ≤g(a)≤4. 19 ? ∴g(a)的值域为? ?- 4 ,4?.


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