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高一下学期期中考试数学试题 (必修五)


第二学期期中教学质量检测

高一数学试卷
满分:150 分 时间:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.在△ABC 中, a ? 2, b ? 3, C ? 60 ,则 S?ABC A. 2 3 B.
3 2
?

?(

). D. )

C . 3

3 2

2.已知 x ? 1 ,则函数 f ( x) ? x ? A.1 B.2

1 的最小值为( x ?1
C.3 D.4

3.若集合 M ? x | x 2 ? 4 , N ? ? x | A. {x x ? ?2} C. {x x ? ?2或x ? 3} 4.在△ABC 中,若 A.等腰三角形 C.直角三角形 5.若

?

?

? ?

3? x ? ? 0? ,则 M ? N = ( x ?1 ?



B. {x 2 ? x ? 3} D. {x x ? 3} ).

cos A b ? ,则△ABC 是( cos B a
B.等边三角形

D.等腰三角形或直角三角形

1 1 ? ? 0 ,则下列不等式中,正确的不等式有 ( ) a b b a ① a ? b ? ab ②a ?b ③a ? b ④ ? ?2 a b
A.1 个 B.2 个 ) C. ( ) ? 1 ? 0
x

C.3 个

D.4 个

6.下列不等式的解集是 R 的为( A. x ? 2 x ? 1 ? 0
2

B. x 2 ? 0

1 2

D.

1 1 1 ? ? x 3 x


7. 已知 ?an ? 是等差数列,a1 ? a2 ? 4, a7 ? a8 ? 28 , 则该数列的前 10 项和 S10 等于 ( A.64 B.100 C.110 D. 120

8.△ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 A. 60
?

B. 120

?

a 2 ? (b ? c) 2 ? 1,则 A=( bc ? ? C. 30 D. 150

)

第 1 页 共 7 页

9. 已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, s n 是 ?an ? 的前 n 项和,且 9S3 ? S6 ,则数列 ? 的前 5 项和为( A. ) B.

?1? ? ? an ?

15 或5 8

31 或5 16

C.

31 16

D.

15 8

10.已知等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 An和Bn ,且 整数的正整数 n 的个数是( A.2 B.3 ) C.4 D.5

An 7n ?41 a ,则使得 n 为 ? bn Bn n?3

二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.若实数 a,b 满足 a+b=2,则 3 ? 3 的最小值是
a b

.

12.等差数列 ?an ? 中 a1 ? a9 ? a2 ? a8 ? 20 ,则 a3 ? a7 ? 13.不等式 ax2 ? bx ? 2>0 的解集是 ( ?

.

1 1 , ) ,则 a ? b 的值是 2 3

.

14.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? 2an?1 ?1 ,则通项 an ? 15.给出下列四个命题: ①函数 f ( x) ? x ? ②不等式

.

9 的最小值为 6; x

2x ? 1 的解集是 {x ? 1 ? x ? 1} ; x ?1 a b ? ③若 a ? b ? ?1, 则 ; 1? a 1? b
④若 a ? 2, b ? 1,则 a ? b ? 1 .

所有正确命题的序号是 三、解答题(共 75 分) 16. (本小题 12 分)已知函数 f ( x ) ?

4 ? 9x , x

(1)若 x ? 0 ,求 f ( x ) 的最小值及此时的 x 值。 (2)若 x ? (0, ] ,求 f ( x ) 的最小值及此时的 x 值。

2 5

第 2 页 共 7 页

17. (文 12 分)在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 ,B=45? ,求 A、C 及 c. (理 12 分)已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2, cosB= (I)若 b=4,求 sinA 的值; (II)若△ABC 的面积 S△ABC =4,求 b,c 的值.

3 . 5

18. (12 分)设等差数列 ?an ? 满足 a3 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式;

? 5 , a10 ? ?9 .

(Ⅱ)求 ?an ? 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值.

19. (本小题 12 分)△ABC 中 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 求: (1)角 B 的大小; (2)若 b ? 13, a ? c ? 4 ,求△ABC 的面积.

cos B b ?? cos C 2a ? c

20. (13 分)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的 碳水化合物,6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化
第 3 页 共 7 页

合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?

21. (14 分)设数列 ?an ? 满足 a1 ? a, an?1 ? can ? 1 ? c, n ? N * , 其中 a , c 为实数,且 c ? 0 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 (Ⅱ)设 a ?

1 1 , c ? , bn ? n(1 ? an ), n ? N * ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ; 2 2
*

(Ⅲ)若 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 成立,求实数 c 的范围。 (理科做,文科不做)

高一数学参考答案
选择:DCBDB 填空:11. 6 CBACB 12. 10 13. -14 14. 15. ②③

16. (本小题 6 分) (1)

2 f ( x) min ? f ( ) ? 12 3

(2)

2 68 f ( x) min ? f ( ) ? 5 5
a sin B 3 sin 45? 3 ? ? . b 2 2

17 文科解:根据正弦定理, sin A ?

∵B=45?<90?,且 b<a,∴A=60?或 120?. 当 A=60?时,C=75?, c ?
?

……(4 分)

b sin C 2 sin 75 6? 2 ? ? ; sin B sin 45? 2 b sin C 2 sin15? 6? 2 ? ? 当 A=120?时,C=15?, c ? . ? sin B sin 45 2

17. 理科解(1) ∵cosB=

3 >0,且 0<B<π, 5

2 ∴sinB= 1 ? cos B ?

4 . 5

由正弦定理得

a b ? , sinA sinB

4 asinB 5 ?2. sinA ? ? b 4 5 2?

第 4 页 共 7 页

(2) ∵S△ABC=

1 acsinB=4 2



1 4 ? 2 ? c ? ? 4 , ∴c=5. 2 5

由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB, ∴ b ? a + c ? 2accosB ? 2 + 5 ? 2 ? 2 ? 5 ?
2 2 2 2

3 ? 17 5

18 解: (1)由 an = a1 +(n-1)d 及 a3=5,a10= -9 得

{

a1 ? 2 d ?5

a1 ?9 d ??9 解得

{d ??2
……..6 分 ……12 分

a1 ?9

数列{an}的通项公式为 an=11-2n (2)由(1) 知 Sn=na1+

n(n ? 1) d=10n-n2。 2

因为 Sm= - (n - 5)2+25. 所以 n=5 时,Sn 取得最大值.

19.(1)由余弦定理得:a2+c2-b2=-ac,得 B=1200
2 2 ? 1 3 3 ?a ? c ? 2ac ? 16 (2)由 ? 2 得 ac=3,∴SΔ = ac sin B ? 2 2 4 ? ?a ? c ? ac ? 13

20.解:设该儿童分别预订 x , y 个单位的午餐和晚餐,共花费 z 元,则 z ? 2.5x ? 4 y 。 可行域为 12 x+8 y ≥64 6 x+6 y ≥42 6 x+10 y ≥54 x≥0, x∈N y≥0, y∈N 即 3 x+2 y ≥16 x+ y ≥7 3 x+5 y ≥27 x≥0, x∈N y≥0, y∈N 作出可行域如图所示: 经试验发现,当 x=4,y=3 时, 花费最少,为 z ? 2.5x ? 4 y =2.5×4+4×3=22 元. 21. 21.解 (1) 方法一:

∵an?1 ?1 ? c(an ?1)
∴ 当 a ? 1 时, ?an ?1? 是首项为 a ? 1 ,公比为 c 的等比数列。

∴an ?1 ? (a ?1)cn?1 ,即 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 。当 a ? 1 时, an ? 1 仍满足上式。
第 5 页 共 7 页

∴ 数列 an ? 的通项公式为 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 (n ? N * ) 。
方法二 由题设得: 当 n ? 2 时, an ?1 ? c(an?1 ?1) ? c2 (an?2 ?1) ? ? ? cn?1 (a1 ?1) ? (a ?1)cn?1

?

∴an ? (a ?1)cn?1 ?1
n ? 1 时, a1 ? a 也满足上式。
∴ 数列 an ? 的通项公式为 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 (n ? N * ) 。

?

(2)

n ?1 n 由(1)得 bn ? n(1 ? a)c ? n( )

1 2

1 1 1 ? 2( ) 2 ? ? ? n( ) n 2 2 2 1 1 1 1 Sn ? ( ) 2 ? 2( )3 ? ? ? n( ) n ?1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ∴ Sn ? ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ? n( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 n ?1 1 1 1 ∴ Sn ? 1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? n( ) n ? 2[1 ? ( ) n ] ? n( ) n 2 2 2 2 2 2 1 n ∴ Sn ? 2 ? (2 ? n)( ) 2 (3) 0 ? c ? 1 S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
由(1)知 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 若 0 ? (a ?1)cn?1 ? 1 ? 1 ,则 0 ? (1 ? a)cn?1 ? 1

∵0 ? a1 ? a ? 1,

∴ 0 ? c n ?1 ?

1 (n ? N * ) 1? a

* 由 c n?1 ? 0 对任意 n ? N 成立,知 c ? 0 。下面证 c ? 1 ,用反证法

方法一:假设 c ? 1 ,由函数 f ( x) ? c x 的函数图象知,当 n 趋于无穷大时, c

n ?1

趋于无穷大

1 * 不能对 n ? N 恒成立,导致矛盾。∴ c ? 1 。 1? a ∴0 ? c ? 1 1 1 n ?1 n ?1 方法二:假设 c ? 1 ,∵ c ? ,∴ log c c ? log c 1? a 1? a 1 (n ? N * ) 恒成立 即 n ? 1 ? log c (*) 1? a ∴cn ?1 ?
∵ a, c 为常数,∴ (*)式对 n ? N * 不能恒成立,导致矛盾,∴ c ? 1

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∴0 ? c ? 1

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