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复变函数试题库


复变函数
一、选择题
1. 设函数 f ( z ) = u( x, y) + iv( x, y) 且 u( x, y) 是区域 D 内的调和函数,则当 v( x, y) 在 D 内是( C )时, f (z ) 在 D 内解析. B.调和函数 C.共轭调和函数

A. 可导函数 2、复积分 ?
(A) 0

dz 的值为( B ) ( z ? a)n C

(B) 0;2? i

(C) 不存在

(D) 2? i

3、 z ? 0 是 f ( z ) ?
(A) 一阶极点
1

sin z 的奇点类型是( D ) z
(B) 本性奇点 (C) 不是奇点 (D) 可去奇点

4、计算 (e?? i ) 2 的结果是( B )
(A) i (B) ? i (C) 0 (D) ? i

5、下列函数在 S z 处处解析的是(
(A) f(z )=e z

C


(D) f(z )=zRe z

(B) f(z )= z (C) f(z )=e z

6.当 x〈0,

y ? 0 时,argz=(

C

).

y A. arctan ? ? ; x y C arctan ? ? ; x

y B. arctan ; x y D. arctan ? 2? x

.

7.argz1z2=( A.argz1+argz2;

A

).. B. argz1+argz2+2k ? (k 是整数); D.argz1+argz2+ ? . ) B Rez<2; D. z ? 1 且 Rez>0 .

C.argz1+argz2+2k1 ? (k1 是某个整数); 8.下列集合是有界闭区域的是( A 0< z ? R ; C

C. z ? 1 且 Imz ? 0 ;

1

i 9.方程 z=t+ (t ? R) 在平面上表示的是( t

B

).
1 ; x

A.直线 y=x; C 椭圆周; 10.函数 f (z ) = z 在 z = 0 处( A. 11. 连续
3?i =( 2?i

B. 双曲线 y= D 圆周 A ).

B. 可导 A
B.2 ? i

C. 解析

).
C.2 ? 3i D.1 ? i

A. 1 ? i

12.函数 w=f(z)仅在点 z0 可微,则 w=f(z)在点 z0( A 解析; 13.shz 是 ( D B 某邻域内处处解析; )函数 B 以 2?i 为周期的; D 非周期。 B ).

D



C.不解析。

A 以 2? .为周期的; C 以 ?i 为周期的; 14.设 z = 1+ i ,则 Im(sin z ) = ( A. sin1ch1 15.若 f(z)在 D 内解析,且 A.f(z)在 D 内为一常数;

B. cos1sh1
______

C. cos1ch1 A ) 。

f ( z) 在 D 内解析,则(
D.以上都不对. ).

B. f ( z ) ? 0, ?z ? D ;

C.f(z)在 D 内不是一个常量函数。 16.积分 A.

z=2

ò (1?

sin z dz =( z )2

B

cos1

B. 2?i cos1 D

C. 2?i sin1 )的共轭调和函数。 D.-v 是 u.

17.若 v 是 u 的共轭调和函数,则( A.u 是 v; 18.
dz ( cos z z ?1

B.-u 是 v; B ).

C.u 是-v ;

?

A.–1;

B. 0;

C. 1;

D .i .

2

19. 设 un=an++bni, 若 lim A.得出 ? un 收敛;

n ??

u n =0,由此(

C



B. 得出 ? un 发散;

C. 不能判断 ? un 的敛散性。
n! z n 20. ? 的收敛半径为( n ?1 n
?

A



A

0;

B

1 ; C. e; D. ? ? e

21.设复数 z = ( 2 - i 2)3 ,则 z 的模和幅角的主值分别为( A. 8,
5? 4

A
7? 4

).

B. 4 2 , D ).

?
4

C. 2 2 ,

22. sin2z+cos2z=1 ( A.仅在实轴上成立;

B. 在第一象限成立; D 在复平面上成立。 C ) B z ? k? , k ? Z , 二级; D z ? 2k? , k ? Z , 一级。 C ).
1 =- z z

C. 在上半复平面成立; 23.Cotz 的零点和级( A z ? k? , k ? Z , 一级;
1? ? C z ? ? k ? ?? , 一级; 2? ?

24.下列命题中, 正确的是( A.零的幅角为零 25、 z < 1- Re( z ) 是( A. 有界区域

B.仅存在一个 z 使 B )区域.

C.

1 z = iz i

B. 单连通区域

C. 多连通区域 A ). C. 3 - 8 A ). C. 4u < 1- v 2 B ).

26、在复数域内,下列数中为实数的是( A. cos i B. (1- i)2

27、函数 f (z ) = z 2 将区域 Re(z)<1 映射成( A. u < 1v2 4

B. u ? 1

v2 4

28、下列函数中为解析函数的是(

3

A. f (z ) = x 2 - iy C. f (z ) = 2 x3 - i3 y 3

B. f (z ) = sin xchy + i cos xshy

29、设 z 0 是闭曲线 c 内一点, n 为自然数,则 ò ?
c

dz =( ( z - z0 ) n

C C.

). 0 或 2?i

A.

0

B. 2?i C ). C.

30、下列积分中,其积分值不为零的是( A.
z ò z - 3 dz ? z=2

B.

sin z ò z dz ? z =1

ez ò z 5 dz ? z =1

二、填空题
31、复数方程 e z = 1- i 3 的解为 ln 2 + i(
5p + 2k p )(k = 0, 1, 2,? . 北 3
x2 y2 ? ? 1。 52 32

32、 z ? 5cos t ? 3i sin t (0 ? t ? 2? ) 表示的曲线是

1 ? i 2n 33、 ( ) ? ?1或1 。 1? i 1 1 2 1 34、将函数 w ? 由 S z 中的 x ? 1 映射 S w 中的图形方程表示为 u - )? v 2 ? 。 ( z 2 4

35、 Arc sin 2 ?

?

2

? 2k? ? i ln(2 ? 3) 。

36、函数 f ( z ) ? ln( z ? 1) 的支点是 ?1, ? 。
x2 y 2 <1 37、 z - 1 + z + 1 < 4 表示的区域是 + 4 3

38、复数 4+3i 的实部是 4 ,虚部是 3 。 39、由棣莫弗公式,(cos ? +isin ? ) n = cosn ? +isinn ? . 40、设复变函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则在直角坐标系中,函数的 C-R 条件可

?u ?u ? , 表示为: ?x ?y

?u ?v ?? ?y ?x 。

?u ? u 、 , 41、函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y),在区域 D 内解析的充分必要条件为: ?x ?y

4

?u ?v 、 ?y ?x 在 D 内连续。
42、若函数 f(z)在 S z 平面上解析且有界,则 f(z)必为常数。 43、函数 e z 的周期为 2? i . 44、幂级数 ? nz n 的和函数为
n ?0 ??

z . (1 ? z ) 2

45、设 f ( z ) ?

1 ,则 f ( z ) 的定义域为 z ? ?i . z ?1
2

46、设函数 f (z ) 在单连域 D 内解析,G(z)是它的一个原函数,且 z 0 , z1 ? D ,则
z1

ò f ( z )dz = G( z ) 1
z0

G ( z0 ) .

47、 ? nz n 的收敛半径为 1 .
n ?0

??

48、 Re s (

1 ez . , 0) = n ( n ? 1)! z

49. 设 z ? ?i ,则 | z |? 1, arg z ?

?
2

,z ?i ,
z ?1? i

50.设 f ( z ) ? ( x 2 ? 2 xy) ? i(1 ? sin(x 2 ? y 2 ), ?z ? x ? iy ? C ,则 lim f ( z ) ? 3 ? (1 ? sin 2)i . 51.

dz ?2? i n ? 1 ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 ) n ? ? 0 n ? 1 .( n 为自然数) ?
幂级数 ? nz n 的收敛半径为 1
n ?0 ?

52. 53. 54.

.

若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m>0,则 z0 是 f ' ( z ) 的 m ? 1 . 零点. 函数 ez 的周期为 2k? i , (k ? z) .

55. 方程 2 z 5 ? z 3 ? 3z ? 8 ? 0 在单位圆内的零点个数为 0 . 56. 57. 设 f ( z) ?
1 ,则 f (z ) 的孤立奇点有 ?i . 1 ? z2

函数 f ( z) ?| z | 的不解析点之集为 R .
5

58.

Res (

z ?1 ,1) ? 0 z4

ì sin z - e z + A, z ? 59、设函数 f (z ) = ? í ? 0, z = 0 ? ?

0

在 z = 0 处连续,则常数 A=____________.

答案:1 60、若 z=a 为 f(z)的 m 阶极点,为 g(z)的 n 阶极点(m>n),则 z=a 为 f(z)g(z)的

m + n 阶极点,为

f ( z) 的 m- n 阶极点. g ( z)

61、设 z = 2 - 2i ,则 arg z =

7? 3 7p , ln z = ln 2 + i. 4 2 4

62、设 f ( z ) = z sin z, 则由 f (z ) 所确定的 u( x, y) = x sin xchy - y cos xshy ,
v( x, y) = x cos xchy + y sin xchy .

63、函数 f (z ) =

z 在 z=0 处的罗朗展开式的最小成立范围为 0 < z < p . sin z
3z 2 + 7z + 1 ò z - z d z , 则 f ?(i + 1) = - 12p + 26pi . 若 ? z=2

64 、 设 函 数 f (z ) =

f (z ) =

3z 3 + 5z ( ò z - z d z ,则 f ⅱi) = - 36p ? z=2

65、当 a=

1 y 时, f ( z ) = a ln( x 2 + y 2 ) + iarctg 在区域 x>0 内解析 2 x

66、函数 f (z ) =tgz 在 z=0 处的泰勒展开式的收敛半经为
sin z = z3
+

? 2

67、设

?
n= -

cn z n ,则 c- 2 = ________, c0 = ______________

答案: 1 三、解答题

,-

1 6

68、计算积分 ? ( x ? y ? ix 2 )dz, 其中 C 原点到点 1+i 的直线段。
c

解:1+i 的参数方程为 x=t,y=t,0<t<1.

6

2 ? ( x ? y ? ix )dz =i c

?t
0

1

2

(1 ? i ) dt =1/3(-1+i)

69、利用泰勒定理,将函数 f(z)=e z 在点 z=0 展开成幂级数。 解:因为:f (n ) =e z ,所以 f ' (0)=1,f '' (0) =1,………f (n ) (0)=1 且 f(0)=1,于是 ez=?
n ?0 ?

zn n!

70、将函数 f(z)=

sin z z

在 0< z <+ ? 上展开成洛朗级数。

解:f(z)=(1/z)sinz =1/z ?
? z 2 n ?1 z 2n (?1) n = ? (?1) n (0<|z|< ? ? ) (2n ? 1)! (2n ? 1)! n ?0 n ?0 ?

易证:上级数收敛。

71、求函数 f(z)=

1 ? e2z z6

在指定点 z=0 的留数。

1 ? e2z 设 f(z)= ,z=0 是 f(z)的孤立奇点。 z6 1 22 2 23 3 z ........ ), (0<|z|< ? ? ) f(z)= (-2z- z z6 2! 3!
所以,a ?1 =-4/15 即:f(z)在指定点的留数为—4/15

72、设函数 f (z ) = my 3 + nx 2 y + i( x3 + lxy 2 ) 在复平面可导,试确定常数 m, n, l 并求
7

f ? z) . (
ì u ( x, y ) = my 3 + nx 2 y ? 答案:由题意得 ? í ? v( x, y ) = x 3 + lxy 2 ? ?

利用

抖 u = 2nxy = 抖 x

v ,得 n = l y v = - 3x 2 - ly 2 ,得 n = - 3 , l = - 3 , m = 1 x

抖 u = 3my 2 + nx 2 = 抖 y

则 f ? z) = (

抖 u v +i = - 6 xy + i(3x 2 - 3 y 2 ) 抖 x x

= 3iz 2

73、试讨论定义于复平面内的函数 f ( z ) = z 的可导性.
ì u ( x, y ) = x 2 + y 2 ? 答案:由题意知 ? ,由于 í ? v ( x, y ) = 0 ? ?

2

抖 u = 2x = 抖 x

v 抖 u = 2y = = 0, 抖 y y
2

ì x= 0 ? v = 0 可得 ? í ? y= 0 x ? ?

由函数可导条件知, f ( z ) = z 仅在 z = 0 处可导。

74、计算 ò sin zdz ,其中 c 是从原点沿 x 轴至 z 0 (1,0) ,然后由 z 0 沿直线 x=1 至 ?
c

z1 (1,1) 的折线段.

答案: I =

蝌 sin zdz =
OZ1

sin zdz +
OZ0 Z0 Z1

sin zdz

= I1 + I 2
OZ 0 : z = t Z 0 Z 1 : z = 1+ it

其中
1) 1)
1

(0 #t

I1 =

ò sin tdt = 0

1

cos t |1 = 1- cos1 0

(0 #t

I2 =

sin(1 蝌 0

1

it )d (1+ it ) = 0

sin(1- it )d (1- it ) = cos(1- it ) |1 = cos(1- i) - cos1 0

= cos1ch1- cos1- i sin1sh1

8

所以

I = 1+ cos1(ch1- 2) - i sin1sh1

75.求下列函数在奇点处的留数
f ( z) = 1- e 2 z . z4

1- e 2 z 答案: f ( z ) = 的奇点为 0 ,且 z = 0 为其三阶极点. z4 1- e 2 z 1 1- e 2 z 4 Re s( 4 , 0) = lim( )ⅱ = z 2! z? 0 z 3



f ( z) =

1 (2 z ) 2 (2 z )3 [1- (1 + 2 z + + + ?] z4 2! 3!

=-

2 2 4 - 2- ? 3 z z 3z

1- e 2 z 4 有 Re s( 4 , 0) = c- 1 = z 3

76.将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数
f ( z) = 1 ( z - 1) (2 z - z 2 )
2

0< z- 1 < 1

答案: f ( z ) =

1 1 2 ( z - 1) 1- ( z - 1) 2
1 ( z - 1) 2

=

?
n= 0

+

( z - 1) 2 n

0< z- 1 < 1

= ? ( z - 1) 2 n- 2
n= 0

+

0< z- 1 < 1

77、 已知 u ( x, y ) = 3x 2 - 3 y 2 , 试求 v( x, y) 使 f ( z ) = u( x, y) + iv( x, y) 为解析函数且满
9

足 f (0) = i 答案:由于
抖 v = 抖 y u = 6 x 所以 x

v ( x, y ) =

ò 6 xdy = 6 xy + j ( x) , ? x = 6 y + j ?( x)
u ,即 6 y + j ? x) = 6 y ( y

?v

又由

抖 v =抖 x

所以 j ? x) = 0 , j ( x) = C ( C 为常数) ( 故 v( x, y) = 6 xy + c , f ( z ) = 3x 2 - 3 y 2 + (6 xy + c)i = 3z 2 + ci 将 条 件 f ( 0 )= i 代 入 可 得 C = 1 , 因 此 , 满 足 条 件 f (0) = i 的 函 数
2 f ( z )= 3 z + i

78、 试证 u ( x, y ) =

y 是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求 v( x, y) 使 x + y2
2

f ( z ) = u( x, y) + iv( x, y) 为解析函数且满足 f (i) = 1 .
? 2u 6 x 2 y 2 y 3 ?u 2 xy = 答案:由于 , 2= ?x ( x 2 y 2 )3 ? x ( x 2 y 2 )2 ?v x2 = 2 ? y (x y2 ? 2v , 2= y 2 )2 ?y v = 0 y2
2

( x2 + y 2

0)

6 x2 y + 2 y3 ( x 2 y 2 )3



2 抖u + 抖2 x

所 以

u ( x, y ) =

y x + y2
2

是 调 和 函 数

( x2 + y 2

0)

v( x, y ) =

蝌 y dy = ?

?v

2 xy x dy = 2 + g ( x) , 2 2 (x y ) (x + y2 )
2

?v y 2 x2 ?u y 2 x2 = 2 + g ? x) = ( = 2 ? x (x y 2 )2 ? y (x y 2 )2

故有

g ? x ) = 0 , g ( x) = C (
10

( C 为常数)

所以

v ( x, y ) =

x +C (x + y2 )
2

f ( z) =

y x i + i( 2 + c) = + ci 2 2 (x + y ) (x + y ) z
2

由于
f ( z) = i z

f (i) = 1 代 入 上 式 可 求 得 C = 0 , 故满 足 条 件 f (i) = 1 的 函 数

79.求积分

ò [2z + Re( z)]dz ,其中 c 是从点 A(1,0)到点 B(-1,0)的上半个圆周.
c

答案: ò [2 z + Re( z)]dz
C

(令 z = cos t + i sin t,#t 0

p)

= =
=

ò

p

(3cos t + 2sin ti)(- sin t + cos ti)dt
p p 0

0

蝌(- 5sin t cos t )dt + i
0

(3cos 2 t - 2sin 2 t )dt

5 t 5 p cos 2t |p + i[ + sin 2t ]p = i 0 0 4 2 4 2

80.求下列函数在奇点处的留数(10’)
f ( z ) = sin z z- 1 z 的奇点为 z = 1,且 z- 1 z 1 1 sin = s i n (1 + = ) s i n 1 c o+s z- 1 z- 1 z- 1

答案: f ( z ) = sin

1 cos1sin z- 1

= sin1[1-

1 1 1 1 + - ?] + cos1[ + ?] 2 4 2!( z - 1) 4!( z - 1) z - 1 3!( z - 1)3

= sin1 + 所以 Re s(sin

cos1 sin1 +? z - 1 2!( z - 1) 2

z ,1) = cos1 z- 1

11

81.将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数(10’)
f ( z) = 2 - 3z 2 z - 3z + 1
2

z+ 1 <

3 2

答案: f ( z ) =

1 1 + 1- z 1 - 2 z 1 1 1 1 = + z+ 1 3 2 2 11- ( z + 1) 2 3

=

1 + z+ 1 n 1 邋( ) + 3 2 n= 0 2 1

2n ( z + 1) n 3n

z+ 1 <

3 2 3 2

=?

2n ( n+ 1 + n+ 1 )( z + 1) n 2 3

z+ 1 <

83.

3 求函数 sin(2 z ) 的幂级数展开式.
?

(?1) n (2 z 3 ) 2 n ?1 ? (?1) n 22 n ?1 z 6 n ?3 ?? 解 sin(2 z ) ? ? . (2n ? 1)! (2n ? 1)! n ?0 n ?0
3

84.

在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z 在正实轴

取正实值的一个解析分支, 并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z 解 令 z ? rei? . 则 f ( z) ? z ? re
i

? i 处的值.

? ? 2 k?
2

,

(k ? 0,1) .

又因为在正实轴去正实值,所以 k ? 0 .

12

所以 f (i) ? e 4 . 85.计算积分: I

i

?

? ? | z | dz ,积分路径为(1)单位圆( | z |? 1)的右半圆.
?i

i

单位圆的右半圆周为 z ? ei? , ? 所以 ?
i

?

2

?? ?

?

2

.

?i

z dz ? ? 2? dei? ? ei?
? 2

?

?
2 ?

?
2

? 2i .

86. 求 ? ? 解

sin z (z ? ) 2

z ?2

?

dz .
2

?

sin z
z ?2

(z ? ) 2

?

2

dz ? 2?i (sin z )?

z?

? ? 2?i cos z
2

z?

?
2 =0.

87.

证明设函数 f(z)在区域 D 内解析, 试证: f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z )

在 D 内解析. 证明 (必要性) 令 f ( z ) ? c1 ? ic2 ,则 f ( z ) ? c1 ? ic2 . ( c1 , c2 为实常数). 令 u ( x, y) ? c1 , v( x, y) ? ?c2 . 则 ux ? v y ? u y ? vx ? 0 . 即 u, v 满足 C. ? R. , 且 u x , v y , u y , vx 连续, 故 f ( z ) 在 D 内解析. (充分性) 令 f ( z) ? u ? iv , 则 f ( z ) ? u ? iv , 因为 f ( z ) 与 f ( z ) 在 D 内解析, 所以
u x ? v y , u y ? ?v x ,

且 u x ? ( ?v ) y ? ? v y , u y ? ?( ?v x ) ? ? v x .

比较等式两边得 ux ? v y ? u y ? vx ? 0 . 从而在 D 内 u, v 均为常数,故 f ( z ) 在 D 内 为常数.

13

88.

证明试用儒歇定理证明代数基本定理. 即要证“任一 n 次方程 a0 z n ? a1 z n ?1 ? ??? ? an?1 z ? an ? 0
(a0 ? 0) 有且只有

n 个根”.
? a ? ??? ? an ? ? ? ,1? , 证明: 令 f ( z ) ? a0 z n ? a1 z n?1 ? ??? ? an ?1 z ? an ? 0 , 取 R ? max ? 1 a0 ? ? ? ?

当 z 在 C : z ? R 上时, 有

? ( z ) ? a1 R n?1 ? ??? ? an?1 R ? an ? ( a1 ? ??? ? an ) R n?1 ? a0 R n .
? f ( z) .

由儒歇定理知在圆 z ? R 内, 方程 a0 z n ? a1z n?1 ? ??? ? an?1z ? an ? 0 与 a0 z n ? 0 有相 同个数的根. 而 a0 z n ? 0 在 z ? R 内有一个 n 重根 z ? 0 . 因此 n 次方程在
z ? R 内有 n 个根.

89、 ?

z

z dz. (9 ? z )( z ? i)
2

解: f ( z ) ?

z 在 z ? 2 上解析,由 cauchy 积分公式,有 9 ? z2
?
z ?? i

z 2 z 2 dz ? ? 9 ? z dz ? 2? i ? ? z ?2 (9 ? z 2 )( z ? i) z ?2 z ? i 9 ? z2

?
5

eiz , ?i). 90、求 Re s( 1? z2 eiz e?i i ? e 解:设 f ( z ) ? ,有 Re s ( f , ?i ) ? 2 ?2i 2 1? z
2

14

? 1? i ? ? 1? i ? 91、 ? ? ?? ? . ? 2? ? 2?

n

n

? ? n ? ? n ? 1? i ? ? 1? i ? 解: ? ? ?? ? ? (cos 4 ? i sin 4 ) ? (cos 4 ? i sin 4 ) ? 2? ? 2?
n n

n? n ? ? c o s ?i s i n ? 4 4

? n c o ?i s 4

? n

s ?n i 4

?n

2 cos 4

92、设 u ( x, y ) ? ln( x 2 ? y 2 ). 求 v( x, y) ,使得 f ( z) ? u( x, y) ? iv( x, y) 为解析函数, 且满足 f (1 ? i) ? ln 2 。其中 z ? D ( D 为复平面内的区域).
?u 2x ?u 2y , ? 2 ? 2 2 ?x x ? y ?y x ? y 2

93、求 z 4 ? 5 z ? 1 ? 0 ,在 z ? 1 内根的个数 . 解:

v( x, y) ? ?

( x, y )

(0,0)

?u y dx ? ux dy ? c ? ?

( x, y )

(0,0)

?2 y 2x dx ? 2 dy ? c 2 x ?y x ? y2
2

??

y

0

2x y dy ? c ? 2 a r c t a n c ? 2 x ?y x
2

f (1 ? i) ? u(1,1) ? iv(1,1) ? ln 2 ? i(2arctan1 ? c) ? ln 2

故c ? ?

?
2

, v( x, y ) ? 2 arctan

y ? ? x 2

15

94. 解: f ( x) ? ?5 z ,g ( z ) ? z 4 ? 1 则 f ( x) ,g ( z ) 在 z ? 1 内均解析,且当 z ? 1 令 时
f ( z) ? 5 ? z 4 ? 1 ? z 4 ? 1 ? g ( z)

由 Rouche 定理知 z 4 ? 5 z ? 1 ? 0 根的个数与 ?5z ? 0 根的个数相同. 故 z 4 ? 5 z ? 1 ? 0 在 z ? 1 内仅有一个根.

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