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双曲线的几何性质l练习



双曲线的几何性质
一、选择题 x2 y2 1.(2009· 宁夏、海南)双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12 A.2 3 C. 3 [答案] A [解析] 本题主要考查双曲线的几何性质. x2 y2 由双曲线 - =1 得焦点坐标为(± 4,0),渐近线方程为 3x± y=0, 4 12 ∴焦点到渐近线的距离 d= |4 3| =2 3. 3+1 B.2 D.1 )

2.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双 曲线的标准方程为( x y A. - =1 4 4 y2 x2 C. - =1 4 8 [答案] B [解析] 顶点为(0,2), ∴a=2 且焦点在 y 轴上, 又实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2 倍,∴有 4+2b= 2· 2c,且 4+b2=c2,解得 b=2. x2 y2 3.已知双曲线 2- 2=1 与直线 y=2x 有交点,则双曲线的离心率的取值范围是( a b A.(1, 5) B.(1, 5)∪( 5,+∞) C.( 5,+∞) D.[ 5,+∞) [答案] C b [解析] 用数形结合法解决较为简单,由图分析可知,只有当渐近线斜率 >2 时,才能 a 保证 y=2x 与双曲线有公共点, ∴ c2-a2 c2 2 >4,即 2>5. a a )
2 2

) y2 x2 B. - =1 4 4 x2 y2 D. - =1 8 4

c ∴ > 5. a x2 y2 4.如果 + =-1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,那么它的半焦距 c 的取值范围 |k|-2 1-k

是(

) A.(1,+∞) C.(2,+∞) [答案] A y2 x2 [解析] 方程化为: - =1, k-1 |k|-2
? ?k-1>0, ∴? ∴k>2. ?|k|-2>0. ?

B.(0,2) D.(1,2)

又 c= k-1+(k-2)= 2k-3>1, 故选 A. x2 y2 5.(2009· 四川)已知双曲线 - 2=1(b>0)的左右焦点分别为 F1、F2,其一条渐近线方程 2 b → → 为 y=x,点 P( 3,y0)在该双曲线上,则PF1· PF2=( A.-12 C.0 [答案] C [解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质. 由题意得 b2=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),
2 又点 P( 3,y0)在双曲线上,∴y0 =1,

)

B.-2 D.4

→ → ∴PF1· PF2=(-2- 3,-y0)· (2- 3,-y0) =-1+y2 0=0,故选 C. x2 y2 x2 y2 6.已知椭圆 2+ 2=1 和双曲线 2- 2=1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方 3m 5n 2m 3n 程是( ) 15 y 2 B.y=± 15 x 2

A.x=±

3 C.x=± y 4 [答案] D

3 D.y=± x 4

[解析] 由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上, ∴椭圆焦点( 3m2-5n2,0), 双曲线焦点( 2m2+3n2,0). ∴3m2-5n2=2m2+3n2. ∴m2=8n2.

又∵双曲线渐近线为 y=±

6· |n| · x, 2|m|

3 ∴代入 m2=8n2,|m|=2 2|n|,得 y=± x. 4 x2 y2 7.如果双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离心率为( a b A. 2 C. 3 [答案] A x2 y2 b [解析] ∵双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x, 又两渐近线互相垂直, 所以 a=b, a b a c c= a2+b2= 2a,e= = 2. a x2 y2 8.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支 a b 上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为( 4 A. 5 C.2 [答案] B [解析] 由题意|PF1|-|PF2|=2a,即 3|PF2|=2a, 2 2 5a ∴|PF2|= a,设 P(x0,y),则 x0>0,∴ a=ex0-a,∴e= . 3 3 3x0 a 5a 5 ∵|x0|≥a,∴ ≤1.∴e= · ≤ .故选 B. x0 3 x0 3 x2 y2 9.(2010· 浙江理,8)设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在 a b 双曲线右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长, 则该双曲线的渐近方程为( A.3x± 4y=0 C.4x± 3y=0 [答案] C [解析] 如图: ) 5 B. 3 7 D. 3 ) B.2 D.2 2 )

B.3x± 5y=0 D.5x± 4y=0

由条件|F2A|=2a,|F1F2|=2c 又知|PF2|=|F1F2|,知 A 为 PF1 中点,由 a2+b2=c2,有|PF1|=4b 由双曲线定义: |PF1|-|PF2|=2a,则 4b-2c=2a ∴2b=c+a,又有 c2=a2+b2,(2b-a)2=a2+b2, ∴4b2-4ab+a2=a2+b2 b 4 3b2=4ab,∴ = , a 3 4 ∴渐近线方程:y=± x.故选 C. 3 10.已知双曲线中心在原点,且一个焦点为 F( 7,0),直线 y=x-1 与其相交于 M,N 2 两点,MN 中点的横坐标为- ,则此双曲线方程是( 3 x2 y2 A. - =1 3 4 x2 y2 C. - =1 5 2 [答案] D x2 y2 x2 y2 [解析] 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),依题意 c= 7,∴方程可化为 2- a b a 7-a2 x y ? ?a2-7-a2=1, =1,由? 得(7-2a2)x2+2a2x-8a2+a4=0. ? ?y=x-1, -2a2 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2= . 7-2a2 ∵ x2+x2 -a2 2 2 =- ,∴ 2=- , 2 3 3 7-2a
2 2

)

x2 y2 B. - =1 4 3 x2 y2 D. - =1 2 5

x2 y2 解得 a2=2.故所求双曲线方程为 - =1. 2 5 二、填空题 x2 y2 11.与椭圆 + =1 有公共焦点,且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为__________. 9 4 [答案] 2x2 2y2 - =1 5 5

[解析] ∵双曲线的两渐近线互相垂直, 5 ∴双曲线为等轴双曲线,又 c2=5,∴a2=b2= . 2 x2 y2 12.(2008· 安徽)已知双曲线 - =1 的离心率为 3,则 n=________. n 12-n [答案] 4

c 12 [解析] ①若焦点在 x 轴上,a2=n,b2=12-n,∴c2=a2+b2=12,∴e= = = 3, a n ∴n=4. ②若焦点在 y 轴上,a2=n-12,b2=-n, ∴c2=a2+b2=-12 不合题意.故 n=4. x2 y2 13.已知点 F、A 分别为双曲线 C? 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点、右顶点,点 B(0, a b → → b)满足FB· AB=0,则双曲线的离心率为________. [答案] 1+ 5 2

[解析] 由已知 F(-c,0),A(a,0), → → ∴FB=(c,b),AB=(-a,b), → → ∴由FB· AB=0 得-ac+b2=0, 即 c2-ac-a2=0,e2-e-1=0, 1+ 5 解得 e= (另一根舍去). 2 x2 y2 3 14.(2008· 江西)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为 y=± x,若顶点 a b 3 到渐近线的距离为 1,则双曲线方程为________. [答案] x2 3y2 - =1 4 4 |a| =1, 1+3

[解析] 易知右顶点为(a,0),∴

x2 y2 b a=2,又双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程也是 y=± x, a b a b 3 2 3 ∴ = ,a= 3b,b= , a 3 3 x2 3y2 ∴双曲线的方程为 - =1. 4 4 三、解答题 15.已知双曲线与椭圆 x2+4y2=64 共焦点,它的一条渐近线方程为 x- 3y=0,求双 曲线的方程. [解析] 解法一:由于双曲线的一条渐近线方程为 x- 3y=0,则另一条为 x+ 3y=0, 可设双曲线方程为 x2 y2 x2-3y2=λ(λ>0),即 - =1. λ λ 3

x2 y2 由椭圆方程 + =1 可知 64 16 c2=a2-b2=64-16=48. λ 双曲线与椭圆共焦点,则 λ+ =48, 3 ∴λ=36. x2 y2 故所求双曲线方程为 - =1. 36 12 解法二:双曲线与椭圆共焦点,可设双曲线方程为 x2 y2 - =1, 64-λ λ-16 由渐近线方程 y= ∴λ=28. x2 y2 故所求双曲线方程为 - =1. 36 12 16.F1、F2 是双曲线的左、右焦点,P 是双曲线上一点,且∠F1PF2=60° ,S△PF1F2 =12 3,又离心率为 2.求双曲线的方程. x2 y2 c [解析] 设双曲线方程为 2- 2=1, 因|F1F2|=2c, 而 e= =2, 由双曲线的定义, 得||PF1| a b a -|PF2||=2a=c. 由余弦定理,得 (2c)2=|PF1|+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|· cos∠F1PF2 =(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|· |PF2|· (1-cos60° ), ∴4c2=c2+|PF1|· |PF2|, 1 又 S△PF1F2= |PF1||PF2|· sin60° =12 3, 2 ∴|PF1|· |PF2|=48, ∴3c2=48,c2=16 得 a2=4,b2=12. x2 y2 所求双曲线方程为 - =1. 4 12 x2 y2 17.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)过点 A( 14, 5),且点 A 到双曲线的两条渐近线 a b 4 的距离的积为 ,求此双曲线方程. 3 x2 y2 [解析] 双曲线 2- 2=1 的两渐近线的方程为 bx± ay=0. a b 点 A 到两渐近线的距离分别为 λ-16 1 1 x 可得 = . 64-λ 3 3

| 14b+ 5a| | 14b- 5a| d1= , 2 2 ,d2= a +b a2+b2 |14b2-5a2| 4 4 已知 d1d2= ,故 2 = ① 3 3 a +b2 又 A 在双曲线上,则 14b2-5a2=a2b2,② ②代入①,得 3a2b2=4a2+4b2,③ 联立②、③解得 b2=2,a2=4. x2 y2 故所求双曲线方程为 - =1. 4 2 18. 已知双曲线的中心在原点, 焦点 F1、 F2 在坐标轴上, 离心率为 2, 且过点(4, - 10). (1)求此双曲线的方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1⊥MF2; (3)求△F1MF2 的面积. [解析] (1)∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ. ∵过点(4,- 10),∴16-10=λ,即 λ=6. ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明:易知 F1(-2 3,0)、F2(2 3,0), m m ∴kMF1= ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3 m2 m2 kMF1· kMF2= =- , 3 9-12 ∵点(3,m)在双曲线上, ∴9-m2=6,m2=3,故 kMF1· kMF2=-1, ∴MF1⊥MF2. (3)△F1MF2 的底|F1F2|=4 3, F1F2 上的高 h=|m|= 3, ∴S△F1MF2=6.


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