2015-2016高中数学 1.1.1棱柱、棱锥和棱台学案 苏教版必修2

第 1 章立体几何初步 1．1 1．1.1 空间几何体 棱柱、棱锥和棱台

诗云：“锥顶柱身立海天，高低大小也浑然。平行垂直皆风景，有角有棱足壮观。”在 我们生活的大千世界中，各式建筑物中都蕴含着形状各异的棱柱、棱锥和棱台等多面体，它 们各自具有不同的几何结构特征．

1．一般地，我们把由一些平面多边形围成的几何体叫做多面体． 围成多面体的

各个多边形叫做多面体的面； 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱； 棱与 棱的公共点叫做多面体的顶点，多面体至少有四个面． 2． 把一个多面体的任意一个面延展为平面， 如果其余的各个面都在这个平面的同一侧， 这样的多面体叫做凸多面体． 3．由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱，平移起止位置的两 个面叫做底面， 简称底； 其余各面叫做棱柱的侧面； 相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点． 4．棱柱按照底面边数分类：底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、 四棱柱、五棱柱． 5．棱柱的结构特征：①两个底面互相平行；②侧棱都互相平行；③棱柱的各侧棱相等， 各侧面都是平行四边形． 6．一般地，一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围 成的多面体叫做棱锥． 多边形面叫做棱锥的底面， 有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面， 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱． 7．棱锥按底面边数分类，底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四 棱锥、五棱锥． 8．棱锥的结构特征：①有一个面(底面)是多边形；②其余各面(侧面)是有一个公共顶 点的三角形． 9．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台．原棱锥 的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面， 其余各面叫做棱台的侧面， 底面与侧面的公 共点叫做棱台的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
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10．棱台的侧棱的延长线相交于一点．

一、棱柱的结构特征 棱柱的结构特征有：①两个底面互相平行；②侧棱都互相平行；③棱柱的各侧棱相等， 各侧面都是平行四边形． 学习时要从相关概念、表示及分类上进行，特别要注意平行六面体、直平行六面体、长 方体、正四棱柱、正方体这五种特殊棱柱的区别与联系．谨记：有两个面互相平行，其余各 面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；棱柱的任何两个面并不都可以作为棱柱的底面． 二、棱锥的结构特征 棱锥的结构特征有： ①有一个面(底面)是多边形； ②其余的各面(侧面)是有一个公共顶 点的三角形． 理解、掌握棱锥的结构特征时要从认识侧面、顶点、侧棱、底面、高入手，以棱锥的记 法、棱锥的分类进行归纳整理，类比平面几何的相关性质对知识和方法进行拓宽，如由多边 形相似的定义，容易得到：截面与底面面积的比等于相似比的平方，等于所截得的小棱锥与 大棱锥对应高的比的平方．同学们要谨记：①正棱锥的底面是正多边形，并且顶点在过正多 边形中心且垂直于底面的直线上； ②“有一个面是多边形， 其余各面都是三角形”的多面体 不一定是棱锥． 三、棱台的结构特征 正棱锥被平行于底面的平面所截，截得的棱台是正棱台，主要结构特征有：①两个底面 平行且相似；②侧棱(母线)延长线相交于一点；③各侧面是全等的梯形． 理解棱台的结构特征要从棱台的定义及相关概念、棱台与棱锥的转化关系两个方面展 开．

基 础 巩 固

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知识点一 棱柱的结构特征 1．下列命题正确的是________(填序号)． ①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱； ②棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面； ③棱柱的侧面是平行四边形，底面不是平行四边形； ④棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形． 解析：根据棱柱的定义可知④正确． 答案：④

2．一个棱柱至少有________个面，它既叫做________面体，又叫________棱柱． 解析：根据棱锥的特征判断． 答案：五 五 三

3．如下图所示的图形中，不可能是正方体的展开图的是(C)

解析：根据正方体的结构特征沿不同的棱剪开展在一个平面内对照．

知识点二 棱锥的结构特征 4．下列说法正确的是________(填序号)． ①底面是正方形的棱锥是正四棱锥； ②各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥； ③底面是正三角形，其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥； ④正四面体是正三棱锥． 解析：根据定义判定． 答案：④

5．若一个三棱锥的侧棱长都相等，则棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的________ 心． 解析：侧棱在底面的射影也相等． 答案：外

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6．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多有________个． 解析：从长方体中寻找四棱锥模型． 答案：4

知识点三 棱台的结构特征 7．下列三个命题，其中正确的有________个． ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． 解析：由棱台定义知 3 个命题均不正确． 答案：0

能 力 升 级 综合点一 空间图形与平面图形的转化 8．把下图中正三角形按虚线折起，可以得到一个________．

解析：想象或试着做一下模型均可． 答案：三棱锥

综合点二 根据多面体的结构进行计算 9．一个长方体过同一顶点的三个面的面积分别为 2， 3， 6，这个长方体的对角线 的长是________． 解析：设三边分别为 a，b，c，则 ab＝ 2，bc＝ 3，ca＝ 6，解得：a＝ 2，b＝1，

c＝ 3，∴对角线长为 a2＋b2＋c2＝ 1＋2＋3＝ 6.
答案： 6

10．两个完全相同的长方体，长、宽、高分别为 5 cm，4 cm，3 cm，把它们重叠在一 起组成一个新长方体，在这些新长方体中，求最长的对角线的长度． 解析：当一个长方体放在另一个长方体的上方时，这时新的长方体的对角线长
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d1＝ 52＋42＋（3＋3）2＝ 77(cm)；
当一个长方体放在另一个长方体的右边时，这时新的长方体的对角线长

d2＝ （5＋5）2＋42＋32＝5 5(cm)；
当一个长方体放在另一个长方体的前方时，这时新的长方体的对角线长

d3＝ 52＋（4＋4）2＋32＝7 2(cm)．
综上可知，新长方体中，最长的对角线的长度为 5 5 cm.

11．如下图，已知正四棱锥 VABCD 的底面面积为 16，一条侧棱长为 2 11，点 E 是 BC 的中点，计算它的高和斜高．

解析：∵正方形 ABCD 的面积为 16， ∴边长为 4，OB＝2 2. 又侧棱长为 2 11， ∴VO＝ （2 11）2－（2 2）2＝6. 又 OE＝2，∴斜高 VE＝ 62＋22＝2 10. 故它的高为 6，斜高为 2 10.

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