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2015-2016高中数学 1.1.1棱柱、棱锥和棱台学案 苏教版必修2


第 1 章立体几何初步 1.1 1.1.1 空间几何体 棱柱、棱锥和棱台

诗云:“锥顶柱身立海天,高低大小也浑然。平行垂直皆风景,有角有棱足壮观。”在 我们生活的大千世界中,各式建筑物中都蕴含着形状各异的棱柱、棱锥和棱台等多面体,它 们各自具有不同的几何结构特征.

1.一般地,我们把由一些平面多边形围成的几何体叫做多面体. 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面; 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱; 棱与 棱的公共点叫做多面体的顶点,多面体至少有四个面. 2. 把一个多面体的任意一个面延展为平面, 如果其余的各个面都在这个平面的同一侧, 这样的多面体叫做凸多面体. 3.由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱,平移起止位置的两 个面叫做底面, 简称底; 其余各面叫做棱柱的侧面; 相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱; 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. 4.棱柱按照底面边数分类:底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、 四棱柱、五棱柱. 5.棱柱的结构特征:①两个底面互相平行;②侧棱都互相平行;③棱柱的各侧棱相等, 各侧面都是平行四边形. 6.一般地,一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围 成的多面体叫做棱锥. 多边形面叫做棱锥的底面, 有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面, 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. 7.棱锥按底面边数分类,底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四 棱锥、五棱锥. 8.棱锥的结构特征:①有一个面(底面)是多边形;②其余各面(侧面)是有一个公共顶 点的三角形. 9.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台.原棱锥 的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面, 其余各面叫做棱台的侧面, 底面与侧面的公 共点叫做棱台的顶点,相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱.
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10.棱台的侧棱的延长线相交于一点.

一、棱柱的结构特征 棱柱的结构特征有:①两个底面互相平行;②侧棱都互相平行;③棱柱的各侧棱相等, 各侧面都是平行四边形. 学习时要从相关概念、表示及分类上进行,特别要注意平行六面体、直平行六面体、长 方体、正四棱柱、正方体这五种特殊棱柱的区别与联系.谨记:有两个面互相平行,其余各 面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱;棱柱的任何两个面并不都可以作为棱柱的底面. 二、棱锥的结构特征 棱锥的结构特征有: ①有一个面(底面)是多边形; ②其余的各面(侧面)是有一个公共顶 点的三角形. 理解、掌握棱锥的结构特征时要从认识侧面、顶点、侧棱、底面、高入手,以棱锥的记 法、棱锥的分类进行归纳整理,类比平面几何的相关性质对知识和方法进行拓宽,如由多边 形相似的定义,容易得到:截面与底面面积的比等于相似比的平方,等于所截得的小棱锥与 大棱锥对应高的比的平方.同学们要谨记:①正棱锥的底面是正多边形,并且顶点在过正多 边形中心且垂直于底面的直线上; ②“有一个面是多边形, 其余各面都是三角形”的多面体 不一定是棱锥. 三、棱台的结构特征 正棱锥被平行于底面的平面所截,截得的棱台是正棱台,主要结构特征有:①两个底面 平行且相似;②侧棱(母线)延长线相交于一点;③各侧面是全等的梯形. 理解棱台的结构特征要从棱台的定义及相关概念、棱台与棱锥的转化关系两个方面展 开.

基 础 巩 固

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知识点一 棱柱的结构特征 1.下列命题正确的是________(填序号). ①有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱; ②棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面; ③棱柱的侧面是平行四边形,底面不是平行四边形; ④棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形. 解析:根据棱柱的定义可知④正确. 答案:④

2.一个棱柱至少有________个面,它既叫做________面体,又叫________棱柱. 解析:根据棱锥的特征判断. 答案:五 五 三

3.如下图所示的图形中,不可能是正方体的展开图的是(C)

解析:根据正方体的结构特征沿不同的棱剪开展在一个平面内对照.

知识点二 棱锥的结构特征 4.下列说法正确的是________(填序号). ①底面是正方形的棱锥是正四棱锥; ②各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥; ③底面是正三角形,其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥; ④正四面体是正三棱锥. 解析:根据定义判定. 答案:④

5.若一个三棱锥的侧棱长都相等,则棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的________ 心. 解析:侧棱在底面的射影也相等. 答案:外

3

6.在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多有________个. 解析:从长方体中寻找四棱锥模型. 答案:4

知识点三 棱台的结构特征 7.下列三个命题,其中正确的有________个. ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; ②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. 解析:由棱台定义知 3 个命题均不正确. 答案:0

能 力 升 级 综合点一 空间图形与平面图形的转化 8.把下图中正三角形按虚线折起,可以得到一个________.

解析:想象或试着做一下模型均可. 答案:三棱锥

综合点二 根据多面体的结构进行计算 9.一个长方体过同一顶点的三个面的面积分别为 2, 3, 6,这个长方体的对角线 的长是________. 解析:设三边分别为 a,b,c,则 ab= 2,bc= 3,ca= 6,解得:a= 2,b=1,

c= 3,∴对角线长为 a2+b2+c2= 1+2+3= 6.
答案: 6

10.两个完全相同的长方体,长、宽、高分别为 5 cm,4 cm,3 cm,把它们重叠在一 起组成一个新长方体,在这些新长方体中,求最长的对角线的长度. 解析:当一个长方体放在另一个长方体的上方时,这时新的长方体的对角线长
4

d1= 52+42+(3+3)2= 77(cm);
当一个长方体放在另一个长方体的右边时,这时新的长方体的对角线长

d2= (5+5)2+42+32=5 5(cm);
当一个长方体放在另一个长方体的前方时,这时新的长方体的对角线长

d3= 52+(4+4)2+32=7 2(cm).
综上可知,新长方体中,最长的对角线的长度为 5 5 cm.

11.如下图,已知正四棱锥 VABCD 的底面面积为 16,一条侧棱长为 2 11,点 E 是 BC 的中点,计算它的高和斜高.

解析:∵正方形 ABCD 的面积为 16, ∴边长为 4,OB=2 2. 又侧棱长为 2 11, ∴VO= (2 11)2-(2 2)2=6. 又 OE=2,∴斜高 VE= 62+22=2 10. 故它的高为 6,斜高为 2 10.

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