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山东省滨州市北镇中学2014届高三4月阶段性检测 数学(理)试题


2014 年 5 月

一.选择题.本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的. 1 ? 2i 1? i 1.已知复数 z ? ,则 2 的共轭复数是 z ?1 1? i
A. ? ? i

1 2

B. ? ? i

1 2

r />
C.

1 ?i 2

D.

1 ?i 2

2.已知集合 A ? ??1, ? , B ? x mx ? 1 ? 0 ,若 A ? B ? B ,则所有实数 m 组成的集合是

? ?

1? 2?

?

?

A. ?0, ?1, 2?

B. ??

? 1 ? , 0,1? ? 2 ?

C. ??1, 2?

D. ??1, 0, ?

? ?

1? 2?

3.下列各小题中, p 是 q 的充要条件的是 (1) p : cos ? ? cos ? ; (2) p :

q : sin ? ? sin ? ;
q : y ? f ( x) 是奇函数;

f (? x) ? ?1; f ( x)
B ? B;

(3) p : A

q : CU B ? CU A ;

2 (4) p : m ? 2 或 m ? 6 ; q : y ? x ? mx ? m ? 3 有两个不同的零点.

A. (1)(3)

B. (3)(4)

C. (3)

D. (4)

2 4.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2, ? ) ,且 P(? ? 4) ? 0.9 ,则 P(0 ? ? ? 2) ?

A. 0.2

B. 0.3

C. 0.4

D. 0.6

x2 y2 5.方程 ? ? 1表示双曲线,则 m 的取值范围是 2?m m ?3
A. 2 ? m ? 3 B. ?3 ? m ? 0 或 0 ? m ? 2 或 开始

m?3
C. m ? 3 或 ? 3 ? m ? 2 D. 2 ? m ? 3 或 m ? ? 3 20 6.一个样本容量为 的样本数据,它们组成一个公差不为 0 的等差数 列 {an } ,若 a3 ? 8 且前 4 项和 S4 ? 28 ,则此样本的平均数和中位数 分别是 A. 22, 23 B. 23, 22 C. 23, 23 D. 23, 24

n ? 1, S ? 0
否 是

?

7.右面的程序框图中,若输出 S 的值为 126 ,则图中应填上的 条件为 A. n ? 5 B. n ? 6 C. n ? 7 D. n ? 8
1

输出 S
n

S ? S ?2

结束

n ? n ?1

8..函数 f ( x) ?

sin x 的图象可能是 ln(x ? 2)

9.设 O, A, B, M 为平面上四点, OM ? ?OA ? (1? ?)OB, A.点 M 在线段 AB 上 C.点 A 在线段 BM 上 10.二项式 ( ax ? A. 3

? ? (0,1) ,则

B.点 B 在线段 AM 上 D. O, A, B, M 四点共线

a 3 3 3 2 ,则 ? x dx 的值为 ) 的展开式的第二项的系数为 ? ? 2 2 6

B.

7 3

C. 3 或

7 3

D. 3 或 ?

10 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上.
11.设不等式组 ?

?0 ? x ? 1 表示的平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原 ?0 ? y ? 2

2
2

12. 已知命题 p : ?x ??1,4? , x ? a , 命题 q : ?x ? R, x ? 2ax ? 2 ? a ? 0, 若命题“ p且q ”是 真命题,则实数 a 的取值范围为 .

点的距离大于 1 的概率是

13.如图,已知球 O 的面上有四点 A, B, C , D ,

DA ? 平面 ABC , AB ? BC , DA ? AB ? BC ? 2 , 则球 O 的体积与表面积的比为 .
14.函数 f ( x) ? 3sin ? x ? log 1 x 的零点的个数是
2



15.过双曲线

x2 y 2 a2 2 2 x ? y ? ? ? 1 b ? 0, a ? 0 的左焦点 ,作圆 的切线, F ? c ,0 c ? 0 ? ? ? ?? ? 4 a 2 b2

切点为 E,延长 EF 交双曲线右支于点 P,若 E 是 FP 的中点,则双曲线的离心率为____.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步
2

骤.
16. (本小题满分12分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C ? (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围. 17.(本小题满分 12 分) 某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛,规则如下:两名选手比赛时, 每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时结束.假设选手甲 与选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为

1 c ?b. 2

2 ,且各局比赛胜负互不影响. 3

(Ⅰ)求比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分的概率; (Ⅱ)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 多 面 体 ABCDEFG 中 , 平 面 ABC ∥ 平 面 DEFG , AD ⊥ 平 面 DEFG ,

BA ? AC , ED ? DG , EF ∥ DG .
且 AC ? 1, AB ? ED ? EF ? 2 , AD ? DG ? 4 .

(Ⅰ)求证: BE ? 平面 DEFG ; (Ⅱ)求证: BF ∥平面 ACGD ; (Ⅲ)求二面角 F ? BC ? A 的余弦值. 19. (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 为公差不为 0 的等差数列, Sn 为前 n 项和, a5 和 a7 的等差中项为 11 ,且

a2 ? a5 ? a1 ? a14 .令 bn ?
(Ⅰ)求 an 及 Tn ;

1 , 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . an ? an?1

(Ⅱ)是否存在正整数 m, n(1 ? m ? n), 使得T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有的

m, n 的值;若不存在,请说明理由.
3

20.(本小题满分 13 分) 设点 P ( x, y ) 到直线 x ? 2 的距离与它到定点 (1, 0) 的距离之比为 2 , 并记点 P 的轨迹为曲 线C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设 M (?2, 0) ,过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 E , F 两点,当线段 EF 的中点落在由 四点 C1 (?1,0), C2 (1,0), B1 (0, ?1), B2 (0,1) 构成的四边形内(包括边界)时,求直线 l 斜率的取值 范围.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x x ??1, e? . (Ⅰ )若 a ? 1 ,求 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ )若 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ )若方程 f ( x )= ?

1 有两个不等实根,求 a 的取值范围. 2

4

理科数学 参考答案及评分标准
一、 BACCD, CBAAC
二、11. 1 ?

? 8

12. a ? 1 或 a ? ?2

13. 1: 3

14.

9

15.

10 2

三.解答题

17.解(Ⅰ)由题意知,乙每局获胜的概率皆为 1 ?

2 1 ? .????1 分 3 3

比 赛 进 行 4 局 结 束 , 且 乙 比 甲 多 得 2 分 即 头 两 局 乙 胜 一 局 , 3,4 局 连 胜 , 则

4 1 1 2 1 1 P2 ? C2 ? ? ? ? . 3 3 3 3 81
(Ⅱ)由题意知, ? 的取值为 2, 4, 6 . 则 P (? ? 2) ? ( ) ? ( ) ?
2 2

????4 分 ???5 分 ????6 分

2 3

1 3

5 9
5

12 2 2 20 1 1 2 1 2 ( ) ? C2 ( ) ? 33 3 33 3 81 1 2 16 1 P(? ? 6) ? (C2 )2 ? 33 81
1 P(? ? 4) ? C2

????7 分 ????9 分

所以随机变量 ? 的分布列为

?

2
5 9

4
20 81

6

P

16 81
???10 分

则 E? ? 2 ?

5 20 16 266 ? 4? ? 6? ? ????12 9 81 81 81
平面 ABC ∥平面 DEFG , 平面 ABC ???1 分 平面 ADEB ? AB , 平面 DEFG 平面

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)

ADEB ? DE ,? AB ∥ DE


AB ? DE ,? 四边形 ADEB 为平行四边形,? BE ∥ AD ??2 分
AD ? 面 DEFG,? BE ? 平面 DEFG. ??3 分
(Ⅱ) 设 DG 的中点为 M , 连接 AM , MF , 则 DM ?

1 DG ? 2 , 2
B

EF ? 2, EF ∥ DG ,∴四边形 DEFM 是平行四边形????4 分
∴ MF ? DE且MF ∥ DE ,由(Ⅰ)知, ADEB 为平行四边形, ∴ AB ? DE且AB ∥ DE ,∴ AB ? MF 且AB ∥ MF , ∴四边形 ABFM 是平行四边形,????5 分 即 BF ∥ AM , 又 BF ? 平 面 ACGD , 故

A

C

D

M F

G

BF ∥ 平 面

E

ACGD ;????6 分
(Ⅲ)由已知, AD, DE , DG 两两垂直,建立如图的空间坐标系,则

A(0, 0, 4), B(2, 0, 4), C (0,1, 4), F (2, 2, 0)
∴ BF ? (0, 2, ?4), BC ? ( ?2,1, 0) 设平面 FBC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,
?n1 ? BF ? 2 y ? 4 z ? 0 ? 则? , ? ?n1 ? BC ? ?2 x ? y ? 0

A B

C

令 z ? 1 ,则 n1 ? (1, 2,1) , 而平面 ABC 的法向量 n2 ? DA ? (0,0, 4) ∴

D


M F

G

cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |
6

E

?

4 1? 4 ?1? 4

?

6 6

由图形可知,二面角 F ? BC ? A 的余弦值-

6 .????????12 分 6

20.解:(Ⅰ)有题意

| x?2| ( x ? 1)2 ? y 2

? 2,

??????2 分

整 理 得

x2 ? y2 ? 1 , 所 以 曲 线 C 的 方 程 为 2

x2 ? y 2 ? 1??????4 分 2
(Ⅱ)显然直线 l 的斜率 k 存在,所以可设直线 l 的方程为

y ? k ( x ? 2) .
7

设点 E , F 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), 线段 EF 的中点为 G ( x0 , y0 ) ,

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?2
得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 由 ? ? (8k 2 )2 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0 解得 ?

2 2 .?(1) ????7 分 ?k? 2 2

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

?8k 2 ,于是 1 ? 2k 2
?????8 分

x0 ?

x1 ? x2 2k 4k 2 =? , y0 ? k ( x0 ? 2) ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

因为 x0 ? ?

4k 2 ? 0 ,所以点 G 不可能在 y 轴的右边, 1 ? 2k 2

又直线 C1B2 , C1B1 ,方程分别为 y ? x ? 1, y ? ? x ? 1 所以点 G 在正方形内(包括边界)的充要条件为

? 2k ?4k 2 ? ?1 2 ? ? ? y0 ? x0 ? 1 ?2k ? 2k ? 1 ? 0, ?1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 即? 亦即 ? 2 ??????10 分 ? 2 ? ? y0 ? ? x0 ? 1 ?2k ? 2k ? 1 ? 0. ? 2k ? 4k ? 1 ? ?1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
解得 ?

3 ?1 3 ?1 ?k? ,?????(2) 2 2
3 ?1 3 ?1 , ]. ??????12 分 2 2
/

由(1) (2)知,直线 l 斜率的取值范围是 [?

21.解: (Ⅰ )若 a ? 1 ,则 f ( x) ? x ? ln x , f ( x) ? 1 ? ∵ x ??1, e? ∴f ( x) ? 0 ,∴f ( x) 在 ?1, e? 上为增函数,
/

1 x ?1 ? , x x

-----------1 分 -----------2 分 -----------3 分

∴ f ( x)max ? f (e) ? e ? 1 (Ⅱ )要使 x ??1, e? , f ( x) ? 0 恒成立,只需 x ??1, e? 时, f ( x)max ? 0 显然当 a ? 0 时, f ( x) ? ax ? ln x 在 ?1, e? 上单增, ∴f ( x)max ? f (e) ? ae ? 1 ? 0 ,不合题意;
8

-----------5 分

1 1 ax ? 1 ? ,令 f / ( x) ? 0 , x ? ? a x x 1 1 当 x ? ? 时, f / ( x) ? 0 ,当 x ? ? 时, f / ( x) ? 0 a a 1 ①当 ? ? 1 时,即 a ? ?1 时, f ( x ) 在 ?1, e? 上为减函数 a
当 a ? 0 时, f ( x) ? a ?
/

-----------6 分

∴ f ( x)max ? f (1) ? a ? 0 ,∴ a ? ?1 ; ②当 ?

-----------7 分

1 1 ? e 时,即 ? ? a ? 0 时, f ( x) 在 ?1, e? 上为增函数 e a
1 1 ,∴ a ? ? ; e e
-----------8 分

∴ f ( x) max ? f (e) ? ae ? 1 ? 0, a ? ?

③当 1 ? ?

1 1 ? e 时,即 ?1 ? a ? ? 时, e a

? 1? ? 1 ? f ( x) 在 ?1, ? ? 上单增, f ( x) 在 ? ? , e ? 上单减 ? a? ? a ?
∴ f ( x) max ? f ( ? ) ? ?1 ? ln(? ) ∵1 ? ?

1 a

1 a

1 1 1 ? e ,∴ 0 ? ln( ? ) ? 1 ,∴ f ( ? ) ? 0 成立; a a a
1 e

-----------9 分

由①②③可得 a ? ?

----------10 分

9

10


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