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2013届高考数学知识点复习测试题3


第4讲

数列的通项的求法

★ 知 识 梳理 ★
数列通项的常用方法: ⑴利用观察法求数列的通项. ⑵利用公式法求数列的通项:① a n

( ?S n ? 1) ;② ?an ? 等差、等比数列 ?an ? 公式. ?? 1 ?S n ? S n ?1 (n ? 2)
? an ? f (n) ;

② an?1 ? an f (n).

⑶应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:① an?1 ⑶构造等差、等比数列求通项: ①

an?1 ? pan ? q ;② an?1 ? pan ? qn ;③ an?1 ? pan ? f (n) ;④ an?2 ? p ? an?1 ? q ? an .

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点:掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法. 2.难点:由数列递推关系式的特点,选择合适的方法.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点 求数列的通项公式 题型 1 利用公式法求通项
【例 1】已知 Sn 为数列 ⑴

?an ?的前 n 项和,求下列数列 ?an ?的通项公式:
⑵ Sn

Sn ? 2n 2 ? 3n ? 1 ;

? 2n ? 1 .

【解题思路】已知关系式

( ?S n ? 1) ,这是求数列通项的 f ( Sn , an , n) ? 0 ,可利用 an ? ? 1 ?S n ? S n ?1 (n ? 2)

一个重要公式. 【解析】⑴当 n

? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? 12 ? 3 ? 1 ? 1 ? 4 ,

当n

? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n 2 ? 3n ? 1) ? 2(n ? 1)2 ? 3(n ? 1) ? 1 ? 4n ? 1 .

?

?

而n

?4(n ? 1) ? 1 时, 4 ? 1 ? 1 ? 5 ? a1 ,? an ? ? . ?4n ? 1(n ? 2)
⑵当 n

? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? 1 ? 3 ,

当n

? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n ? 1) ? (2n?1 ? 1) ? 2n?1 .

而n

?3(n ? 1) ? 1 时, 21?1 ? 1 ? a1 ,? an ? ? n?1 . ?2 (n ? 2)

【名师指引】任何一个数列,它的前 n 项和 Sn 与通项 an 都存在关系: an

?S (n ? 1) ?? 1 ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)

若 a1 适合 an ,则把它们统一起来,否则就用分段函数表示.

题型 2 应用迭加(迭乘、迭代)法求通项
【例 2】⑴已知数列

?an ?中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式;

⑵已知 Sn 为数列

?an ?的前 n 项和, a1 ? 1 , Sn ? n 2 ? an ,求数列 ?an ? 的通项公式.
? an ? f (n) ,可利用迭加法或迭代法; ? an ? f (n) ,可利用迭乘法.

【解题思路】⑴已知关系式 an?1 ⑵已知关系式 an?1 【解析】⑴方法 1: (迭加法)

? a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,? an ? an?1 ? 2n ? 1 ? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
? (2n ? 1) ? (2n ? 3) ? (2n ? 5) ? ? ? 5 ? 3 ? 1 ?
方法 2: (迭代法)? a1

n( 2n ? 1 ? 1) ? n2 2

? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,

? an ? an?1 ? 2n ? 1 ? an?2 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1

? an?3 ? 2(n ? 2) ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2(n ? 2) ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ? n 2 ,? an ? n 2 .
⑵? a1

? 1 , Sn ? n 2 ? an ,? 当 n ? 2 时, Sn?1 ? (n ? 1) 2 ? an?1

? an ? S n ? S n ?1 ? n 2 an ? (n ? 1) 2 an ?1 ?

an n ?1 . ? an ?1 n ? 1

? an ?

n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 an an ?1 an ?2 a a ? ? ??? ? ?1 ? . ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? a1 ? n ?1 n n ?1 4 3 n(n ? 1) an ?1 an ?2 an ?3 a2 a1
; ? an ? f (n) ” 迭乘法适用于求递推关系形

【名师指引】⑴迭加法适用于求递推关系形如“ an?1 如“ an?1 ①

? an ? f (n) “;⑵迭加法、迭乘法公式:

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
an ? an an ?1 an ?2 a a ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? a1 . an ?1 an ?2 an ?3 a2 a1



题型 3 构造等比数列求通项
【例 3】已知数列

?an ?中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式.
? pan ? q ”是一种常见题型,适当变形转化为等比数列.

【解题思路】递推关系形如“ an ?1 【解析】? an ?1

? 2an ? 3 ,? an?1 ? 3 ? 2(an ? 3)

? ?an ? 3?是以 2 为公比的等比数列,其首项为 a1 ? 3 ? 4 ? an ? 3 ? 4 ? 2n?1 ? an ? 2n?1 ? 3.
【名师指引】递推关系形如“ an ?1

? pan ? q ”

适用于待定系数法或特征根法:

①令 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) ;
② 在 an ?1

? pan ? q 中令 an ?1 ? an ? x ? x ?

q ,? an?1 ? x ? p(an ? x) ; 1? p

③由 an ?1

? pan ? q 得 an ? pan?1 ? q ,? an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) .

【例 4】已知数列

?an ?中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3n ,求数列 ?an ? 的通项公式.
? pan ? qn ”
适当变形转化为可求和的数列.

【解题思路】递推关系形如“ an?1 【解析】方法 1:? an?1 则

? 2an ? 3n ,?

a n ?1 a a 3 ? nn 1 ? ( ) n ,令 nn ? bn n ? 2 2 2 2 ?1

3 bn ?1 ? bn ? ( ) n , 2

? bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1
3 3 3 3 3 3 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ? ( ) n ?3 ? ? ? ( ) 2 ? ? 1 ? 2 ? ( ) n ? 2 2 2 2 2 2 2

? an ? 3n ? 2n
方法 2:? an?1 则

? 2an ? 3n ,?

a n ?1 2 a n a ? ? n ?1 ? 1 ,令 nn ? bn n 3 3 3 3 ?1
(解法略)

bn ?1 ?

2 bn ? 1 ,转化为“ an?1 ? pan ? q “ 3

【名师指引】递推关系形如“ an?1 “ an ?1

? pan ? qn ”通过适当变形可转化为:

? pan ? q ”或“ an?1 ? an ? f (n) n 求解.

【例 5】已知数列

?an ?中, a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? 3an?1 ? 2an ,求数列 ?an ? 的通项公式.
? p ? an?1 ? q ? an ”可用待定系数法或特征根法求解.

【解题思路】递推关系形如“ an?2 【解析】令 an?2

? ? ? an?1 ? ? (an?1 ? ? ? an )

由?

?? ? ? ? 3 ?? ? ?1 ?? ? ?2 或? ,? an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) ?? ?? ? ? ? ?2 ?? ? 2 ?? ? 1

?数列 ?an?1 ? an ?是等比数列,? an?1 ? an ? 2n?1

? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
? 2 n ?2 ? 2 n ?3 ? 2 n ?4 ? ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 n ?1 .
【名师指引】递推关系形如“ an?2 【新题导练】 1.已知 Sn 为数列 【解析】当 n ,通过适当变形转化为可求和的数列. ? p ? an?1 ? q ? an ”

?an ?的前 n 项和,

Sn ? 3an ? 2(n ? N ? , n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式.

? 1 时, a1 ? S1 ? 3a1 ? 2 ? a1 ? ?1,

当n

? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (3an ? 2) ? (3an?1 ? 2) .? 2an ? 3an ?1 ?
3 2
为公比的等比数列,其首项为 a1

an 3 ? an ?1 2

? ?an ? 是以
2.已知数列

3 ? ?1 ,? a n ? ?1 ? ( ) n ?1 . 2

?an ?中, a1 ? 2, (n ? 2)an?1 ? (n ? 1)an ? 0(n ? N ? ) ,求数列 ?an ? 的通项公式.

【解析】由 (n ? 2)an?1

? (n ? 1)an ? 0 得,

a n ?1 n ? 1 ? an n?2

? an ?

an an ?1 an ?2 a a n n ?1 n ? 2 3 2 4 ? ? ??? ? ? 2 ? . ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? a1 ? n ?1 n n ?1 4 3 n ?1 an ?1 an ?2 an ?3 a2 a1

3.⑴已知数列

?an ?中, a1 ? 1, an?1 ? 2 an ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式;
3

⑵已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? n ,求数列 ?an ? 的通项公式.
【解析】⑴ a n ?1

?

2 2 2 a n ? 2 ? a n ?1 ? 6 ? ( a n ? 6) ,? a n ? 7 ? ( ) n ?1 ? 6 ; 3 3 3

⑵令 an?1 ? ? ? n ? 2(an ? ? ? n) ,得 ? ? ?1
? an?1 ? n ? 2(an ? n) ,? an ? n ? 2 ? 2n?1 , ? an ? 2n ? n
4.已知数列

?an ?中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 3n ,求数列 ?an ?的通项公式.
? 3an ? 3n ,?
a n ?1 a a ? nn1 ? 1 ,令 nn ? bn n ? 3 3 3 ?1

【解析】? an?1

?数列 ?bn ?是等差数列, bn ? 1 ? 1(n ? 1) ? n ,? an ? n ? 3n?1 .
5.(2008 全国Ⅱ卷理 ? 节选) 设数列

?an ?的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? a, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) ,设 bn ? Sn ? 3n , 求数列 ?bn ?的通项公式.
【解析】依题意, an?1 由此得 Sn?1

? Sn?1 ? Sn ? Sn ? 3n ,即 Sn?1 ? 2Sn ? 3n ,
? bn ? Sn ? 3n ? (a ? 3) ? 2n?1.

? 3n?1 ? 2( Sn ? 3n ) , 6.(2008 广东文 ? 节选)
已知数列

?an ?中, a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 1 an?1 ? 2 an?2 (n ? 3) ,求数列 ?an ? 的通项公式.
3 3

2 ? a n ?1 ? ? ( a n ?1 ? a n ?2 )( n ? 3) 3 2 又 a2 ? a1 ? 1 ? 0 ,所以数列 ? n ?1 ? an ?是以 1 为首项,公比为 ? 的等比数列, a 3 2 n ?1 ? a n ?1 ? a n ? ( ? ) 3
【解析】由 a n

?

1 2 a n ?1 ? a n ?2 3 3

得 an

? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
2 2 2 2 8 3 2 ? ( ? ) n ?2 ? ( ? ) n ?3 ? ? ? ( ? ) 2 ? ( ? ) ? 1 ? 1 ? ? ( ? ) n ?1 . 3 3 3 3 5 5 3

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基础巩固训练
1.若数列 ,则此数列是( ?an ?的前 n 项和 Sn ? a n ? 1 ( a ? R ,且 a ? 0 ) )

A. 等差数列 B. 等比数列 C. 等差数列或等比数列 D. 既不是等差数列,也不是等比数列 n n?1 【解析】C. ? Sn ? a ? 1 ,? an ? Sn ? Sn?1 ? (a ? 1)a (n ? 2) ?当 a ? 1 时, an ? 0 , ?an ?是等差数列; a ? 0 且 a ? 1 时, ?an ?是等比数列.选 C.
2.数列

?an ?中, a1 ? 1, an ? n(an?1 ? an ) ,则数列 ?an ?的通项 an ? (
B. n 2

)

A. 2n ? 1

n ? 1 n ?1 D. n ) n a n ?1 【解析】 D a1 ? 1, an ? n( an ?1 ? an ) ? n ?1 ? ,使用迭乘法,得 a n ? n. an n

C. (

3.数列

?an ?中, an?1 ? 3an ? 2(n ? N ? ) ,且 a10 ? 8 ,则 a4 ? (
B. ?

)

80 1 26 C. D. ? 81 27 27 n?10 【解析】 B 由 an?1 ? 3an ? 2(n ? N ? ) ,得 an?1 ? 1 ? 3(an ? 1) , an ? 1 ? (a10 ? 1)3 80 ? an ? 3n?8 ? 1, a 4 ? 3?4 ? 1 ? ? . 81

A.

1 81

4.设

?an ?是首项为 1 的正项数列,且 (n ? 1)an2?1 ? nan2 ? an?1an ? 0(n ? N ? ) , ?an ?的通项 an ?
?
.

则数列

【解析】 a n 5.数列

1 n 2 2 ( n ? 1)a n ?1 ? na n ? a n ?1a n ? 0 ? ( a n ?1 ? a n )( a n ?1 ? an ) ? 0 n n ?1

?an ?中, a1 ? 1, an?1 ?
? 2 2n ? 1

2a n (n ? N ? ) ,则 ?an ?的通项 an ? 2 ? an ? 2a n 2 ? an
,得

.

【解析】 a n

由 a n ?1

1 a n ?1

?

1 1 ? an 2
.

6.数列

?an ?中, a1 ? 1,
? 1 . n2


an ? an?1 ? an an?1 (n ? N ? ) ,则 ?an ?的通项 an ?

【解析】 a n

an ? an?1 ? an an?1

,得

1 1 ? ?1 an?1 an

?

1 1 ? 1 ? 1 ? (n ? 1) ? n ,? a n ? 2 . n an

综合拔高训练
7.数列

?an ?中, a1 ? 2, an?1 ?
? 2a n 4 ? an

2a n (n ? N ? ) ,求数列 ?an ?的通项公式. 4 ? an

【解析】? a n ?1

,?

4 ? an 1 2 1 ? ? ? an ?1 2a n an 2

,?

1 a n ?1

?

1 1 1 ? 2( ? ) . 2 an 2

? 1 1? 1 1 ?数列 ? ? ? 是以 2 为公比的等比数列,其首项为 ? ? 1. a1 2 ? an 2 ?
?
1 1 2 ? ? 2 n?1 ? an ? n an 2 2 ?1

8.已知数列

?an ?中, a1 ? 2, a2 ? 1, an?2 ? 5an?1 ? an ? 0(n ? N ? ) ,求数列 ?an ? 的通项公式.
? 5an?1 ? an ? 0 ,? an?2 ? 2an?1 ? 3(an?1 ? 2an ) .

【解析】? an?2

?数列 ?an?1 ? 2an ?是以 3 为公比的等比数列,其首项为 a2 ? 2a1 ? ?3

? an?1 ? 2an ? ?3 ? 3n?1 ? ?3n ,?


a n ?1 a 3 ? nn 1 ? ?( ) n . n ? 2 2 2

an 3 ? bn ,则 bn ?1 ? bn ? ?( ) n , n ?1 2 2

? bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1
3 3 3 3 3 3 ? ?( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ? ( ) n ?3 ? ? ? ( ) 2 ? ? 2 ? ?2 ? ( ) n ? 5 ,? an ? 5 ? 2n?1 ? 3n . 2 2 2 2 2 2


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