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2015-2016高中数学 1.1.2圆柱、圆锥.圆台和球学案 苏教版必修2


1.1.2

圆柱、圆锥、圆台和球

在我们生活的世界中,从土木建筑到家居装潢,从机械设计到商品包装,从航空测绘到 零件视图……无不存在着形状各异的物体,它们蕴含着形状各异的圆柱、圆锥、圆台和球等 空间图形.每种空间图形各自具有不同的几何结构特征,与我们的生活息息相关,因此对空 间图形的研究和应用非常重要.

1.以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆 柱.旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋 转而成的曲面叫做圆柱的侧面,过轴的截面是全等矩形. 2.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋 转体叫做圆锥.旋转轴叫做圆锥的轴;垂直于轴的直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面; 斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面; 斜边叫做圆锥的母线, 过轴的截面是全等的等腰三角 形. 3.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台.原圆锥 的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面. 4. 以半圆的直径所在直线为旋转轴, 半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体, 简称球. 半 圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径. 5. 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体. 6.柱体:棱柱、圆柱;锥体:棱锥、圆锥;台体:棱台、圆台;球体是七种最基本的 简单几何体,日常生活中见到的各种几何体则是由它们所组合成的简单组合体. 7.由一些简单的几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. 简单组合体的构成有两种基本形式: 一种是由简单几何体拼接而成; 一种是由简单几何 体截去或挖去一部分而成. 8.简单组合体包括:多面体与多面体的组合、多面体与旋转体的组合、旋转体与旋转 体的组合;在画简单组合体时,要把遮住的部分用虚线来表示或不画.,

圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
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圆柱的结构特征:①两底面是全等的圆面;②所有母线长相等且互相平行;③过圆柱的 轴截面都是全等矩形;④圆柱沿着它的一条母线剪开后的侧面展开图是矩形. 圆锥的结构特征: ①平行于底面的截面都是相似的圆; ②所有母线长相等且相交于一点; ③过圆锥的轴截面都是全等的等腰三角形;④圆锥沿它的一条母线剪开的侧面展开图是扇 形. 圆台的结构特征: ①平行于底面的截面都是相似的圆; ②所有母线长相等且延长线相交 于一点; ③过圆台的轴截面都是全等的等腰梯形; ④圆台沿它的一条母线剪开后的侧面展开 圆是扇环. 球的结构特征:①过球心的截面都是全等的圆;②球的直径垂直截面,所截得的都是相 似的圆. 理解和掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征,要学会从直观感受空间旋转体的形成过 程,从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台和球的定义,以定义展开,多进行类比、归纳和整理, 通过比较四者间的异同点加强记忆.圆柱、圆锥、圆台的截面包括平行于底面的截面和过轴 的截面(简称轴截面)两类,球的截面有大圆和小圆之分,谨记其截面的形状是关键.

基 础 巩 固 知识点一 圆柱、圆锥和圆台的结构特征 1.在几何体:①圆柱;②圆锥;③圆台;④球中,轴截面一定是圆面的有________(填 序号). 解析:根据结构特征判断. 答案:④

2.下列命题中说法错误的是________(填序号). ①以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆 柱; ②以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫
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做圆锥; ③以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面围成的几何 体叫做圆锥; ④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴, 其余各边旋转形成的曲面围成的几何 体叫做圆锥. 解析:根据圆锥定义知②中应改为以一条直角边旋转. 答案:②

3.以下命题正确的是________(填序号). ①通过圆台侧面上一点有无数条母线; ②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱; ③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台; ④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台. 解析:根据定义判定③正确;①中只有一条母线;②中两个平行截面应与底面平行;④ 中小棱锥底面应与大棱锥底面平行. 答案:③

知识点二 球的结构特征 4.半圆绕着直径旋转一周所得的几何图形是________. 解析:注意球与球面、半圆与半圆面的区别. 答案:球面

5. 已知半径为 5 的球的两个平行截面的周长分别为 6π 和 8π , 则两平行平面间的距离 为________. 解析:由截面的周长分别为 6π 和 8π 得两个截面半径分别为 3 和 4,又球的半径为 5, 故圆心到两个截面的距离分别为 4 和 3.故当两个截面在球心同一侧时,平行平面间的距离 为 4-3=1,当两个截面在球心两侧时,平行平面间的距离为 4+3=7. 答案:1 或 7

知识点三 组合体的有关问题 6.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如下图所示,则截面的可能图形是 ________(填序号). 解析:当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体对角线时得②,当截面 不平行于任何侧面也不过对角线时得①,但无论如何都不能得出④.
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答案:①②③

7.如下图,一个圆环面绕着过圆心的直线 l 旋转 180°,想象并说出它形成的几何体 的结构特征.试着说出它的名称为________.

解析:旋转形成的几何体是由两个同心球构成的,即大球中挖去一个同心的小球. 答案:空心球

8.描述下列几何体的结构特征.

解析:(1)两个圆台组合而成的组合体;(2)圆台挖去一个等高圆锥而成的组合体;(3) 圆锥挖去一个等高三棱锥而成的组合体.

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能 力 升 级 综合点一 空间旋转体的组合与分割 9.作一个圆柱的内接正三棱柱,又作这个三棱柱的内切圆柱,那么两个圆柱的底面半 径之比为________. 解析:两个圆柱的底面半径之比即为正三角形的外接圆与内切圆半径之比. 答案:2∶1

综合点二 旋转体中的简单计算 10.用平行于圆锥的底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是 1:3,这个 截面把圆锥的母线分为两段的比是________. 解析:面积比为相似比的平方. 答案:1( 3-1)

11.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹 角)是________. 解析:设底面半径为 r,母线为 l,则 2π r=π l, ∴l=2r. 答案:60°

综合点三 相切球的空间想象 12.把四个半径为 R 的小球放在桌面上,使下层三个,上层一个,两两相切,求上层小 球最高处离桌面的距离. 解析:如右图,由于四个半径为 R 的球两两相切,故四个球的球心构成一个棱长为 2R 的正四面体 O4O1O2O3,因为底面等边三角形 O1O2O3 的高为 3 ×2R,∴该棱锥的高 OO4= 2

(2R)2-?

?2 3 ? 2 2 6 R. R? = 3 ? 3 ?

∴上层小球最高处离桌面的距离

5

d=

2 6 ? 2 6? R+R+R=?2+ ?R. 3 3 ? ?

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