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2012年福建高考理科数学试卷与答案(word版)


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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数学试题(理工农医类)
第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. 若复数 z 满足 zi ? 1 ? i ,则 z 等于( ) A. ? 1 ? i B. 1 ? i C. ? 1 ? i D. 1 ? i 2. 等差数列 {an } 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 {an } 的公差为( A.1 B.2 下列命题中,真命题是( A. ?x0 ? R, e
x0



3.

C.3 )

D.4 B. ?x ? R,2 ? x
x 2

?0
a ? ?1 b

C. a ? b ? 0 的充要条件是 4. 5.

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件 )

一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 下列不等式一定成立的是( ) A. lg( x ?
2

1 ) ? lg x ( x ? 0) 4

B. sin x ? D.

1 ? 2( x ? k ? , k ? Z ) sin x

C. x 2 ? 1 ? 2 | x | ( x ? R) 6.

1 ? 1( x ? R ) x ?1
2

如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为( )

1 4 1 C. 6
A. 7.

1 5 1 D. 7
B.

设函数 D( x ) ? ?

?1, x为有理数 ?0, x为无理数

,则下列结论错误的是(



A. D (x ) 的值域为 {0,1} C. D (x ) 不是周期函数

B. D (x ) 是偶函数 D. D (x ) 不是单调函数

8.

x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12x 的焦点重合, 双曲线 则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 4 b
( ) A. 5 B. 4 2 C.3 D.5

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9.

?x ? y ? 3 ? 0 ? 若直线 y ? 2 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为 ?x ? m ?
x

A.

1 2

B.1

C.

3 2

D.2

10. 函数 f (x ) 在 [a , b] 上有定义, 若对任意 x1 , x2 ? [a, b] , f ( 有

x1 ? x 2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] , 则称 f (x ) 2 2

在 [a , b] 上具有性质 P 。设 f (x ) 在[1,3]上具有性质 P ,现给出如下命题: ① f (x ) 在 [1,3] 上的图像时连续不断的;② f ( x 2 ) 在 [1, 3] 上具有性质 P ; ③若 f (x ) 在 x ? 2 处取得最大值 1,则 f ( x ) ? 1 , x ? [1,3] ;④对任意 x1 , x2 , x3 , x4 ? [1,3] ,有

f(

x1 ? x2 ? x3 ? x4 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 )] 。 2 4
其中真命题的序号是( A.①② B.①③ ) C.②④ D.③④

第Ⅱ卷(非选择题
3

共 100 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。 11. (a ? x) 4 的展开式中 x 的系数等于 8,则实数 a ? _________。 12. 阅读右图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的 s 值等于___________ 13. 已知 ?ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的余弦值为_________。 14. 数列 {an } 的通项公式 a n ? n cos 则 S 2012 ? ___________。

n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn , 2

?a 2 ? ab, a ? b 15. 对于实数 a, b ,定义运算“ ? ” a ? b ? ? 2 : ,设 f ( x) ? (2 x ? 1) ? ( x ? 1) , ?b ? ab, a ? b
且关于 x 的方程为 f ( x ) ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1 , x2 , x3 ,则 x1 x2 x3 的取值范围是_______________。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 84 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 13 分) 受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有

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www.shuxue100.com 关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中 随机抽取 50 辆,统计书数据如下:

将频率视为概率,解答下列问题: (I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 X 1 ,生产一辆乙品牌轿车的利 润为 X 2 ,分别求 X 1 , X 2 的分布列; (III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经 济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由。

17. (本小题满分 13 分) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。 (1) sin 13 ? cos 17 ? sin 13 cos17 ;
2 0 2 0 0 0

(2) sin 15 ? cos 15 ? sin 15 cos15 ;
2 0 2 0 0 0

(3) sin 18 ? cos 12 ? sin 18 cos12 ;
2 0 2 0 0 0

(4) sin (?13 ) ? cos 48 ? sin(?18) cos48 ;
2 0 2 0 0 0

(5) sin (?25 ) ? cos 55 ? sin(?25) cos55 。
2 0 2 0 0 0

(I)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (II)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。

18. (本小题满分 13 分) 如图,在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AA ? AD ? 1 , E 为 CD 中点。 1

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www.shuxue100.com (Ⅰ)求证: B1 E ? AD1 ; (Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在一点 P ,使得 DP // 平面 B1 AE ?若存在,求 AP 的长;若不存在,说明理 由。 (Ⅲ)若二面角 A ? B1 A ? A1 的大小为 30 ,求 AB 的长。
0

19. (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 E :

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,离心率 e ? 。过 F1 的直线 2 2 a b

交椭圆于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 8。 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程。 (Ⅱ) 设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P , 且与直线 x ? 4 相较于点 Q 。 试探究: 在坐标平面内是否存在定点 M , 使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在, 求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由。

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? ex, a ? R
x 2

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www.shuxue100.com (Ⅰ)若曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求函数 f (x ) 的单调区间; (Ⅱ)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y ? f (x) 上存在唯一的点 P ,曲线在该点处的切线与曲线只有 一个公共点 P 。

21. 本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分。如果多做,则 、 、 按所做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑,并将所 选题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 设 曲 线 2 x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 1 在 矩 阵 A ? ? ?

?a ?b

0? ?(a ? 1) 对 应 的 变 换 作 用 下 得 到 的 曲 线 为 1? ?

x2 ? y2 ? 1。
(Ⅰ)求实数 a, b 的值。 (Ⅱ)求 A 的逆矩阵。 (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为几点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线 l 上两 点 M , N 的极坐标分别为 ( 2,0), (
2

? x ? 2 ? 2 cos? 2 3 ? (? 为参数) 。 , ) ,圆 C 的参数方程 ? 3 2 y ? ? 3 ? 2 sin ? ?

(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。 (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? m? | x ? 2 |, m ? R ,且 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 [?1,1] 。 (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a, b, c ? R ,且

1 1 1 ? ? ? m ,求证: a ? 2b ? 3c ? 9 a 2b 3c

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