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广州市2014-2015学年高二学业水平测试数学试题


2014-2015 学年广州市高中二年级学生学业水平测试? 数学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1、已知集合 M ? {1, 2, 4,8}, N ? {2, 4, 6,8} ,则 M N ? ( ) .

D. {1, B. {2,4, C. {1,6} 2,4,6, 8} 8} 1 2、下列函数中,与函数 y ? 定义域相同的函数为 ( ) . x 1 D. y ? ln x A. y ? B. y ? x C. y ? x ?2 x 3、设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a5 ? 9 , S2 ? 4 ,则 a2 ? ( ) . 3 D. 5 A. 1 B. 2 C. 4、某几何体的三视图及其尺寸如图所示,则这个几何体的体积是 ( ) . 5 A. 6 B. 9 D. 36 C. 18

A. {2,4}

4
侧视图

? 5、将函数 y ? cos x 的图像向左平移 个单位,得到函数 y ? f ( x) 2 3 的图像,则下列说法正确的是 ( ) . A. y ? f ( x) 的最小正周期为 ? B. y ? f ( x) 是偶函数 俯视图 ? ? D. y ? f ( x) 在区间 [0, ] 上是减函数 C. y ? f ( x) 的图像关于点 ( , 0) 对称 2 2 a b 6、已知 2 ? 2 ? 1 ,则下列不等关系式中正确的是 ( ) . 1 1 1 1 D. ( ) a ? ( )b A. sin a ? sin b B. log 2 a ? log 2 b C. ( ) a ? ( )b 3 3 3 3
7、在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 5 , BC ? 6 ,则 AB BC ? (

正视图

).

D. ?36 B. 36 C. ?18 ? x ? y ? 6 ? 0, ? 8、设 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 2 ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ( ) ?3 x ? y ? 2 ? 0, ? A. ? 10 B. ? 6 C. ? 1 D. 0

A. 18

x ?1 9、设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? a ? 3 ( a 为常数) ,则 f (?1) 的

值为 (

)
B. ? 3 C. ? 2 D. 6

A. ? 6

10、小李从甲地到乙地的平均速度为 a ,从乙地到甲地的平均速度为 b (a ? b ? 0) ,他往返 甲乙两地的平均速度为 v ,则 (

)
C.

A. v ?

a?b 2

B. v ? ab

ab ? v ?

a?b 2

D. b ? v ? ab

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
-1-

11、过点 (?3,0) 且与直线 x ? 4 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 ______ 12、如图,在半径为 1的圆内随机撒 100 粒豆子,有 14粒落在阴影部分, 据此估计阴影部分的面积为 ______ 13、执行如图所示的程序框图,则输出的 z 的值是 ______


开始

x ? 1, y ? 2

z ? x? y

z ? 20 ?

x? y

y?z



输出z

结束

14、在 ?ABC 中,已知 AB ?

6 , cosC ?

3 , A ? 2C ,则 BC 的长为 ______ 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15、 (本小题满分 12 分)
o

?? ?? f ?t ? ? 4 sin? t ? ?, t ? ?0,24?. ? 12 3 ?

实验室某一天的温度(单位: C )随时间 t (单位: h )的变化近似满足函数关系:

(1)求实验室这一天上午 10 点的温度; (2)当 t 为何值时,这一天中实验室的温度最低.

16、 (本小题满分 12 分) 近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为“厨余垃圾” 、 “可回收垃 圾” 、 “有害垃圾”和“其他垃圾”等四类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃 圾的正确分类投放情况,现随机抽取了该市四类垃圾箱总计 100 吨生活垃圾,数据统计如下 (单位:吨) : “厨余垃圾”箱 “可回收垃圾” 箱 “有害垃圾”箱 “其他垃圾”箱 24 4 1 2 厨余垃圾 4 19 2 3 可回收垃圾 2 2 14 1 有害垃圾 1 5 3 13 其他垃圾 (1)试估计“可回收垃圾”投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误 的概率. ..

P

17、 (本小题满分 14 分)
E

-2A B C D

如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平 面 ABCD , PA ? AB ,点 E 为 PB 的中点. 面 ACE ; (1)求证: PD // 平 面 ACE ? 平 面 PBC . (2)求证: 平

18、 (本小题满分 14 分) 已知直线 ax ? y ? 5 ? 0 与圆 C:x ? y ? 9 相交于不同两点 A , B .
2 2

(1)求实数 a 的取值范围 (2)是否存在实数 a ,使得过点 P?? 2, 1? 的直线 l 垂直平分弦 AB ?若存在,求出 a 的 值;若不存在,请说明理由.

19、 (本小题满分 14 分)

-3-

已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,且 a1 , a1 ? a2 , 2?a1 ? a4 ? 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?

? an ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn ? 6 . n ?1 ? ?2 ?

20、 (本小题满分 14 分)

已知 a ? R ,函数 f ?x? ? x x ? a .

(1)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ?x ? 的单调递增区间; (2)求函数 g ?x ? ? f ?x ? ?1 的零点个数.

-4-

数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 C 5 D 6 D 7 C 8 B 9 A 10 D

二、填空题 11、 x ? 4 y ? 3 ? 0 三、解答题 15、解: (1)依题意 f (t ) ? 4sin( 12、 0.14? 13、 21 14、 2 2

t ? ), t ? [0, 24] 12 3

?

?

实验室这一天上午 10 点,即 t ? 10 时, f (10) ? 4sin( 所以上午 10 点时,温度为 4 C . (2)因为 0 ? t ? 24 ,所以 ?

?10 ? ) ? 4sin ? 4 , 12 3 2

?

?

?

?

3 12 3 ? ? ? 5? ? 5? t ? ,即 ? ? ? ? ] 令? ? ,所以 y ? 4sin ? , ? ? [ ? , 12 3 3 3 3 3 3? 3? ? ?4 故当 ? ? 时,即 t ? 22 时, y 取得最小值, ymin ? 4 sin 2 2
故当 t ? 22 时,这一天中实验室的温度最低。 16、解: (1)依题意得,“可回收垃圾”共有 4 ? 19 ? 2 ? 3 ? 28 (吨) 其中投放正确的,即投入了“可回收垃圾”箱的有 19 吨 设事件 A 为“可回收垃圾投放正确”

?

?

t?

?

?

5? , 3

? 所以,可估计“可回收垃圾”投放正确的概率为 P(A)
(2)据数据统计,总共抽取了 100 吨生活垃圾

19 28

其中“厨余垃圾”,“可回收垃圾”,“有害垃圾”,“其他垃圾”投放正确的数量 分别为 24 吨,19 吨,14 吨,13 吨。 故生活垃圾投放正确的数量为 24 ? 19 ? 14 ? 13 ? 70 吨 所以,生活垃圾投放错误的总量为 100 ? 70 ? 30 吨 设事件 B “生活垃圾投放错误” 故可估计生活垃圾投放错误的概率为 P ( B ) ?

30 3 ? 100 10

-5-

17、证明: (1)连 BD 交 AC 于 O ,连 EO ? ABCD 为矩形,? O 为 BD 中点 ? E为PB中点,? EO ∥ PD

P

? EO ? 面ACE , PD ? 面ACE , ? PD ∥面 ACE(2) ? PA ? 面ABCD, BC ? 面ABCD ,? PA ? BC E ? ABCD 为矩形,? BC ? AB ? PA ? AB ? A ,? BC ? 面PAB ? AE ? 面PAB ,? BC ? AE A ? AP ? AD , E 为 PB 中点,? AE ? PB ? BC ? PB ? B ,? AE ? 面PBC B ? AE ? 面ACE ,? 面ACE ? 面PBC

D O C

18、解: (1)圆 C 的圆心 C : (0,0) , r ? 3 , C 到直线 ax ? y ? 5 ? 0 距离为 d ?

5 a2 ?1

? 直线 ax ? y ? 5 ? 0 与圆 C 相交,? d ? r 4 4 ?5 ? 3 a 2 ? 1 ,? a ? 或 a ? ? 3 3 (2)? AB 为圆上的点,? AB 的垂直平分线过圆心,? lPC 与 ax ? y ? 5 ? 0 垂直 1 1 1 ? ? , k AB ? a ,? ? a ? ?1 ,? a ? 2 而 k PC ? 2 ?2 2 4 4 ? a ? 2 符合(1)中的 a ? 或 a ? ? 3 3 ? 存在 a ? 2 ,使得过 P(?2,1) 的直线 l 垂直平分弦 AB
19、解: (1) {an } 为等差数列,? a2 ? a1 ? d ? a1 ? 2 , a4 ? a1 ? 3d ? a1 ? 6

? a1 , a1 ? a2 ,2(a1 ? a4 ) 成等比数列

?(a1 ? a2 )2 ? 2a1 (a1 ? a4 ) ,故有 (2a1 ? 2)2 ? 2a1 (2a1 ? 6) , 解得 a1 ? 1 ,?an ? 1 ? 2 ? (n ?1) ? 2n ?1 . a 2n ? 1 ? n ?1 (2) nn ?1 2 2 1 3 5 2n ? 1 S n ? 0 ? 1 ? 2 ? ... ? n ?1 ① 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 1 Sn ? ? 2 ? 3 ? . .? . ② 1 2 2 2 2 2n
1 1 ( 1 ? ) n ?1 1 1 1 1 1 2n ? 1 2n ? 1 2 2 S ? 1 ? 2 ( ? ? ? ... ) ? ① ? ②得 ? 1? 2? ? n n 1 2 3 n ?1 n 1 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 2n ? 3 1 2n ? 1 4 2n ? 1 ? 1 ? 2 ? n?2 ? n ? 3 ? ( n ? n ) ? 3 ? 2n 2 2 2 2 2n ? 3 ? Sn ? 6 ? n ?1 . 2 2n ? 3 2n ? 3 ? n ? N * , n ?1 ? 0 ,? S n ? 6 ? n ?1 ? 6 . 2 2
-6-

20、解: (1)当 a ? 2 时, f ? x ? ? x x ? 2 当 x ? 2 时, f ? x ? ? x ? 2x , f ? x ? ? x ? 2x 的对称轴为 x ? 1
2 2

所以, f ? x ? ? x ? 2x 的单调递增区间为 ? 2, ???
2

当 x ? 2 时, f ? x ? ? ?x ? 2x , f ? x ? ? ?x ? 2x 的对称轴为 x ? 1
2 2

所以, f ? x ? ? ?x ? 2x 的单调递增区间为 ? ??,1?
2
2 ? ? x ? ax , ? x ? a ? (2)令 g ( x) ? f ( x) ? 1 ? 0 ,即 f ( x) ? 1 , f ? x ? ? ? 2 ? ?? x ? ax , ? x ? a ? 求函数 g ( x) 的零点个数,即求 y ? f ( x) 与 y ? 1 的交点个数; a 2 2 当 x ? a 时, f ? x ? ? x ? ax , f ? x ? ? x ? ax 的对称轴为 x ? 2 a 2 2 当 x ? a 时, f ? x ? ? ?x ? ax , f ? x ? ? ?x ? ax 的对称轴为 x ? 2

①当 a ? 0 时, f ? x ? ? x x , 故由图像可得,

y ? f ? x ? 与 y ? 1 只存在一个交点.
②当 a ? 0 时,

a ? a ,且 2

?a? a f ? ?? , ?2? 4
2

2

故由图像可得,

?a? a 1 当 a ? 2 时, f ? ? ? ?1, ?2? 4 y ? f ? x ? 与 y ? 1 只存在两个交点;
?a? a 2 当 0 ? a ? 2 时, f ? ? ? ?1, ?2? 4 y ? f ? x ? 与 y ? 1 只存在一个交点; ?a? a 3 当 a ? 2 时, f ? ? ? ?1, ?2? 4 y ? f ? x ? 与 y ? 1 只存在三个交点.
③当 a ? 0 时,
2 2

a ? a, 2

故由图像可得,

y ? f ? x ? 与 y ? 1 只存在一个交点.
当 a ? 2 时, g ? x ? 存在两个零点; 当 a ? 2 时, g ? x ? 存在一个零点.

综上所述:当 a ? 2 时, g ? x ? 存在三个零点;

-7-


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