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高三圆锥曲线练习题 (自组卷)


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绝密★启用前

2012-2013 学年度???学校 12 月月考卷

试卷副标题
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释)

1.设 F1 和 F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, 若 F1 , F2 , P(0,2b) 是正三角形的三个顶 a2 b2


点,则双曲线的离心率为 (

3 A. 2
【答案】C

5 B. 2

C. 2

D.3

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释)

2.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , ,F2 (c , ,若椭圆上存在点 P (异 0) 0) a 2 b2


(1)求圆 A 的方程; (2)当 | MN |? 2 19 时,求直线 l 的方程.
uuu uur r (3) BQ ? BP 是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.
2 2 【答案】 (1) ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 20 (2) x ? ?2 或 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 (3)是定值,为 ?5 ,理由见解析

于长轴的端点) ,使得 c sin ?PF F2 ? a sin ?PF2 F ,则该椭圆离心率的取值范围是 1 1 【答案】

评卷人

得分 三、解答题(题型注释)

6. (本小题满分 12 分)如图,已知椭圆 3.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 an ? S n ? 2n . (1)求 an ; (2)令 bn ? n ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . (3)设 c n ? (2 ? n)(a n ? 2) ,若对任意的正整数 n ,均有 c n ? (??, m) ,求实数 m 的取值范围.
n ?1 n ?1 【答案】解: (1) an ? 2 ? (?1)( ) , 故a n ? 2 ? ( ) .

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的 2 2 a b

左、右焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ?1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲 线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D .

1 2

1 2

(3)m ? ( ,? ?) 4. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点在 x 轴上. 且经过点 M ?1, 2 ? , (1)求抛物线 C 的方程; (2)若动直线 l 过点 P ? 3,0 ? ,交抛物线 C 于 A, B 两点,是否存在垂直于 x 轴的直线 l ? 被以 AP 为直径的圆截 得的弦长为定值?若存在,求出 l ? 的方程;若不存在,说明理由. 【答案】 (1) y 2 ? 4 x (2)存在, x ? 2 5.(本小题满分 14 分)如图所示,已知以点 A(?1, 2) 为圆心的圆与直线 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切.过点 B ( ?2,0) 的 动直线 l 与圆 A 相交于 M , N 两点, Q 是 MN 的中点,直线 l 与 l1 相交于点 P . (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,证明 k1·2 ? 1 ; k (Ⅲ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB · CD 恒成立?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说明理由.

1 4

【答案】 (Ⅰ)

x2 y 2 ? ?1。 (II)(III)见解析。 4 4

7.(本题满分 13 分)

x2 y2 已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 A、B 两点. a b
(Ⅰ)若椭圆的离心率为

3 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 3

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

2 ? 1 ?e ? 1

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

1 2 (Ⅱ)若向量 OA 与向量 OB 互相垂直(其中 O 为坐标原点) ,当椭圆的离心率 e ? [ , ] 时,求椭圆的长 2 2
轴长的最大值.

??? ? ???? ??? ? | FP | ? | FP2 | ? | FP |? 6 ; 1 3
(2)当 n ? 3 时,若 FP ? FP ? FP ? ?? FP ? 0 , 1 2 3 n 求证: | FP | ? | FP | ? | FP | ??? | FP |? np ; 1 2 3 n (3) 当 n ? 3 时,某同学对(2)的逆命题,即: “若 | FP | ? | FP | ? | FP | ??? | FP |? np ,则 FP ? FP ? FP ? ?? FP ? 0 .” 1 2 3 n 1 2 3 n 开展了研究并发现其为假命题. 请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究: ① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例(本研究方向最高得 4 分) ; ② 对任意给定的大于 3 的正整数 n ,试构造该假命题反例的一般形式,并说明你的理由(本研究方向最高得 8 分) ; ③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真,请写出你认为需要补充的一个条件,并说明加上该条件后,能使 该逆命题为真命题的理由(本研究方向最高得 10 分). 【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向,则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得 分. 【答案】见解析 10. (本小题 13 分)已知离心率为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过左焦点 F1 且不与 x 轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 M 、 N 两点,若 OM ? ON ? 原点) ,求直线 l 的方程. 【答案】 (1)

??? ???? ???? ? ??? ?

???? ?

x2 y2 ? ?1 , 【答案】解: (Ⅰ)椭圆的方程为 3 2

??? ?

????

????

?| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? [1 ? (?1) 2 ] ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
6 12 8 3 ? 2 ( )2 ? ? 5 5 5


??? ?

????

??? ?

????

??? ???? ???? ?

???? ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

(II)长轴长的最大值为 6 . 8. (本小题满分 13 分) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A1 ( ? 2, 0), A2 ( 2, 0), P ( x , y ), M ( x ,1), N ( x , ?2) , 若 实 数

? 使得

???? ???? ???? ???? ? ? ? ? 2 OM ? ON ? A1 P ? A2 P ( O 为坐标原点)
(1)求 P 点的轨迹方程,并讨论 P 点的轨迹类型; (2)当 ? ?

x2 y 2 6 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 经过点 P( 3,1) . a b 3

2 时,若过点 B(0, 2) 的直线与(1)中 P 点的轨迹交于不同的两点 E , F ( E 在 B , F 之间) , 2

试求 ?OBE 与 OBF 面积之比的取值范围。 【答案】 (1) (1 ? ? 2 ) x 2 ? y 2 ? 2(1 ? ? 2 ) ; 1 ○. ? ? ?1 时方程为 y ? 0 轨迹为一条直线; ③. ? ? 0 时方程为 x 2 ? y 2 ? 2 轨迹为圆; ③. ? ? ( ?1, 0) ? (0,1) 时方程为

???? ???? ?

4 6 ( O 为坐标 3tan ?MON

x2 y2 ? ? 1 (2) 6 2

l 的方程是 y ? ?

3 ( x ? 2) 3

x2 y 2 1 11. (本题满分 16 分) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率为 , F1 、F 2 分别为椭圆 C 的左、 2 a b
右焦点,若椭圆 C 的焦距为 2. ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设 M 为椭圆上任意一点,以 M 为圆心, MF 为半径作圆 M ,当圆 M 与椭圆的右准线 l 有公共点时,求 1 △ MF 1F 2 面积的最大值.

x2 y2 ? ? 1 轨迹为椭圆 ; 2 2(1 ? ? 2 ) x2 y2 ? ? 1 轨迹为双曲线; 2 2(? 2 ? 1)

④. ? ? ( ?? , ?1) ? (1, ?? ) 时方程为

S 1 (2) ?OBE ? ( ,1) S?OBF 3
9. 设点 F 是抛物线 L: 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点,P、P 、P、 、P 是抛物线 L 上的 n 个不同的点 n ? 3, ( y 1 2 3 ? n

【答案】⑴

x2 y 2 ? ? 1 .⑵ S? MF1F2 4 3

?

?

max

1 15 15 . ? ? 2? ? 2 3 3

2 12. 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0 ) 的对称轴上的定点 M (m, 0)(m ? 0) , 作直线 AB 与抛物线相交于 A, B 两点.

n ? N* ).
(I)试证明 A, B 两点的纵坐标之积为定值; (1) 当 p ? 2 时,试写出抛物线 L 上的三个定点 P1 、 P 、 P 的坐标,从而使得 2 3
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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

(II)若点 N 是定直线 l : x ? ?m 上的任一点,试探索三条直线 AN , MN , BN 的斜率之间的关系,并给出证 明. 【答案】 (1)见解析

∴圆方程为: x 2 ? y 2 ?

4mn 3( 2m 2 ? n 2 )

x?

2n 2 3( m 2 ? n 2 )

y?

? 15n 2 ? 18m 2 9( 2m 2 ? n 2 )

?0

(2)见解析
3 x y ,F1、F2 为椭圆 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点与上顶点,椭圆的离心率 e ? 2 a 2 b2
2 2

将(0,1)代入显然成立,故存在 T(0,1)符合题意。 15.已知 F 是椭圆

???????12 分

13.已知 A、D 分别为椭圆 E:

的左、右焦点,点 P 是线段 AD 上的任一点,且 PF ? PF2 的最大值为 1 . 1 (1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB(O 为坐标 原点) ,若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由; (3) 设直线 l 与圆 C : x ? y ? R (1 ? R ? 2) 相切于 A1, l 与椭圆 E 有且仅有一个公共点 B1, R 为何值时, 且 当
2 2 2

???? ???? ?

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点, A 是椭圆短轴上的一个顶点,椭圆的离心率为 ,点 2 2 a b

B 在 x 轴上, AB ? AF , A, B, F 三点确定的圆 C 恰好与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在过 F 作斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点, P 为线段 MN 的中点,设 O 为椭圆中 心,射线 OP 交椭圆于点 Q ,若 OM ? ON ? OQ ,若存在求 k 的值,若不存在则说明理由.

|A1B1|取得最大值?并求最大值.
3 x2 4 2 ,? a 2 ? 4, b 2 ? 1, c(1) 椭圆方程 ? y 2 ? 1 ; 【答案】 ? 3,? (2)存在圆心在原点的圆 x2 ? y 2 ? ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 2 4 5

【答案】20、解:

恒有两个交点 A,B; (3)1. 14. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 的连线构成等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程; (2) 动直线 l : mx ? ny ?

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1, ) ,且两焦点与短轴的一个端点 2 2 a b

1 n ? 0(m, n ? R) 交椭圆 C 于 A、 两点, B 试问: 在坐标平面上是否存在一个定点 T, 3

使得以 AB 为直径的圆恒过点 T。若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由. 【 答 案 】 1 ) 两 焦 点 与 短 轴 的 一 个 端 点 的 连 线 构 成 等 腰 直 角 三 角 形 , a ? 2b, b ? c , 椭 圆 ( ,

C:

1 1 x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1, ) ,代入得 2 ? 2 ? 1,得 b2 ? 1 , a 2 ? 2 2 a 2b 2 a b
?????????4 分

x2 ? y2 ? 1 2

(2)i)若 n=0, l : x ? 0, 圆 x 2 ? y 2 ? 1
1 1 16 ii)若 m=0, l : y ? ? , 圆 x 2 ? ( y ? ) 2 ? 且过定点(0,1)?????????6 分 3 3 9

1 ? 4 16 ?mx ? ny ? n ? 0 iii) m ? 0时 ? ? (2m2 ? n2 ) x 2 ? mnx ? n2 ? 0 3 3 9 ? x2 ? 2 y 2 ? 2 ?
设 A(x1,y1),B(x2,y2) ,则以 AB 为直径的圆的方程为 (x-x1) (x-x2)+(y-y1) (y-y2)=0
? ? 4mn ? ? 2n 2 ? y1 ? y 2 ? ? x1 ? x 2 ? 3( 2m 2 ? n 2 ) ? 3( 2m 2 ? n 2 ) ? 且? ∵? ? 16n 2 n 2 ? 18m 2 ?x x ? ? y1 y 2 ? 1 2 ? ? 9( 2m 2 ? n 2 ) 9( 2m 2 ? n 2 ) ? ?
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1 ?圆心( a, 0), 半径r ? a 2 ?圆心到直线x ? 3 y ? 3 ? 0的距离d 1 a?3 2 d? ?a 2 ?a ? 2 x2 y 2 ? 椭圆方程为 ? ? 1     6' 4 3

???????8 分

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

???? ???? ?

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∴不存在

16.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上纵坐标为 ? p 的点 M 到焦点的距离为 2. (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)如图, A, B, C 为抛物线上三点,且线段 MA , MB , MC 与 x 轴交点的横坐标依次组成公差为 1 的等 差数列,若 ?AMB 的面积是 ?BMC 面积的
1 ,求直线 MB 的方程. 2

y B A O M (第 22 题)

C

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

x

?l : y ? k ( x ? 1) (2) ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12

(1) (2)
2’ 【答案】 (本题 15 分):(Ⅰ)解:设 M ( x0 ,? p) , 则 (? p) 2 ? 2 px0 , x0 ?
p 由抛物线定义,得 x0 ? (? ) ? 2 所以 p ? 2, x0 ? 1 . 2 p , 2

将(1)代入(2)可得: 2 2 2 2 (3+4k )x +8k x+(4k -12)=0

8k x1 ? x 2 ? ? 3 ? 4k 2 x ? x2 4k 2 ? xp ? 1 ?? 2 3 ? 4k 2 3k y p ? k ( x p ? 1) ? 3 ? 4k 2 又? OM ? ON ? 2OP 且OM ? ON ? OQ ? OQ ? 2OP ? ? 8k 2 x0 ? 2 x p ? ? ? 3 ? 4k 2 ?? ? y ? 2 y ? 6k p ? 0 3 ? 4k 2 ?
2 2

2

??5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为 y 2 ? 4 x , M (1,?2) .

2'

设 A(

y y1 y , y1 ) , B ( 2 , y 2 ) , C ( 3 , y 3 ) ( y1 , y 2 , y 3 均大于零) 4 4 4

2

2

2

??6 分

MA , MB , MC 与 x 轴交点的横坐标依次为 x1 , x 2 , x3 .
(1)当 MB ? x 轴时,直线 MB 的方程为 x ? 1 ,则 x1 ? 0 ,不合题意,舍去. ??7 分 (2) MB

k ? 与 x 轴不垂直时, MB

y2 ? 2 y2 4
2

?

2'
设直线 MB 的方程为 y ? 2 ?

?1

4 y2 ? 2 ,

x y 又? 0 ? 0 ? 1 4 3 2 8k 6k ? 3(? ) 2 ? 4( ) 2 ? 12 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
3×64k +4×36k =12(4k +3) 4 2 4 2 64k +48k =4(16k +24k +9) 2 2 48k =96k +36 2’ 2 -48k =36 ∴k 无解
4 2 2 2

4 ( x ? 1) ,即 4 x ? ( y 2 ? 2) y ? 2 y 2 ? 0 , y2 ? 2

令 y ? 0 得 2 x 2 ? y 2 ,同理 2 x1 ? y1 ,2 x3 ? y 3 , 因为 x1 , x 2 , x3 依次组成公差为 1 的等差数列, 所以 y1 , y 2 , y 3 组成公差为 2 的等差数列. 设点 A 到直线 MB 的距离为 d A ,点 C 到直线 MB 的距离为 d C , 因为 S ?BMC ? 2S ?AMB ,所以 d C =2 d A ,
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??10 分

??12 分

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

所以

y 3 2 ? ( y 2 ? 2) y 3 ? 2 y 2 16 ? ( y 2 ? 2) 2

?2

y1 2 ? ( y 2 ? 2) y1 ? 2 y 2 16 ? ( y 2 ? 2) 2

??14 分

过点 A 的切线方程为: y ? y1 ?

1 x1 ( x ? x1 ) ,即 x1x ? 2( y ? y1 ) 2

同理求得过点 B 的切线方程为: x2 x ? 2( y ? y2 ) ??15 分 ∵直线 PA、PB 过 P( x0 , y0 ) ,∴ x1 x0 ? 2( y0 ? y1 ) , x2 x0 ? 2( y0 ? y2 ) ∴点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在直线 xx0 ? 2( y0 ? y) 上,∵直线 AB 过定点 M 0 (0, m) , ∴ 0 ? 2( y0 ? m) ,即 y0 ? ?m. ∴两条切线 PA、PB 的交点 P( x0 , y0 ) 在定直线 y ? ?m 上. ??6 分 (Ⅱ) 设 P( x3 , y3 ), Q( x4 , y4 ) ,设直线 l 的方程为: y ? kx ? m , ??7 分 则直线 PQ 的方程为: y ? ?

得 y 2 ? 4 ? 2 y 2 ,即 y 2 ? 4 ? 2 y 2 ,所以 y 2 ? 4 , 所以直线 MB 的方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0 解法二: (Ⅰ)同上.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为 y 2 ? 4 x , M (1,?2) .

由题意,设 MA, MB, MC 与 x 轴交点的横坐标依次为 t ? 1, t , t ? 1 设 A( x1 , y1 ) , C ( x 2 , y 2 ) ( y1 , y 2 均大于零) .

(1)当 MB ? x 轴时,直线 MB 的方程为 x ? 1 ,则 x1 ? 0 ,不合题意,舍去.

(2) MB 与 x 轴不垂直时, k MB ? 设直线 MB 的方程为 y ? 2 ?

2 t ?1

2 ( x ? 1) ,即 2 x ? (t ? 1) y ? 2t ? 0 , t ?1 同理直线 MA 的方程为 2 x ? (t ? 2) y ? 2(t ? 1) ? 0 ,

1 ? 4 ?y ? ? x ? n ? x 2 ? x ? 4n ? 0 , k ? k ? x2 ? 4 y ?
4 ?4? ? x3 ? x4 ? ? , x3 ? x4 ? ?4n , ? ? ? ? ? 16n ? 0 k ?k?
设弦 PQ 的中点 G( x5 , y5 ) ,则 x5 ? ??12 分
2

? y 2 ? 4x 由? ?2 x ? (t ? 2) y ? 2(t ? 1) ? 0



得 y 2 ? 2(t ? 2) y ? 4t ? 4 ? 0

? ? x ? (t ? 1) 则 ?2 y1 ? ?4t ? 4, 所以 ? 1 , ? y1 ? 2t ? 2 ?
2

2 ? ? x ? (t ? 1) 同理 ? 2 , 设点 A 到直线 MB 的距离为 d A , C 到直线 MB 的距离为 d C , 点 ? y 2 ? 2t ? 2 ?

因为 S ?BMC ? 2S ?AMB ,

x3 ? x4 2 1 2 ? ? , y5 ? ? x5 ? n ? 2 ? n 2 k k k 2 2 ∵弦 PQ 的中点 G( x5 , y5 ) 在直线 l 上,∴ 2 ? n ? k ? (? ) ? m , k k 2 2 2 即 n ? k ? (? ) ? m ? 2 ? m ? 2 ? 2 ② k k k

所以 d C =2 d A , 所以
2(t ? 1) 2 ? (t ? 1)(2t ? 2) ? 2t 4 ? (t ? 1) 2 ?2 2(t ? 1) 2 ? (t ? 1)(2t ? 2) ? 2t 4 ? (t ? 1) 2

2 1 ?4? ②代入①中,得 ? ? ? 16(m ? 2 ? 2 ) ? 0 ? 2 ? m ? 2. k k ?k?
??14 分

2



1 ? 1? | PQ |? 1 ? ? ? ? ? | x3 ? x4 |? 1 ? 2 ? ( x3 ? x4 ) 2 ? 4 x3 x4 k ? k? 1 1 2 ? 4? ? 4? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 16n ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 16( m ? 2 ? 2 ) k k k ? k? ? k? 1 1 ? 1 m ? 3 ? ? m ?1 ? 1 ? 4 ? 4 ? (m ? 3) 2 ? m ? 2 ? 4 ? ? 2 ? ? ?? ? ( ? m ? 2) k k 2 ? ? 2 ? k2 ?k
2 2 2 2

2

化简得 2t ? 4 ? 2 2t ,即 t ? 2 , 所以直线 MB 的方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0
2

??15 分

17. (12 分) (已知抛物线 x ? 4 y ,过定点 M 0 (0, m)(m ? 0) 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点. (Ⅰ) 分别过 A、 作抛物线的两条切线, B 为切点, B A、 求证: 这两条切线的交点 P( x0 , y0 ) 在定直线 y ? ?m 上. (Ⅱ)当 m ? 2 时,在抛物线上存在不同的两点 P、Q 关于直线 l 对称,弦长|PQ|中是否存在最大值?若 存在,求其最大值(用 m 表示) ,若不存在,请说明理由.

由已知 m ? 2 ,当 ?

?m ? 2 ? 0 ? 2 ? m ? 3 时, 弦长|PQ|中不存在最大值. m?3? 0 ?
m?3 ,此时,弦长|PQ|中存在最大值, 2

当 m ? 3 时,这时 m ? 2 ?

1 2 1 【答案】(Ⅰ)由 y ? x ,得 y ' ? x ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 4 2
第 11 页 共 24 页 ◎

18.已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点. a 2 b2

第 12 页 共 24 页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

1 x?n, k

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

(1)若椭圆的离心率为

3 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 3 1 2 ] 时,求椭圆的 2 2

(2)若向量 OA 与向量 OB 互相垂直(其中 O 为坐标原点) ,当椭圆的离心率 e ? [ , 长轴长的最大值 【答案】解: (1)? e ?

1 2 ? ?e? 2 2 4 1 ? ? ?2 3 1 ? e2
由此得

1 1 1 3 ? ? e2 ? ? ? 1 ? e2 ? 4 2 2 4 7 1 7 3 ? ? 1? ? 3? ? a 2 ? 适合条件a 2 ? b 2 ? 1 2 3 1? e 6 2

42 6 ?a? 6 2

?

42 ? 2a ? 6 3

故长轴长的最大值为 6 .????12 分

3 c 3 ,2c ? 2,即 ? 3 2 3
????2 分

? a ? 3, 则b ? a 2 ? c 2 ? 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

x2 y2 ∴椭圆的方程为 ? ?1 3 2

19.(本题满分 15 分) 设抛物线 C1:x 2=4 y 的焦点为 F,曲线 C2 与 C1 关于原点对称. (Ⅰ) 求曲线 C2 的方程; (Ⅱ) 曲线 C2 上是否存在一点 P(异于原点) ,过点 P 作 C1 的两条切线 PA,PB,切点 A,B,满足| AB |是 | FA | 与 | FB | 的等差中项?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由

? x2 y2 ?1 ? ? 联立 ? 3 消去y得 : 5 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 2 ? y ? ?x ? 1 ?
6 3 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? 5 5
6 12 8 3 ?| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? [1 ? (?1) 2 ] ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 ( ) 2 ? ?5 分 ? 5 5 5
(II) 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) y F O x

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? OA ? OB ? OA ? OB ? 0,即x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? x2 y 2 ?1 ? ? 由? a 2 b2 消去y得(a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 3 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ? y ? ?x ?1 ?

(第 22 题)

由? ? (?2a 2 ) 2 ? 4a 2 (a 2 ? b 2 )(1 ? b 2 ) ? 0 整理得 a 2 ? b 2 ? 1 ????7 分
2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) x1 x2 ? 2 a 2 ? b2 a ? b2 ? y1 y2 ? (? x1 ? 1)(? x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 又x1 ? x2 ? 2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0得 : 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ? 2 ? 2 ?1 ? 0 a ? b2 a ? b2
整理得: a ? b ? 2a b ? 0 ????9 分
2 2 2 2

【答案】(Ⅰ)解;因为曲线 C1 与 C2 关于原点对称,又 C1 的方程 x ? 4 y ,
2

所以 C2 方程为 x ? ?4 y .
2

(Ⅱ)解:设 P( x0 , ?

2 x0 ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , x1 ? x2 . 4

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 e 2 代入上式得
2a 2 ? 1 ? 1 1 ? e2 ?a2 ? 1 1 (1 ? ) ????10 分 2 1 ? e2

1 2 1 1 x 的导数为 y? ? x ,则切线 PA 的方程 y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) , 4 2 2 1 2 1 又 y1 ? x1 ,得 y ? x1 x ? y1 , 4 2 1 2 1 因点 P 在切线 PA 上,故 ? x0 ? x1 x0 ? y1 . 4 2 y?

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第 14 页 共 24 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

1 2 1 x0 ? x2 x0 ? y2 . 4 2 1 2 1 所以直线 ? x0 ? x0 x ? y 经过 A, B 两点, 4 2 1 2 1 1 1 2 即直线 AB 方程为 ? x0 ? x0 x ? y ,即 y ? x0 x ? x0 , 4 2 2 4
同理, ? 代入 x ? 4 y 得 x ? 2 x0 x ? x ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 2 x0 , x1 x2 ? ? x
2

y

A

· F

1

O

· F2

B

x

2

2 0

2 0,

所以 | AB |? 1 ?

1 2 2 2 x0 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? (8 ? 2 x0 ) ? x0 , 4
【答案】解: (1)由 kl ? ?

由抛物线定义得 | FA |? y1 ? 1, | FB |? y2 ? 1.

1 1 2 x0 ( x1 ? x2 ) ? x0 ? 2 , 2 2 3 2 2 2 2 由题设知, | FA | ? | FB |? 2 | AB | ,即 ( x0 ? 2) ? 4 x0 (8 ? 2 x0 ) , 2
所以 | FA | ? | FB |? ( y1 ? y2 ) ? 2 ?

则点 A 到直线 l 的距离 d1 ? a sin(180? ? 150?) ?
2

a , 2
2 2

32 3 ? 52 1 2 13 ? 8 3 2 解得 x0 ? ,从而 y0 ? ? x0 ? . 23 4 23
综上,存在点 P 满足题意,点 P 的坐标为

故直线 l 被圆 A 截得的弦长为 L1 ? 2 (a ? c) ? d1 ? 2 (a ? c) ? ( ) ,
2

a 2

直线 l 被圆 B 截得的弦长为 L2 ? 2a cos(180? ?150?) ? 3a ,

(3 分)

(

2 23(8 3 ? 13) 13 ? 8 3 2 23(8 3 ? 13) 13 ? 8 3 , ) 或 (? , ). 23 23 23 23

a 2 (a ? c) 2 ? ( ) 2 L 15 2 ? 15 , 据题意有: 1 ? ,即 6 L2 6 3a
2 化简得: 16e ? 32e ? 7 ? 0 ,

(5 分)

20.已知椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 A、B 分别为其左、右顶点,点 F1、F2 分别为其左、右 a 2 b2
3 x 被圆 A 3

焦点,以点 A 为圆心, AF1 为半径作圆 A ;以点 B 为圆心, OB 为半径作圆 B ;若直线 l : y ? ?

7 1 或 e ? ,又椭圆的离心率 e ? (0, 1) ; 4 4 1 故椭圆 C 的离心率为 e ? . 分) (7 4
解得: e ? (2)假设存在,设 P 点坐标为 (m, n) ,过 P 点的直线为 L ; 当直线 L 的斜率不存在时,直线 L 不能被两圆同时所截; 故可设直线 L 的方程为 y ? n ? k ( x ? m) , 则点 A(?7,0) 到直线 L 的距离 D1 ? 由(1)有 e ?

和圆 B 截得的弦长之比为 (1)求椭圆 C 的离心率;

15 ; 6

3 (2)己知 a ? 7 ,问是否存在点 P ,使得过 P 点有无数条直线被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比为 ;若存在, 4 请求出所有的 P 点坐标;若不存在,请说明理由.

? 7 k ? km ? n 1? k 2



c 1 3a 21 ? ,得 rA ? a ? c ? = , a 4 4 4
2 2

故直线 L 被圆 A 截得的弦长为 L1 ' ? 2 rA ? D1 , 则点 B(7,0) 到直线 L 的距离 D2 ?

(9 分)

7 k ? km ? n 1? k 2



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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

3 ,得直线 l 的倾斜角为 150? , 3

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

2 rB ? 7 ,故直线 L 被圆 B 截得的弦长为 L2 ' ? 2 rB2 ? D2 ,

(11 分)

此时 | MN |? 2a ? 2 3 ,四边形 DMEN 的面积

S?

| DE | ? | MN | ?4 2 .
| DE | ? | MN | ?4 2 .

L 3 2 2 2 据题意有: 1 ? ,即有 16(rA ? D12 ) ? 9(rB ? D2 ) ,整理得 4D1 ? 3D2 , L2 4


S? 同理当 MN 与 x 轴垂直时,也有四边形 DMEN 的面积

4 7 k ? km ? n 1? k
2

?

3 7 k ? km ? n 1? k 2

当直线 DE ,MN 均与 x 轴不垂直时, DE : y ? k ( x ? 1) , 设 代入消去 ,两边平方整理成关于 k 的一元二次方程得
? ? 6k 2 , ? x1 ? x 2 ? ? 2 ? 3k 2 D( x1 , y1 ), E ( x 2 , y 2 ),则? 2 ? x x ? 3k ? 6 , ? 1 2 2 ? 3k 2 ? 设

y 得:(2 ? 3k ) x ? 6k x ? (3k ? 6) ? 0.
2 2 2 2

(7m2 ? 350m ? 343 k 2 ? (350m ? 14mn)k ? 7n 2 ? 0 , )
关于 k 的方程有无穷多解,

(13 分)

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

?7m 2 ? 350m ? 343 ? 0 ?n ? 0 ?n ? 0 ? 故有: ?350n ? 14m n ? 0 , ?? 或? ?m ? ?1 ?m ? ?49 ?7n 2 ? 0 ?
故所求点 P 坐标为(-1,0)或(-49,0) . (注设过 P 点的直线为 y ? kx ? m 后求得 P 点坐标同样得分) (16 分)

所以,

| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

4 3 ? k 2 ?1 3k 2 ? 2 ,

1 1 4 3[(? )2 ? 1] 4 3( 2 ? 1) k k | MN |? ? . 12 3 4 3 (k 2 ? 1) 2 2 ? 3(? ) 2? 2 | DE |? k ? 1 | x1 ? x2 |? k k 2 ? 3k 2 , 所以,
所以四边形的面积

x2 y2 21.设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,直线 l : x ? a 2 交 x 轴于点 A , 且 a b
???? ???? ? AF1 ? 2 AF2 .

S?

| DE | ? | MN | 1 4 3 (k ? 1) ? ? ? 2 2 2 ? 3k 2
2

4 3(

1 ? 1) 24(k 2 ? 1 ? 2) k2 k2 ? 3 1 2? 2 6(k 2 ? 2 ) ? 13 k k



u ? k2 ?

1 24(2 ? u ) 4 , 得S ? ? 4? 13 ? 6u 13 ? 6u k2

u ? k2 ?
因为

1 ? 2, k ? ?1时, u ? 2, S ? 96 2 k 25 ,且 S 是以 u 为自变量的增函数, 当

96 ?S?4 所以 25 .

(1)试求椭圆的方程; (2)过 F1 , F2 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D、E、M、N 四点(如图所示) ,试求四边形 DMEN 面积的最大值和最小值. ?????? ? | F1F2 | ? 2c ? 2,? A(a2 ,0), 【答案】 (1)由题意,

96 ?S?4 综上可知, 25 .故四 边形

DMEN

96 面积的最大值为 4,最小值为 25 .

22.22. (本题满分 15 分)已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 y 轴正半轴上,点 P(m,4) 到其准线的距离等于 5. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程;
2 2 (Ⅱ)如图,过抛物线 C 的焦点的直线从左到右依次与抛物线 C 及圆 x ? ( y ? 1) ? 1交于 A、C、D、B 四点,试

? AF1 ? 2AF2

? F2 为 AF1 的中点

? a ? 3, b ? 2
2 2

证明 | AC | ? | BD | 为定值; (Ⅲ)过 A、B 分别作抛物 C 的切线 l1 , l2 且 l1 , l2 交于点 M,求 ?ACM 与 ?BDM 面积之和的最小值.

x y ? ? 1. 2 即:椭圆方程为 3 ???????(4 分)
| DE |? 2 b2 4 ? a 3,
第 17 页 共 24 页 ◎ 第 18 页 共 24 页

2

2

(2)当直线 DE 与 x 轴垂直时,

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?



1 1 2k 2 ? 2 y ? S ?ACM ? S ?BDM ? (| AC | ? | BD | )d ? ( y1 ? y2 ) ? ? 2 2 1? k2 k2 ?1 1? k
2

? [k ( x1 ? x2 ) ? 2] ?

? (4k 2 ? 2) k 2 ? 1
?????????????. .????.2 分

【答案】解: (Ⅰ)设抛物线方程为 x ? 2 py( p ? 0) ,由题意得:
2

2 3 2 令 k ? 1 ? t ?[1,??) ,所以 y ? 4t ? 2t ,? y' ? 12t ? 2 ? 0 ,
3 所以 y ? 4t ? 2t 在 [1,??) 上是增函数,当 t ? 1 ,即 k ? 0 时, ymin ? 2 ,即 ?ACM 与 ?BDM 面积之和的最小值为

4?

p ?5 2 2 ,? p ? 2 , 所以抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ?4 分

2??????????????????????????????2 分 (Ⅱ)解法二:设过抛物线焦点的直线方程为 y ? kx ? 1 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,不妨设 x1 ? 0, x2 ? 0 .

?x 2 ? 4 y ?? ? y ? kx ? 1 ,? x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,得到 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ,??????????.2 分

? AE |? 1 ? k 2 | x1 |? ? 1 ? k 2 ? x1 , | BE |? 1 ? k 2 | x2 |? 1 ? k 2 ? x2 , |
? AC | ? | BD |? (? 1 ? k 2 ? x1 ? 1)( 1 ? k 2 ? x2 ? 1) ? ?(1 ? k 2 ) x1x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? 1 |

2 2 (Ⅱ) 解法一:抛物线焦点与 x ? ( y ? 1) ? 1的圆心重合即为 E(0,1),

? 4(1 ? k 2 ) ? 1 ? k 2 ? 16k 2 ? 16 ? 1 ? 1 ,即 | AC | ? | BD | 为定值?????. .???. 分 .3
x2 1 1 1 y ? 1 ? x1 ( x ? x1 ) ? y ? x2 y'? x 4 2 4 ,所以 2 ,所以切线 AM 的方程为 (Ⅲ) , y?
2 x2 1 x ? x2 x1 x2 ? x2 ( x ? x2 ) M( 1 , ) 4 2 2 4 即 M (2k ,?1) ???.2 分 ,解得

设过抛物线焦点的直线方程为 y ? kx ? 1 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

?x 2 ? 4 y ?? ? y ? kx ? 1 ,? x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,得到 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 ,??????????.2 分
由抛物线的定义可知 | AE |? y1 ? 1 , | BE |? y2 ? 1 ,
2 x12 x2

切线 BM 的方程为

d?
所以点 M 到直线 AB 的距离为 .即 | AC | ? | BD | 为定值 1???. 分 .3 设

| 2k 2 ? 2 | 1? k2 .

? AC | ? | BD |? (| AE | ?1)(| BE | ?1) ? y1 y2 ? 16 |

?1

1 1 2k 2 ? 2 y ? S ?ACM ? S ?BDM ? (| AC | ? | BD |)d ? (? 1 ? k 2 ? x1 ? 1 ? 1 ? k 2 ? x2 ? 1) ? 2 2 1? k2 k2 ?1 1? k
2

1 1 ? y ? x2 y'? x 4 ,所以 2 , (Ⅲ)
1 1 y? ? x1 ( x ? x1 ) y? ? x2 ( x ? x2 ) 4 2 4 2 所以切线 AM 的方程为 ,切线 BM 的方程为 , x12
2 x2

? [ 1 ? k 2 ( x2 ? x1 ) ? 2] ?

? [4(k 2 ? 1) ? 2] ? k 2 ? 1
????????????.2 分

2 3 2 令 k ? 1 ? t ?[1,??) ,所以 y ? 4t ? 2t ,? y' ? 12t ? 2 ? 0 ,
3 所以 y ? 4t ? 2t 在 [1,??) 上是增函数,当 t ? 1 ,即 k ? 0 时, ymin ? 2 ,即 ?ACM 与 ?BDM 面积之和的最小值为

解得

M(

x1 ? x2 x1 x2 , ) 2 4 即 M (2k ,?1) ??????????????????????.2 分
d? | 2k 2 ? 2 | 1? k2 .

2??????????????????????????????2 分 23. 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,焦点为 F ,圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上,且与 y 轴相
2

所以点 M 到直线 AB 的距离为

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

切,过原点 O 作倾斜角为

? 的直线 n ,交 l 于点 A ,交圆 M 于另一点 B ,且 AO ? BO ? 2 3
???? ??? ? ?

24. (本小题满分 12 分)已知离心率为

(1)求圆 M 和抛物线 C 的方程; (2)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ? PF 的最小值; (3)过 l 上的动点 Q 向圆 M 作切线,切点为 S,T, 求证:直线 ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标. 左焦点 F 的最长距离为 3 ? 2. (1)求椭圆的方程;

3 x2 y 2 的椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 上的点到 a b 2

y

(2)如图,过椭圆的左焦点 F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB ,若点 M 在 x 轴上,且使得 MF 为 ?AMB 的一条内角平分线,则称点 M 为该椭圆的“左特征点” ,求椭圆的“左特征点” M 的坐标.

l
B

y

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

O
F A

?

M

x
M B F

A

O

x

【答案】解: (1)易得 B(1, 3) , A(?1,? 3) ,设圆 M 的方程为 ( x ? a) 2 ? y 2 ? a 2 , 将点 B(1, 3) 代入得 a ? 2 ,所以圆 M 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4
2 2

点 A(?1,? 3) 在准线 l 上,从而

p ? 1 ,抛物线的方程为 y 2 ? 4 x 2

?a ? c ? 3 ? 2 ? a?2 ? ? 【答案】解: (1)由题意知: ? , b ? 1, c 3 ,解得 ? ?c ? 3 ? ? ? 2 ? a

(2)由(1)得 M (2,0), F (1,0) ,设点 P( x, y) ,则 y 2 ? 4 x 得 PM ? (2 ? x,? y) , PF ? (1 ? x,? y) , 所以 PM ? PF ? (2 ? x)(1 ? x) ? y 2 ? 2 ? 3x ? x 2 ? 4x ? 2 ? x ? x 2 因为 x ? 0 ,所以 PM ? PF ? 2 ,即 PM ? PF 的最小值为 2 . ( 3 ) 设 点 Q(?1, m) , 过 点 Q 的 切 线 长 为

故椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1, 4

其准线方程为 x ? ?

4 3 ………………………. ……………. ……………...4 分 3

m2 ? 5 , 则 以 Q 为 圆 心 , 切 线 长 为 半 径 的 圆 的 方 程 为

(2)设 M ? m,0? 为椭圆

( x ? 1) 2 ? ( y ? m) 2 ? m 2 ? 5 ,
即 x ? y ? 2x ? 2my ? 4 ? 0
2 2 2 2

x2 ? y 2 ? 1的左特征点,椭圆的左焦点为 F ? 3,0 , 4

?

?


2 2

可设直线 AB 的方程为: x ? ky ? 3 ? k ? 0 ? , ②

又圆 M 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,即 x ? y ? 4 x ? 0 由①②两式相减即得直线 ST 的方程: 3x ? m y ? 2 ? 0 显然上面直线恒过定点 ( ,0)

? x2 2 2 ? ? y ?1 2 2 2 联立方程组 ? 4 ,消去 x 得 ky ? 3 ? 4 y ? 4 ,即 ? k ? 4 ? y ? 2 3ky ? 1 ? 0 , ? x ? ky ? 3 ?

?

?

2 3

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ?

2 3k ?1 , y1 y2 ? 2 , 2 k ?4 k ?4

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

∵ ?AMB 被 x 轴平分,∴ k AM ? kBM

y y2 ?0, ? 0 ,即 1 ? x1 ? m x2 ? m

(2)将直线方程与椭圆方程联立方程组消元可得:

(k 2 ? 2) x2 ? 2kx ? 5 ? 0
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 法一:设 AB 中点 M (m, n) 其中 m ?

y1 ? x2 ? m? ? y2 ? x1 ? m? ? 0 , y1x2 ? y2 x1 ? m ? y1 ? y2 ? ? 0
即 y1 ky2 ? 3 ? y2 ky1 ? 3 ? ? y1 ? y2 ? m ? 0 , ∴ 2ky1 y2
1 2

?

? ? ? ? y ? y ? ? m ? 3 ? ? 0. 于是,

?

x1 ? x2 k 2 ?? 2 ,n ? 2 2 k ?2 k ?2 1 ,解得: k ? ?1 k

————8 分

若 k ? 0 ,显然满足题意。 ∵ k ? 0 ,∴ 1 ? 3 m ? 3 ? 0 ,即 m ? ?

?

?

? 4 3 ? 4 3 ,0?. ,∴ M ? ? ? ? 3 3 ? ?

故直线 l 的方程为: y ? 1 或 y ? x ? 1 或

y ? -x ?1

————13 分

法二:由 PA ? PB ,代入可得方程:可解出 k ? 0 或 k ? ?1

25. (本小题满分 13 分)已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,离心率为

2 ,且 2

椭圆经过圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心 C。 (I)求椭圆的标准方程; (II)设直线 l : y ? kx ? 1 与椭圆交于 A、B 两点,点 P (0, ) 且|PA|=|PB|,求直线 l 的方程。

1 3

【答案】 (1)由圆 C 的方程可知:圆心 C(1,-2)

————2 分

y 2 x2 设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? a b
4 1 ? ?1 a 2 b2

椭圆过圆心 C,可得:



c 2 2 2 2 ? ,且 a ? b ? c 。 a 2

解得: a2 ? 6, b2 ? 3

即椭圆的方程为:

y 2 x2 ? ?1 6 3

————6 分

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