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2016数学高考一轮复习《函数的奇偶性与周期性》


2016 届高三数学一轮基础巩固 第 2 章 第 3 节 函数的奇偶性与周 期性 新人教 A 版
一、选择题 1.(文)下列各函数中,在 R 上为偶函数的是( A.y=x -2x C.y=cos2x [解析]
2

)
x

B.y=2

1 D.y= |x|-1

A、B 不是偶函数,D 的定义域{x∈R|x≠±1}不是 R,故选 C.

2.(文)(2014·河南三门峡灵宝实验高中月考)f(x)=tanx+sinx+1,若 f(b)=2,则

f(-b)=(
A.0 C.-1

) B.3 D.-2

[解析] ∵f(b)=tanb+sinb+1=2,即 tanb+sinb=1, ∴f(-b)=tan(-b)+sin(-b)+1=-(tanb+sinb)+1=0. 3.(文)(2014·天津和平区二模)对于函数 y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于 y 轴 对称”是“y=f(x)是奇函数”的( A.必要而不充分条件 C.充要条件 [解析] ) B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

y=f(x)为奇函数,则 f(x)=-f(-x),

故|f(x)|=|-f(-x)|=|f(-x)|, 故 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称, 而函数 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称,则|f(x)|=|f(-x)|,∴f(x)=±f(-x),∴y =f(x)可能为奇函数,也可为偶函数. π 4.(文)(2013·宁夏育才中学模拟)已知函数 f(x)=sin(2x- ),若存在 α ∈(0,π ) 4 使得 f(x+α )=f(x+3α )恒成立,则 α 等于( π A. 6 π C. 4 )

π B. 3 π D. 2

[解析] 由 f(x+α )=f(x+3α )得 f(x)=f(x+2α ), π ∴f(x)周期为 2α ,又 α ∈(0,π ),所以 α = . 2

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5.(文)(2013·琼海市嘉积中学质检)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x -x,则函数 y=f(x)在区间[0,6]上零点的个数有( A.6 个 C.8 个
3 3

)

B.7 个 D.9 个

[解析] 当 0≤x<2 时,f(x)=x -x,则有 f(0)=f(1)=0,又 f(x)是 R 上最小正周期 为 2 的周期函数,所以函数 y=f(x)在区间[0,6]上有 f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=0,f(1)=

f(3)=f(5)=0,所以有 7 个.
6.(文)(2014·华师附中检测)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x+1)=-

f(x),若 f(x)在[-1,0]上是减函数,那么 f(x)在[1,3]上是(
A.增函数 C.先增后减的函数 B.减函数

)

D.先减后增的函数

[解析] 由 f(x+1)=-f(x)得,f(x+2)=f(x), ∴f(x)的周期为 2. ∵f(x)在[-1,0]上为减函数,f(x)为偶函数, ∴f(x)在[0,1]上为增函数,∴f(x)在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,故选 D. 二、填空题 7.已知函数 y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域都是[-π ,π ],且它 们在 x∈[0,π ]上的图象如图所示,则不等式

f x <0 的解集是________. g x

[解析] 依据偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称,先补全 f(x)、

g(x)的图象,



?f x ? f x <0,∴? g x ? ?g x



或?

?f ? ? ?g

x x



观察两函数的图象,其中一个在 x 轴上

π π 方,一个在 x 轴下方的,即满足要求,∴- <x<0 或 <x<π . 3 3
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a-e 8.若函数 f(x)= x(a 为常数)在定义域上为奇函数,则实数 a 的值为________. 1+ae
[解析]

x

f(-x)=

a-e-x aex-1 -x= x 1+ae e +a a+ex + x +ae
+ae x +a
x

f(x)+f(-x)=

a-ex

aex-

a2-e2x+a2e2x-1 = =0 恒成立, x x +ae +a
所以 a=1 或-1. 9.(2014·陕西咸阳测试)已知偶函数 f(x)对任意 x∈R 均满足 f(2+x)=f(2-x),且当 -2≤x≤0 时,f(x)=log3(1-x),则 f(2014)的值是________. [解析] ∵f(2+x)=f(2-x),∴f(4+x)=f(-x), ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(4+x)=f(x), ∴f(2014)=f(4×503+2)=f(2)=f(-2)=log33=1. 三、解答题 10. 已知函数 f(x)对任意 x、 y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 且 x>0 时, f(x)<0,f(1) =-2. (1)求证:f(x)是奇函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. [解析] (1)证明:令 x=y=0,知 f(0)=0;再令 y=-x,则 f(0)=f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)解: 对任意 x1、 x2∈[-3,3], 设 x1<x2, 则 x2-x1>0, ∴f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2) +f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0, ∴f(x)为减函数. 而 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6,

f(-3)=-f(3)=6.
∴f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6.

一、选择题

a- x,x≥2, ? ? 11 . ( 文 ) 已 知 函 数 f(x) = ? 1 x -1,x<2, ? ? 2 f x1 -f x2 <0 成立,则实数 a 的取值范围为( x1-x2
)

满 足 对 任 意 的 实 数 x1≠x2 都 有

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A.(-∞,2) C.(-∞,2] [解析] 函数 f(x)是 R 上的减函数,

13 B.(-∞, ] 8 13 D.[ ,2) 8

a-2<0, ? ? 于是有? a- ? ?

1 2

2

-1,

13 由此解得 a≤ , 8

13 即实数 a 的取值范围是(-∞, ],选 B. 8 12.(文)(2013·济南模拟)设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+3)=- 1

f x

,且当

x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则 f(107.5)=(
A.10 C.-10

) 1 B. 10 D.- 1 10

[解析] 由 f(x+6)=f(x)知该函数为周期函数, 1 1 所以 f(107.5)=(6×18- )=f(- )=- 2 2 1 5 - 2 1 1 =- = . -10 10
3

1 5 f 2

=-

f

13.(2014·河北唐山期末)f(x)是 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +ln(1+x),则 当 x<0 时,f(x)=( A.-x -ln(1-x) C.x -ln(1-x)
3 3

) B.x +ln(1-x) D.-x +ln(1-x)
3 3 3

[解析] ∵x<0,∴-x>0,∴f(-x)=(-x) +ln(1-x). 又∵f(x)是 R 上的奇函数,∴-f(x)=(-x) +ln(1-x),∴f(x)=x -ln(1-x). 14.(文)(2014·吉林长春专题练习)若函数 f(x),g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数, 且满足 f(x)-g(x)=e ,则有( A.f(2)<f(3)<g(0) C.f(2)<g(0)<f(3) [解析]
x x
3 3

) B.g(0)<f(3)<f(2) D.g(0)<f(2)<f(3)
-x -x

由题意得 f(x)-g(x)=e ,f(-x)-g(-x)=e ,即-f(x)-g(x)=e ,由

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e -e e +e e -e 此解得 f(x)= ,g(x)=- ,g(0)=-1,函数 f(x)= 在 R 上是增函数, 2 2 2 e -e 所以 f(3)>f(2)= >0, 2 因此 g(0)<f(2)<f(3),选 D. 15.(2013·芜湖一模)函数 y=f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],其图象上任一点 P(x,
2 -2

x

-x

x

-x

x

-x

x2 y)满足 +y2=1,若函数 y=f(x)的值域是(-1,1),则 f(x)一定是(
4 A.奇函数 C.单调函数 B.偶函数 D.幂函数

)

[解析] 设 P(x,y)在函数图象上,则由条件知 P′(-x,-y)也在函数图象上,所以

f(-x)=-f(x),函数一定是奇函数,但不能确定函数是不是单调函数,是不是幂函数,故
选 A. 二、填空题 16.(文)(2013·银川质检)已知定义在 R 上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2),且当

x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,给出以下四个命题:
①f(2)=0; ②x=-4 为函数 y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[8,10]上单调递增; ④若方程 f(x)=m 在[-6,-2]上的两根为 x1,x2,则 x1+x2=-8. 以上命题中所有正确命题的序号为________. [解析] 令 x=-2,得 f(2)=f(-2)+f(2),即 f(-2)=0.又函数 f(x)是偶函数,故

f(2)=0,①正确;根据 f(2)=0 可得 f(x+4)=f(x),所以函数 f(x)的周期是 4,由于偶函
数的图象关于 y 轴对称,故 x=-4 也是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴,②正确;根据函 数的周期性可知,函数 f(x)在[8,10]上单调递减,③不正确;由于函数 f(x)的图象关于直线

x=-4 对称,故如果方程 f(x)=m 在区间[-6,-2]上的两根为 x1,x2,则 x1+x2=-8,④正确.故正确命题的序号为①②④.
三、解答题 17.(文)已知 f(x)= (1)求 a,b 的值; (2)求 f(x)的单调区间,并加以证明; (3)求 f(x)(x>0)的最值.

x1+x2
2

=-4,即

x-a 是奇函数. x2+bx+1

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[解析] (1)∵f(x)为奇函数,∴f(x)+f(-x)=0 恒成立, 即

x-a x+a - 2 =0 恒成立, x +bx+1 x -bx+1
2 2

则 2(a+b)x +2a=0 对任意的实数 x 恒成立. ∴a=b=0. (2)∵f(x)=

x
2

x +1

(x∈R)是奇函数,

∴只需研究(0,+∞)上 f(x)的单调区间即可. 任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,则

x1 x2 x2-x1 f(x1)-f(x2)= 2 - 2 = x1+1 x2+1 x2 1+
∵x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>0, 而 x1,x2∈[0,1]时,x1x2-1<0, ∴当 x1,x2∈[0,1]时,f(x1)-f(x2)<0, 函数 y=f(x)是增加的;
2 2

x1x2- 2 x2 +

.

当 x1,x2∈[1,+∞)时,f(x1)-f(x2)>0, 函数 y=f(x)是减少的. 又 f(x)是奇函数, ∴f(x)在[-1,0]上是增加的,在(-∞,-1]上是减少的. 又 x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有 f(x)≥f(u), 等号只在 x=u=0 时取到, 故 f(x)在[- 1,1]上是增加的. (3)由(2)知函数 f(x)在(0,1)上递增,在[1,+∞)上递减,则 f(x)在 x=1 处可取得最 大值 . 1 1 ∴f(1)= ,∴函数的最大值为 ,无最小值. 2 2 [点评] 求一个函数的最值时,应首先考虑函数的定义域. 18.(文)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:存在非零常数 T,对任意 x∈R, 有 f(x+T)=Tf(x)成立. (1)函数 f(x)=x 是否属于集合 M?说明理由; (2)设 f(x)∈M,且 T=2,已知当 1<x<2 时,f(x)=x+lnx,当-3<x<-2 时,求 f(x)的 解析式. [解析] (1)假设函数 f(x)=x 属于集合 M,则存在非零常数 T,对任意 x∈R,有 f(x+

T)=Tf(x)成立,即 x+T=Tx 成立.令 x=0,得 T=0,与题目矛盾.故 f(x)?M.
(2)f(x)∈M,且 T=2,则对任意 x∈R,有 f(x+2)=2f(x).
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设-3<x<-2,则 1<x+4<2. 1 1 又 f(x)= f(x+2)= f(x+4), 2 4 且当 1<x<2 时,f(x)=x+lnx, 1 故当-3<x<-2 时,f(x)= [x+4+ln(x+4)]. 4 ∴当 x∈(1, 3)时,f(x)>f( 3)=loga(2+ 3), 由条件知,loga(2+ 3)=1,∴a=2+ 3.

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