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高二数学理2-3单元(一)B


学年第二学期高二(理)数学单元卷(一)B
(内容:选修 2-3 第七章 计数原理) (满分 100 分 考试时间:45 分钟) 一.选择题(每小题 5 分) 1.已知集合 A={1} ,B={2,3},C={4,5,6} ,从这三个集合中各取一个元素构成空间 直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( ) 。 (A)20 (B)6 (C)216 (D)120 2.由 0,1,2,3,4 这五个数字可以组成( (A)10 (B)16 (C)20 )个没有重复数字的不同的两位数。 (D)25

3.由 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共 有( ) (A)36 个 (B)24 个 (C)18 个 (D)6 个 4.6 名旅客,安排在 3 个客房里,每个客房至少安排一名旅客,则不同的安排方法有 ( ) (A). 360 (B).240 (C).540 (D). 210 5.北京《财富》全球论坛期间,某高校有 14 名志愿者参加接待工作.若每天排早.中.晚三 班,每班 4 人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为( )
12 4 (A) C14 C12C84 12 4 (B) C14 A12 A84

(C)

12 4 C14 C12C84 3 A3

12 4 3 (D) C14 C12C84 A3

6.高二(一)班学生要安排晚会的 4 个音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序, 要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( ) (A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)5040 7.已知集合 A ? ?a, b, c? , B ? ?1,2,3? ,则从集合 A 到集合 B 可建立( 射。 (A).6 (B)25 (C)26 (D)27 )个不同的映

8.已知直线 ax+by+1=0 中的 a,,b 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2}中的 2 个不同的元素, 并且直线的倾斜角大于 60°,那么符合这些直线的条数共有 ( ) (A)8 条 ( B)11 条 ( C)13 条 (D)16 条 9.某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个, 则该外商不同的投资方案有 ( ) (A)16 种 ( B) 36 种 ( C)42 种 ( D)60 种 10. ?x ? 1? 的展开式中含 x 偶数次幂的项的系数和是(
11

) (D) -2048

(A ) 1024

( B )-1024

(C )-1023

1

二.填空题(每小题 5 分) 11.某城市街道如图示,某人要从 A 地前往 B 地,则路程最短的走法有 种;

A

B
12.从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加 4 ? 100 米接力赛,如果甲.乙两人都不跑第一棒, 那么不同的参赛方案有 种; 13.在由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,不能被 5 整除的数共 有 个;
2 2 2 14. C2 2 ? C3 ? C4 ? ? ? C10 =

三.解答题(每小题 15 分) 15.设 (1 ? 3x)9 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ①求 a0 = ②求 a0 ? a1 ? a2 ?

? a9 x9

? a9 = ③求 | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ? ? | a9 | =
16.(1)四面体的一个顶点为 A,从其他顶点和各棱中点中取 3 个点,使它们和点 A 在同一平面 上,有多少种不同的取法? (2)四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,有多少种不同的取 法?

2

第二学期高二(理)数学单元卷(一)B 参考答案
(内容:选修 2-3 第七章 计数原理) 一、 题 号 答 案 选择题 1 D 2 B 3 A 4 C 5 A 6 B 7 D 8 D 9 D 10 B

1.解:点的坐标分别由横坐标,纵坐标,竖坐标确定,所以点可以从 1, 2,3, 4,5,6 这 6 个元
3 素中取出三个元素的一个排列,所以共有 A6 ? 120 个

2.解:分两步解决:第一步从 1, 2,3, 4 这四个数字中任取一个共有四种选法,第二步从包括 0 的其余四个数字中选一个共有四种选法,由分步计数原理知,共可组成 16 个不同的两位 数。

3.解:1,2,3,4,5 这五个数字中只有两个偶数,所以各位数字之和为偶数的情形是这三 个数字中有两个奇数和一个偶数,解决的方法是从 1,3,5 这三个奇数中任选两个,从 2, 4 这 两个偶数任取一个,然后由这三个数组成一个排列,所以满足条件的三位数共有
2 1 3 C3 C2 A3 ? 36 个。

4.解:分三类,第一类每个房间各有两人;第二类,房间的人数是 3,2,1;第三类,房间
2 2 2 3 2 1 3 的人数是 4, 1, 1。 第一类共有 C6 C4 C2 ? 90 种方法,第二类共有 C6 C3 C1 A3 ? 360 种方法, 1 4 1 1 第三类共有 C3 C6 C2C1 ? 90 种方法,共有 540 种。

5.解:解决这个问题可分三步,第一步,从 14 名志愿者选 4 人排早班,第二步,从余下 10 名志愿者中选 4 人排中班,第三步,从从余下 6 名志愿者中选 4 人排晚班,由分步计数原理
12 4 知共有 C14 C12C84 种排法。

5 6.解:分两步解决,第一步,把 4 个音乐节目和 1 个曲艺节目排列,共有 A5 种排法,第二

步,从这五个人的任一个排列的 6 个间隔选两个位置安排 2 个舞蹈节目,共有 方法,所以由分步计数原理知共有 A5 A6 ? 3600 种排法。
5 2

2 种安排 A6

7.解:由于集合 A 中的每个元素都要有象,所以解决这个问题可分三步,对集合 A 中的元素

3

a 有三种不同的安排方法,同理 b, c 也分别有三种不同的安排方法,由分步计数原理知共
有 3 ? 27 种不同的映射。
3

8.解:由题意知,分两种情况,1)当直线的斜率为正值时,直线的斜率 k ? ?

a 大于 3 , b

b 只能取 ?1, 或1 ,所以经检验,当 b ? ?1 时,a 只能取 2 ,当 b ? 1 时,a 只能取 ?2 , ?3 ,
2 2 共有 3 个;2)当直线的斜率为负值时,倾斜角大于 60°,共有 A3 ? A2 ? 8 个;3)当直线

的斜率存在时,倾斜角大于 60°,共有 5 个。所以共有 16 条满足已知条件的直线。
3 3 9.解: 可分为两类, 一类是从四个城市中任选三个, 每个城市一个不同项目, 共有 C4 A3 ? 24

个;另一类是从四个城市中选出两个城市,把三个投资项目分两组,一组两个项目,另一组
2 2 2 一个项目,把这两组分别给所选的两个城市,共有 C4 C3 A2 ? 36 个,所以共有 60 种不同的

投资方案。
11 10 10.解: 令 ? x ? 1? ? a11 x ? a10 x ? 11

? a1 x1 ? a0 , 当 x ? 1 时, a11 ? a10 ?

? a1 ? a0 ? 0 ;

当 x ? ?1 时,

?a11 ? a10 ? a9 ?

? a1 ? a0 ? ?211 ,解得

a10 ? a8 ?

? a2 ? a0 ? ?210 ? ?1024

二.填空题 11.解:从 A 到 B 的最近走法是从 A 往右走三步和向下走两步,共走五步,这个问题可以看
3 作是从五步中任选三步为往右走,共有 C5 ? 10 种走法。 4 12.解:分四类:第一类,选出的四人不含甲和乙,则有 A4 ? 24 种;第二类,选出的四人 3 1 3 3 1 3 含甲不含乙, 则有 C4 第三类, 选出的四人含乙不含甲, 则有 C4 C3 A3 ? 72 种; C3 A3 ? 72 种; 2 1 3 第四类,选出的四人含甲和含乙,则有 C4 C2 A3 ? 72 种;总共 240 种。

13.解:先解决个位数,个位数只能从 1,2,3,4 这四个数字中选一个,共有 4 种选法, 其他三位可以从不含 0 的其他四个数字中任取三个排列,共有 A4 ? 24 种,由分步计数原理
3

知共有 24 ? 4 ? 96 个满足条件的四位数。 14.解:由组合数的性质知,
2 2 2 C2 2 ? C3 ? C4 ? ? ? C10
3 2 2 C5 ? C5 ? C6 ?

=

3 2 2 C3 ? C3 ? C4 ?

2 ? C10 ?

3 2 2 C4 ? C4 ? C5

2 ? C10

=

2 3 2 3 = C10 ? C10 ? C10 ? C11

三.解答题
4

15.解:1)当 x ? 0 时,可知 a0 =1 2)当 x ? 1 时,可知 a0 ? a1 ? a2 ?

? a9 = (?2)9 ? ?512 3 ) | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ? ? | a9 | = a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? a8 ? a9 ,所以当 x ? ?1 时,可知 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? a8 ? a9 = 49
16 解:1)如图示,在四面体 A-BCD 中,满足条件的情况可分为两类,第一类,在平面 ABC, ABD,ACD 上的其他五个点中任取三个点,共有 30 种;第二类,分别由 AB,AC,AD 上除 A 的两个点各对边中点组成共有 3 种。共有 33 种符合已知条件的取法。 2)用间接法解决。从 10 点中任取四点共有 210 种,除去不满足的情形有三类:第一类,从 四面体的每个面上的 6 个点任取 4 个点,共有 60 种;第二类,由每条棱上的三个点和对棱 中点组成,共有 6 种;第三类,由平行于一对对棱的平面上的四个中点组成,共有 3 种。所 以满足题意的共有 141 种。

5


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