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江苏省苏州市第五中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题


苏州五中 2015-2016 学年第一学期期中考试 高二数学
2015.11 注意事项: 1.本试卷分填空题和解答题两部分,共 160 分,考试用时 120 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的班级、姓名、学号写在答题纸的密封线内.答题时,填空题和解答 题的答案写在答题纸对应的位置上,答案写在试卷上无效 ,本卷考试结束后,上交答题纸. ......... 一、填空题(本

大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. 点 P(1, ?1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是 ▲ . 2. 若三个球的半径之比是 1 : 2 : 3 ,则它们的体积之比是 ▲ . 3. 过点 P (?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为 ▲ . 4. 若三条直线两两互相垂直,则下列结论正确的是 ▲ . ①这三条直线共点; ③三条直线不可能在同一平面内; ②其中必有两条直线是异面直线; ④其中必有两条在同一平面内.

5. 方程 x2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? 2a2 ? a ? 1 ? 0 表示圆,则 a 的取值范围是 ▲ . 6. 已知 m、n 是不重合的直线, ? 、? 是不重合的平面,则下列命题中正确的序号为 ▲ . (1)若 ? ? ? ? n, m // n ,则 m // ? , m // ? ; (2)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? ; (3)若 m // ? , m ? n ,则 n ? ? ; (4)若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n. . 7. 已知正三棱锥 P—ABC 中,侧棱 PA ? a, ?APB ? 300 ,D、E 分别是侧棱 PB、PC 上的点,则 ?ADE 的 周长的最小值是 ▲ . 8. 直线 l 经过点 (2,3) ,且在两坐标轴上的截距相等,则直线 l 的方程是 ▲ .
?? ? ? 9. 若 ? ? ? , ? ,则直线 2 x cos ? +3y+1=0 的倾斜角的取值范围 ▲ . ?6 2 ?

10. 点 A , B 到平面 ? 的距离分别为 4cm 和 6cm ,则线段 AB 的中点 M 到 ? 平面的距离为 ▲ . 11. 已知球 O 的面上有四点 A、B、C、D,DA ? 平面 ABC,AB ? BC,DA=AB=BC= 3 ,则球 O 的体积等于 ▲ . 12. 已知 A(2,0) , B(?1, ?2) , P 是直线 y ? x 上的动点,则 PA ? PB 的最小值为 ▲ . 13. 若圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2mx ? m2 ? 4 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? 2x ? 4my ? 4m2 ? 8 ? 0 相交,则 m 的取值范围 是 ▲ . 14. 若直线 y=x+b 与曲线 x= 1 ? y 2 恰有一个公共点,则 b 的取值范围是 ▲ . 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1

15. (本题 14 分) 如图,在平行四边形 ABCD 中,BD⊥CD,正方形 ADEF 所在的平面和平面 ABCD 垂直,点 H 是 BE 的 中点,点 G 是 AE、DF 的交点. E F (1) 求证:GH∥平面 CDE; (2) 求证:BD⊥平面 CDE.

G
16. (本题满分 14 分) 已知直线 l1 : 2x ? 3 y ? 16 ? 0 , l2 : 3x ? 2 y ? 2 ? 0 . (1) 求两直线的交点 P; (2) 求经过点 P 且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直线方程; (3) 求以点 P 为圆心,且与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 相切的圆的标准方程. 17. (本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底 面 ABCD 垂直,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? , N 是 PB 中点,截面 DAN 交 PC 于 M , E 是 AD 中点,求证: (1) AD // MN ; (2) AD ? 平面 PBE ; (3) PB ? 平面 ADMN .

A B P

H

D

C

M

N
D E A B

C

18. .(本题满分 16 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 平 面 PAD ? 平 面 A B C D, AB ∥ DC , △ PAD 是等边三角形,已知 AD ? 4 , BD ? 4 3 , AB ? 2CD ? 8 . (1) 设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (2) 当 M 点位于线段 PC 什么位置时, PA∥平面 MBD ? (3) 求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

P

M

D

C

A
19. (本题满分 16 分) 已知圆 C: ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ,直线 l : (2m ? 3) x ? (m ? 4) y ? 2m ? 2 ? 0 . (1) 无论 m 取任何实数,直线 l 必经过一个定点 P,求出定点 P 的坐标; (2) 过点 P 作圆 C 的切线,求切线方程; (3) 以 CP 为直径的圆与圆 C 交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.

B

20. (本题满分 16 分) 方程 f ( x) ? x2 ? ax ? 2b ? 0 的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,求:

b?2 的值域; a ?1 (2) (a ? 1)2 ? (b ? 2)2 的值域; (3) a ? b ? 3 的值域.
(1)

2

苏州五中 2015-2016 学年第一学期期中考试 高二数学 2015.11 一、填空题:本大题共 14 小题.每小题 5 分,共 70 分. 1.________________________;2.________________________;3.________________________;

4.________________________;5.________________________;6.________________________;

7.________________________;8.________________________;9.________________________;

10._______________________;11._______________________;12._______________________;

13._______________________;14._______________________.

二、解答题 15.(本题 14 分)

F

E

G
H

A B

D

C

3

16.(本题 14 分)

17.(本题 14 分)

P M

N
D E A B

C

4

18.(本题 16 分)

P

M

D

C

A

B

19.(本题 16 分)

5

20.(本题 16 分)

苏州五中 2015-2016 学年第一学期期中考试 高二数学 (参考答案) 2015.11 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.
3 2 ; 2

2. 1: 8 : 27 ;

3. 2 x ? y ? 1 ? 0 ; 7. 2a ;

4.③; 8. x ? y ? 5 ? 0或y ? 12. 17 ;

5. ?2 ? a ?

2 ; 3

6. (2)(4) ;

3 x; 2

?5 ? 9. ? ? , ? ? ; ?6 ?

10. 1cm 或 5cm ; 11.

9? ; 2

13. (?

12 2 , ? ) ? (0, 2) ; 5 5

14. (?1,1] ? {? 2} .

二、解答题 15. (本题满分 14 分) 证明 (1)因为 G 是 AE 与 DF 的交点, 所以 G 是 AE 的中点.…………2分 又 H 是 BE 的中点, 所以在△EAB 中,GH∥AB. …………4分 因为 AB∥CD, 所以 GH∥CD. …………5分 又 CD? 平面 CDE,GH?平面 CDE, 所以 GH∥平面 CDE. …………7分 (2)平面 ADEF⊥平面 ABCD,交线为 AD, 因为 ED⊥AD,ED? 平面 ADEF, 所以 ED⊥平面 ABCD. …………10分 所以 ED⊥BD. …………11分 又 BD⊥CD,CD∩ED=D, 所以 BD⊥平面 CDE. …………14分 16. (本题满分 14 分)
?2 x ? 3 y ? 16 ? 0 ?x ? 2 解:(1)由 ? ,得 ? , ?3x ? 2 y ? 2 ? 0 ?y ? 4

所以 P ? 2, 4 ? …………4分 (2)设 2 x ? y ? c ? 0 ,…………5分 则 c ? ?8 …………6 分

2 x ? y ? 8 ? 0 为所求…………8 分

(3) d ?

4?4?3 5

? 5 …………10 分

因为相切,所以半径 r ? 5 …………12 分 所以圆方程为 ? x ? 2? ? ? y ? 4? ? 5 …………14 分
2 2

17. (本题满分 14 分) 证明: (1)∵ AD // BC , BC ? 平面 PBC , ∴ AD // 平面 PBC ,…………2 分 ∵ AD ? 平面 ADMN , 平面 ADMN ? 平面 PBC ? MN , ∴ AD // MN .…………4 分 (2)连结 BD ∵ ?PAD 和 ?BAD 都是正三角形, ∴ AD ? PE , AD ? BE ,又 PE ? AE ? E ,…………6 分 ∴ AD ? 平面 PBE ,…………7 分 (3)又 PB ? 平面 PBE ,…………9 分 ∴ PB ? AD ,…………10 分 ∵ AP ? AD ? AB , N 是 PB 中点, ∴ PB ? AN ,…………12 分 又 AD ? AN ? A , ∴ PB ⊥平面 ADMN .…………14 分 18. (本题满分 16 分) 证明: (1)在 △ ABD 中, ∵ AD ? 4 , BD ? 4 3 , AB ? 8 ,∴ AD 2 ? BD 2 ? AB 2 . ∴ AD ? BD .…………2 分 又 ∵平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , BD ? 平面 ABCD , ∴ BD ? 平面 PAD . 又 BD ? 平面 MBD , ∴平面 MBD ? 平面 PAD .…………4 分 (2)当 M 点位于线段 PC 靠近 C 点的三等分点处时, PA∥平面 MBD .……5 分 证明如下:连接 AC,交 BD 于点 N,连接 MN.

P
M

D

C
B

A

∵ AB ∥ DC ,所以四边形 ABCD 是梯形. ∵ AB ? 2CD ,∴ CN : NA ? 1: 2 . 又 ∵ CM : MP ? 1: 2 , ∴ CN : NA ? CM : MP ,∴ PA∥MN.…………7 分 ∵ MN ? 平面 MBD ,∴ PA∥平面 MBD .…………9 分 (3)过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O , ∵平面 PAD ? 平面 ABCD , ∴ PO ? 平面 ABCD . 即 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高.…………11 分 又 ∵ △ PAD 是边长为 4 的等边三角形,∴ PO ? 在 Rt△ ADB 中,斜边 AB 边上的高为 ∴梯形 ABCD 的面积 S ABCD ?
3 ? 4 ? 2 3 .…………12 分 2

4? 4 3 ? 2 3 ,此即为梯形 ABCD 的高. 8

4?8 ? 2 3 ? 12 3 .…………14 分 2

1 故 VP ? ABCD ? ? 12 3 ? 2 3 ? 24 .…………16 分 3
19. (本题满分 16 分) 解:(1) 直线: l : (2m ? 3) x ? (m ? 4) y ? 2m ? 2 ? 0 可变形 m(2 x ? y ? 2) ? (3x ? 4 y ? 2) ? 0 …………2 分

? 2 x ? y ? 2 ? 0, 由? ?3 x ? 4 y ? 2 ? 0,
(2)因为 (?2 ? 1)2 ? (2 ? 3)2 ? 9

? x ? ?2 。 解得 ? ?y ? 2

因此直线 l 恒过定点 P(-2,2)…………5 分

所以点 P 在圆外…………6 分 ①若切线斜率不存在, 则切线方程为 x ? ?2 ,经检验,成立…………7 分 ②若切线斜率存在,则设切线方程为 y ? 2 ? k ? x ? 2 ? 因为 d ? r ,所以
3k ? 1 k2 ?1 ?3

4 3 即切线方程为 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 …………10 分 综上,切线方程为 x ? ?2 或 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 …………11 分
解得 k ? ? (3)以 CP 为直径的圆的方程为 x2 ? y 2 ? x ? 5 y ? 4 ? 0 …………13 分 所以公共弦 AB 所在直线方程为 3x ? y ? 3 ? 0 …………14 分 9 圆心 C 到直线 AB 的距离 d ? …………15 分 10

所以 AB ? 2 32 ? 20. (本题满分 16 分)

81 3 ? 10 …………16 分 10 5

? f (0) ? 0 ?b ? 0 ? ? 解:由题意: ? f (1) ? 0 ? ?a ? b ? 1 ? 0 ,…………3 分 ? f (2) ? 0 ?a ? b ? 2 ? 0 ? ?

画出可行域…………7 分 可行域是由 A(-3,1) 、B(-2,0) 、C(-1,0)所构成的三角形区域, 利用各式的几何意义分别可得值域为: (1)可行域内的点与点(1,2)的连线的斜率,

b?2 1 ? ( ,1) …………10 分 a ?1 4 (2)可行域内的点到点(1,2)的距离的平方 ?
? (a ? 1)2 ? (b ? 2)2 ?(8,17)…………13 分

(3)为求目标函数 z ? a ? b ? 3 的最值 ? z ? a ? b ? 3 ? (?5, ?4) .…………16 分


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