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高中数学会考知识点总结


高中数学会考知识点总结
第一章 集合与简易逻辑 第二章 函数
1、含 n 个元素的集合的所有子集有 2 n 个
?1

1、求 y ? f (x) 的反函数:解出 x ? f

( y ) , x, y 互换,写出 y ? f

?1

( x) 的定义域;
<

br />2、对数:①:负数和零没有对数,②、1 的对数等于 0: log a 1 ? 0 ,③、底的对数等于 1: log a a ? 1 , ④、积的对数: log a ( MN ) ? log a M ? log a N , 商的对数: log a 幂的对数: log a M
n

M ? log a M ? log a N , N

? n log a M ; loga m bn ?

n loga b , m
?a1 ? S1 (n ? 1) ?S n ? S n ?1 (n ? 2)

第三章 数列
1、数列的前 n 项和: S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; 数列前 n 项和与通项的关系: a n ? ?

2、等差数列 : 、定义:等差数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数; (1) (2) 、通项公式: a n ? a1 ? (n ? 1)d (其中首项是 a1 ,公差是 d ; )

n(n ? 1) n(a1 ? a n ) ? na1 ? d (整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数) 2 2 a?b (4) 、等差中项: A 是 a 与 b 的等差中项: A ? 或 2 A ? a ? b ,三个数成等差常设:a-d,a,a+d 2 3、等比数列: 、定义:等比数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, q ? 0 ) (1) ( 。
(3) 、前 n 项和:1. S n ? (2) 、通项公式: a n ? a1 q
n ?1

(其中:首项是 a1 ,公比是 q )

na1 ,( q ? 1) ? ? n (3) 、前 n 项和: S n ? ? a1 ? a n q a1 (1 ? q ) ? , (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
(4) 、等比中项: G 是 a 与 b 的等比中项:
G b 2 ? ,即 G ? ab (或 G ? ? ab ,等比中项有两个) a G

第四章 三角函数
1、弧度制: 、 180 ? ? 弧度,1 弧度 ? ( (1)
?

180

?

) ? ? 57 ?18 ' ;弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是角的弧度数)

y x y x r r 2、三角函数 (1) 、定义: sin ? ?    ? ?     ? ?    ? ?    ? ?    ? ? cos tan cot sec csc r r x y x y
3、 特殊角的三角函数值

? 的角度
? 的弧度
sin ?

0? 0 0

30?

45?

60?

90?

120 ?

135 ?

150 ?
5? 6

180 ?

270 ? 360 ?

? 6
1 2
3 2 3 3

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2

? 2
1
0


2? 3
3 2

3? 4
2 2 ? 2 2

?
0

3? 2

2? 0

1 2
? 3 2 ? 3 3

?1
0


cos?
tan?

1
0

1 2
3

?1 2
? 3

?1
0

1
0

1

?1

4、同角三角函数基本关系式: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

t a? ? n

s i? n c o?s

t a ? c o?t ? 1 n

5、诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限) 正弦上为正;余弦右为正;正切一三为正 公式二: 公式三: 公式四: 公式五:

sin(180 ? ? ? ) ? sin ? cos( ? ? ? ) ? ? cos? 180 tan(180 ? ? ? ) ? ? tan ?

sin(180 ? ? ? ) ? ? sin ? cos( ? ? ? ) ? ? cos? 180 tan(180 ? ? ? ) ? tan ?

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? tan(?? ) ? ? tan ?

sin(360 ? ? ? ) ? ? sin ?   cos(360 ? ? ? ) ? cos?   tan(360 ? ? ? ) ? ? tan ?

6、两角和与差的正弦、余弦、正切 S (? ? ? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

S (? ? ? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

C (? ? ? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
T(? ? ? ) :
tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

C (? ? ? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
T(? ? ? ) :
tan(? ? ? ) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

7、辅助角公式: a sin x ? b cos x ?

? a 2 ? b2 ? 2a 2 sin x ? ? ? a ?b

? b cos x ? ? a 2 ? b2 ?

? a 2 ? b2 (sin x ? cos? ? cos x ? sin ?) ? a 2 ? b2 ? sin(x ? ?)
8、二倍角公式: 、 S 2? : (1)

sin 2? ? 2 sin? cos?

(2) 、降次公式: (多用于研究性质)

C 2? :

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1

sin ? cos? ?

T2? :
9、三角函数: 函数

t a2? ? n

2 t a?n 1 ? t a2 ? n
值域 周期性

1 sin 2? 2 1 ? cos 2? 1 1 sin 2 ? ? ? ? cos 2? ? 2 2 2 1 ? cos 2? 1 1 cos2 ? ? ? cos 2? ? 2 2 2
递增区间 递减区间
3? ?? ? ? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ? ? ?

定义域

奇偶性 奇函数 偶函数 周期

y ? sin x

x?R
x?R
定义域

[-1,1] [-1,1] 值域 [-A, A]

T ? 2?
T ? 2?
振幅 A

y ? cos x
函数

? ? ? ? ?? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ? ? ?

?(2k ? 1)? ,2k? ?
频率 相位

?2k? , (2k ? 1)? ?
初相

y ? A sin(?x ? ? )

x?R

T ?

2?

?

f ?

1 ? ? T 2?

?x ? ?

?

图象 五点法

10、解三角形: 、三角形的面积公式: S ? ? (1) (2)正弦定理: 、

1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

a b c ? ? ? 2 R, 边用角表示:a ? 2 R sin A,  b ? 2 R sin B,c ? 2 R sin sin A sin B sin C

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A
(3) 、余弦定理: b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? (a ? b) 2 ? 2ab(1 ? cocC)
求角: cos A ?
b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2      cos B ?      cos C ? 2bc 2ac 2ab

第五章、平面向量
?

1、坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ?, b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ?
? ?

?

?

?

?

数与向量的积:λ a ? ? ? x1 , y1 ? ? ??x1 , ?y1 ? ,数量积: a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 (2)、设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 AB ? ? x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? .(终点减起点)
?

| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ;向量 a 的模| a |: | a | 2 ? a ? a ? x 2 ? y 2 ;
(3)、平面向量的数量积: a ? b ? a ? b cos? , 注意: 0 ? a ? 0 , 0 ? a ? 0 , a ? (?a) ? 0 (4)、向量 a ? ? x1 , y1 ?, b ? ? x 2 , y 2 ? 的夹角 ? ,则 cos? ?
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?

? ?

?

?

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2


2

x2 ? y 2
2

2、重要结论: (1)、两个向量平行: a// b ? a ? ? b (? ? R) , a// b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 (2)、两个非零向量垂直 a ? b ? a ? b ? 0
? ? ? ?

?

?

, a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0

?

?

(3)、P 分有向线段 P P2 的:设 P(x,y) ,P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,且 P P ? ? PP2 , 1 1 y x1 ? ?x 2 ? x1 ? x 2 ? ?x ? 1 ? ? ?x ? 2 则定比分点坐标公式 ? , 中点坐标公式 ? ? ? y1 ? ?y 2 y1 ? y 2 ?y ? ?y ? ? ? 1? ? 2 ? ? 第六章:不等式 ? k 2 2 1、 均值不等式: 、 a 2 ? b 2 ? 2ab ( ab ? a ? b ) (1) k 2 (2) 、a>0,b>0; a ? b ? 2 ab 或 ab ? (

x

a?b 2 ) 一正、二定、三相等 2

? a

k y ? x ? (k ? 0) x

(等号取不到时,用函数的单调性,如图为“耐克函数”的大致图象) 2、解指数、对数不等式的方法:同底法,同时对数的真数大于 0; 第七章:直线和圆的方程 率: k ? tan? , k ? (??,??) ;直线上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) ,则斜率为 k ? y 2 ? y1 1 x 2 ? x1 2、直线方程: 、点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ; 、斜截式: y ? kx ? b ; (1) (2) 1、斜 (3) 、一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A、B 不同时为 0) 斜率 k ? ? 3、两直线的位置关系(1) 、平行: l1 // l 2 ? k1 ? k 2且b1 ? b2 垂直: k1 ? k 2 ? ?1 ? l1 ? l 2 到角公式 : tan? ? k 2 ? k1 1 ? k 2 k1 夹角公式: tan ? ?
k 2 ? k1 1 ? k 2 k1

A C , y 轴截距为 ? B B
A1 B C ? 1 ? 1 时 , l1 // l 2 ; A2 B2 C2

A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ? l1 ? l 2 ;

(2) 、到角范围: ?0, ? ?

k1、k 2 都存在,1 ? k1k 2 ? 0
k1、k 2 都存在, 1 ? k1k 2 ? 0

夹角范围: (0,

?
2

]

(3) 、点到直线的距离公式 d ? Ax0 ? By0 ? C (直线方程必须化为一般式)
A2 ? B 2

6、圆的方程: 、圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,圆心为 C (a, b) ,半径为 r (1)
2 2 2
2 2 2 2 (2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 (配方: ( x ? D ) 2 ? ( y ? E ) 2 ? D ? E ? 4 F ) 2 2 4 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个以 (? D ,? E ) 为圆心,半径为 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆; 2 2 2

第八章:圆锥曲线 半焦距: c 2 ? a 2 ? b 2

1、椭圆标准方程:

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a2 b

, 离心率的范围: 0 ? e ? 1 ,准线方程: x ? ?

a2 ,参数方程: ? x ? a cos? ? c ? y ? b sin ?

x2 y2 2 2 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) ,半焦距: c ? a ? b ,离心率的范围: e ? 1 a2 b2 b x2 y2 a2 准线方程: x ? ? ,渐近线方程用 2 ? 2 ? 0 求得: y ? ? x ,等轴双曲线离心率 e ? 2 a c a b
2、双曲线标准方程: 3、抛物线: p 是焦点到准线的距离 p ? 0 ,离心率: e ? 1

p p 2 焦点坐标 ( ,0) ; y ? ?2 px  :准线方程 x ? 2 2 p p x 2 ? 2 py :准线方程 y ? ? 焦点坐标 (0, ) ; x 2 ? ?2 py :准线方程 y ? 2 2

y 2 ? 2 px  :准线方程 x ? ?

p p 焦点坐标 ( ? ,0) 2 2 p p 焦点坐标 (0,? ) 2 2

第九章 直线 平面 简单的几何体
2 2 2 2 1、长方体的对角线长 l ? a ? b ? c ;正方体的对角线长 l ?

?

3a

A

2、两点的球面距离求法:球心角的弧度数乘以球半径,即 l ? ? ? R ; 3、球的体积公式: V ?

4 ? R 3 ,球的表面积公式: S ? 4? R 3
2 1 S h s ? h ,锥体截面积比: 1 ? 1 2 S 2 h2 3

2

?
A A


O

A



B

?

4、柱体 V ? s ? h ,锥体 V ?

O

B

第十章 排列 组合 二项式定理 1、排列: 、排列数公式: An = n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) = (1)
m

?

n! .( n , m ∈N*,且 m ? n ).0!=1 (n ? m)!

(3) 、全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列; An ? n! ? n(n ? 1)(n ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? n ? (n ? 1)! ;
n

2、组合: (1) 、组合数公式: C n =
m
m An n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! 0 * = = ( n , m ∈N ,且 m ? n ); C n ? 1 ; m Am m!(n ? m)! ? 1? 2 ? ?? m

(3)组合数的两个性质: C n = C n

m

n?m

; Cn + C n
n 0 n

m

m ?1

= C n ?1 ;
1 n ?1 2 r n b ? C n a n?2 b 2 ? ? ? C n a n?r b r ? ? ? C n b n ;

m

3、二项式定理 : 、定理: (a ? b) ? C n a ? C n a (1)

(2) 、二项展开式的通项公式(第 r +1 项) Tr ?1 ? C n a :
r

n?r

b r (r ? 0,2?,n) 1 ,

各二项式系数和:Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+?+Cnr+?+Cnn=2n (表示含 n 个元素的集合的所有子集的个数) 。
奇数项二项式系数的和=偶数项二项式系数的和:Cn +Cn +Cn + Cn +?=Cn +Cn +Cn + Cn +?=2
0 2 4 6 1 3 5 7 n -1

第十一章:概率: 1、概率(范围) :0≤P(A) ≤1(必然事件: P(A)=1,不可能事件: P(A)=0) 2、等可能性事件的概率: P( A) ?

m . n

3、互斥事件有一个发生的概率:A,B 互斥: P(A+B)=P(A)+P(B);A、B 对立:P(A)+ P(B)=1 4、独立事件同时发生的概率:独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B). n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P)
k k n?k

.


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