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y=Asin(wx+ )的图像和性质


6.3 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像和性质 课标解读: 1. 求一般三角函数的周期,通过简单的三角变化可化为形如
y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的函数情形;

2. 研究函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像,再讨论函数的性质,进一步 理解 A, ?

, ? 的物理意义及其对图像的影响; 3. 了解三角函数的实际应用;能利用周期性去观察和解释一些自然现在,并 能做出一些预测。 目标分解: 1. 函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的性质: (1)定义域是 R; (2)值域 [? A, A]

2k? ?
(3)单调区间,在区间 [

?

2k? ? [

?

?

3? ? ? 2k? ? ?? 2 2 , ](k ? Z ) 上是减函数。

?

? ? 2k? ? ? ? 2 2 , ](k ? Z ) 上是曾函数,在区间

?

?

?

(4)奇偶性:当 ? ? k? ? 是非奇非偶函数 (k ? Z ) ;

?
2

时是偶函数,当 ? ? k? 时是奇函数,当 ? ?

k? 时 2

(5)周期性:是周期函数且最小正周期为 T ?
k? ? ?

2?

?



(6)对称性:关于点 (

?

,0) 中心对称,关于直线 x ?

k? ?

?
2

??
轴对称。

?

2. 函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的变化: (1) y ? A sin x( A ? 0, A ? 1) 由 y ? sin x 的图像上没一点的横坐标不变,纵坐标 伸长到原来的 A 倍 (当A ? 1时) 或缩短到原来的 A 倍 (当A ? 1时) ,A 称为振幅。 (2) y ? sin ?x ,当 ? ? 1时,由 y ? sin x 的图像沿 x 轴向原点压缩;当 0 ? ? ? 1 时,由 y ? sin x 的图像沿 x 轴向原点的两侧拉长。

? 称为角频率,周期 T 的倒数 f ?
时间内往复振动的次数。

1 ? ? 称为频率,表示简谐振动在单位 T 2?

(3) y ? sin(x ? ? ) 可由 y ? sin x 的图像向左 (当? ? 0时) 或向右 (当? ? 0时) 平 移 | ? | 个单位得到。 满足 x ? ? ? 0 的 x 的值 ? ? 称为函数 y ? sin(x ? ? ) 的相位移。

问题解析:
1 ? 例 1. 试述如何由 y ? (2 x ? ) 的图像得到 y ? sin x 的图像。 3 3

例 2. 已 知 曲 线 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 上 的 一 个 最 高 点 的 坐 标 为

? 3 ? ? ( , 2 ) ,则此点到相邻最低点间的曲线与 x 轴交于点 ( ? ,0) ,若 ? ? (? , ) 。 8 8 2 2 (1)试求这条曲线的函数表达式;
(2)用“五点法”画出(1)中函数在 [0, ? ] 上的图像。

例 3. 已知函数 f ( x) ? cos 2 ( x ?

1 ) , g ( x) ? 1 ? sin 2 x 。 12 2

?

(1)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图像的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值。 (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间。

例 4. 作出函数 y ?| sin x | ? | cos | , x ? [0, ? ] 的图像,并写出函数的值域。

例 5. 已知函数 f ( x) ? A sin ?x ? B cos?x (A、B ? 是实常数, ? ? 0 )的最小

正周期为 2,并当 x ? (1)求 f ( x) ;

1 时, f ( x) max ? 2 。 3

21 23 , ] 上是否存在 f ( x) 的对称轴?如果存在,求出其对称轴方 4 4 程;如果不存在,请说明理由。

(2)在闭区间 [

例 6. 设函数 f ( x) ? 3 cos2 ?x ? sin ?x cos?x ? a (其中 ? ? 0, a ? R ) , 且 f ( x) 的 图像在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是 (1)求 ? 的值; (2)如果 f ( x) 在区间 [? 知识内化:
)( ab ? 0) 是偶函数,则有序实数对 ( a, b) 可 4 4 以是_______。 (写出你认为正确的一组数即可) 。

? 6

? 5?
3 , 6

] 上的最小值为 3 ,求 a 的值。

1. 若 f ( x) ? a sin( x ?

?

) ? b sin( x ?

?

2. 关于函数 f ( x) ? 4 sin( 2 x ? 有下列命题

?

3

)( x ? R)

(1)由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 可得 x1 ? x2 必是 ? 的整数倍; (2) y ? f ( x) 的表达式可改写成 y ? 4 cos( 2 x ? (3) y ? f ( x) 的图像关于点 (?

?
6

);

?
6

,0) 对称;

对称。 6 其中正确的命题的序号是 ________ (注:把你认为正确的命题的序号都填 上) 。
2x ? a c o 2 sx 的 图 像 关 于 直 线 x ? ? 3. 如 果 函 数 y ? s i n

(4) y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? ?

?

?
8

对称,那么

a =________。
4. 函数 y ? 4 sin( 2 x ?

?
3

) ? 1 的最小正周期为________。

5. 函数 f ( x) ? M sin(?x ? ? )(? ? 0) 在区间 [a, b] 上是增函数,且 f (a) ? ?M ,
f (b) ? M ,则函数 g ( x) ? M cos(?x ? ? ) 在 [a, b] 上(



A. 是增函数 B.是减函数 C. 可以取得最大值 M D. 可以取得最小值-M 1 1 6. 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? | sin x ? cos x | ,则 f ( x) 的值域是( 2 2 A. [ ?1,1]
2 ] 2



B. [?

2 ,1] 2 2 ] 2

C. [1,?

D. [?1,?

7. 设三角函数 f ( x) ? sin(

kx ? ? ) (其中 a ? 0, k ? 0 ) , 5 3

(1)写出 f ( x) 的最大值 M,最小值 m 和最小正周期 T; (2) 试求最小正整数 k ,使得当自变量 x 在任意两个整数间(包括正数本身) 变化时,函数 f ( x) 至少有一个值是 M 与一个值是 m。 能力迁移: 1. 已知函数 f ( x) ? sin x? | cos x |, x ? R (1)作函数 f ( x) 在 [0,2? ] 的图像; (2)求出 f ( x) 的最小值及取得最小值时的 x 值; (3)在 [0,2? ] 上, f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 5 个解,求 b, c 的取值范围。 2.
x 已 知 函 数 f ( x) ? sin , g ( x) ? cos 2 x 若 存 在 正 常 数 m, n 使 2

h( x) ? mf ( x) ? ng( x) ,则称 h( x) 为 f ( x)、g ( x) 的生成函数。

(1)判断 y ? sin 5 x 是否是 f ( x)、g ( x) 的生成函数,并说明理由。

? (2)设 h( x) 为 f ( x)、g ( x) 的生成函数, 且 h( ) ? 1 ,h( x) 的最大值为 4, 求 h( x ) 3 的解析式。


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