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数学人教A版选修1-1第二章圆锥曲线与方程期末复习检测题--解析几何初步


一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.
1.圆 O 1: x2 ? y 2 ? 2x ? 0 和圆 O 2: x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是 ( )

A. 相离

B. 相交

C. 外切

D. 内切
( )

2 .若直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于 A.1 B. ?

1 3

C. ?

2 3

D. ?2 ( )

3.设直线过点 (0, a), 其斜率为 1,且与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切,则 a 的值为 A. ?4 B. ?2 2 C. ?2 D. ? 2

4.平面 ? 的斜线 AB 交 ? 于点 B ,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 ? 于点 C ,则动点 C 的轨迹是 ( A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆
2 2



D.双曲线的一支 ( )

5 . 若 过 点 A(4, 0) 的 直 线 l 与 曲 线 ( x ? 2) ? y ? 1 有 公 共 点 , 则 直 线 l 的 斜 率 的 取 值 范 围 为

A. [? 3, 3]

B. (? 3, 3)

C. [?

3 3 , ] 3 3
2

D. (?
2

3 3 , ) 3 3
( )

6.一束光线从点 A(?1,1) 出发,经 x 轴反射到圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 上的最短路径是 A.4 的最小值为 A.1 B.5 C. 4 2 D. 3 ? 2 2 ( ) D.4 ( B. 4 ? r ? 6 C. r ? 4 ) B.5 C. 3 2 ?1
2 2

D. 2 6 (

7.若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a, b ? 0) 始终平分圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长,则

1 2 ? a b



8.已知平面区域 D 由以 A?1,3? 、 B?5,2? 、 C ?3,1? 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 D 上有无穷 多个点 ? x, y ? 可使目标函数 z ? x ? my 取得最小值,则 m ? B. ? 1
2 2 2

A. ? 2 的取值范围是 A. 3 ? r ? 5 10. “m=

C. 1

9.设圆 ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? r (r ? 0) 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离等于 1,则圆半径 r D. r ? 5 )

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的( 2
B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件

A.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.
11.已知直线 l1 : x ? y sin ? ?1 ? 0 , l2 : 2 x sin ? ? y ? 1 ? 0 ,若 l1 // l2 ,则 ? ?
2 2 2 2 2 2



12.若圆 C1 : x ? y ? 2mx ? m ? 4 ? 0 与圆 C2 : x ? y ? 2x ? 4my ? 4m ? 8 ? 0 相交,则 m 的取值范 围是 .
2 2

13.已知直线 5x ? 12y ? a ? 0 与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切,则 a 的值为________. 14.已知圆 M: (x+cos?)2+(y-sin?)2=1, 直线 l:y=kx,下面四个命题: (A)对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 相切; (B)对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 有公共点; (C)对任意实数?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切;

(D)对任意实数 k,必存在实数?,使得直线 l 与和圆 M 相切. 其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 12 分)已知一条直线经过两条直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 和 l 2 : x ? 3 y ? 11 ? 0 的交点,并且 垂直于这个交点和原点的连线,求此直线方程

16. (本小题满分 14 分)设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长之比为 3:1; ③圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离为

5 ,求该圆的方程. 5

17.(本小题满分 14 分)设 M 是圆 x ? y ? 6x ? 8 y ? 0 上的动点,O 是原点,N 是射线 OM 上的点,若
2 2

| OM | ? | ON |? 150 ,求点 N 的轨迹方程。

18.(本小题满分 14 分)已知方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 。 (1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M 、 N 两点,且 OM ? ON ( O 为坐标原点) ,求 m ; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程。

19. (本小题满分 12 分)已知圆 C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为 1 的直线 L,使以 L 被圆 C 截得弦 AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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20. (本小题满分 14 分)已知定点 A(0,1) ,B(0,-1) ,C(1,0) .动点 P 满足: AP ? BP ? k | PC |2 . (1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型; (2)当 k ? 2 时,求 | 2 AP ? BP | 的最大、最小值.

??? ??? ? ?

2011 届高二上文科期末数学复习检测题六

《解析几何初步》参考答案

1

B.化成标准方程: O 1: ( x ?1)2 ? y 2 ? 1, O 2: x2 ?) y ? 2)2 ? 4 ,则

O1 (1, 0) , O2 (0, 2) , | O1O2 |? (1 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 5 ? R ? r ,两圆相交
2.D.由 A A2 ? B1B2 ? 0 可解得. 1 3.C.直线和圆相切的条件应用, x ? y ? a ? 0,? 2 ?
,? a ? ?2 ,选 C; 2 4.A.过点 A 且垂直于直线 AB 的平面与平面 ? 的交线就是点 C 的轨迹,故是一条直线. a

5.C.解:设直线方程为 y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 ,直线 l 与曲线 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1有公共点, 圆心到直线的距离小于等于半径 d ? 得 4k ? k ? 1, k ?
2 2 2

2k ? 4k k 2 ?1

? 1,

1 ,选择 C 3

另外,数形结合画出图形也可以判断 C 正确。 6.A.先作出已知圆 C 关于 x 轴对称的圆 C ' ,问题转化为求点 A 到圆 C ' 上的点的最短路径,即

| AC ' | ?1 ? 4 .
7.D.已知直线过已知圆的圆心(2,1) ,即 a ? b ? 1 . 所以 8.C. 9.B.注意到圆心 C (3, ?5) 到已知直线的距离为 l

1 2 1 2 b 2a ? ? ( ? )(a ? b) ? 3 ? ? ? 3? 2 2 . a b a b a b

| 4 ? 3 ? 3 ? (?5) ? 21| 42 ? (?3)2

4

? 5,

结合图形可知有两个极端情形: 其一是如图 7-28 所示的小圆,半径为 4; 其二是如图 7-28 所示的大圆,其半径为 6,故 4 ? r ? 6 . 10.B 11. k? ?

?
4

(k ? Z ) . sin ? ? 0 时不合题意;

sin ? ? 0 时由 ?
这时

1 1 2 ? ? ?2sin ? ? sin 2 ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? k? ? , sin ? 2 2 4

1 ? ?1 . sin ? 12 2 12. (? , ? ) ? (0, 2) .由 R ? r ? d ? R ? r 解之得. 5 5 | 5 ?1 ? 12 ? 0 ? a | 13.8 或-18. ? 1 ,解得 a =8 或-18. 52 ? 122
14. (B) (D).圆心坐标为(-cos?,sin?)d=

|-k cos ?-sin ? | 1+k 2 =|sin ?+?)? 1 ( |
故填(B) (D)



1+k 2 |sin ?+?) ( | 1+k 2

15.设交点为 P,由方程组 ?

?2 x ? 3 y ? 4 ? 0 2 解得 P(5,2).故 kOP ? .设所求直线的斜率为 k ,由于它 5 ? x ? 3 y ? 11 ? 0

与直线 OP 垂直,则 k ? ?

5 1 5 ? ? ,所以所求直线的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 5) ,即 5 x ? 2 y ? 29 ? 0 . 2 kOP 2
2 2 2 2 2 2

16.设圆心为 ( a, b) ,半径为 r,由条件①: r ? a ? 1 ,由条件②: r ? 2b ,从而有: 2b ? a ? 1 .由

?2b2 ? a 2 ? 1 ?a ? 1 ?a ? ?1 | a ? 2b | 5 条件③: 可得: ? 或? ,所以 ? ?| a ? 2b |? 1, 解 方 程组 ? 5 5 ?b ? 1 ?b ? ?1 ?| a ? 2b |? 1
r 2 ? 2b2 ? 2 .故所求圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 或 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 .
17.设 N ( x, y) , M ( x1 , y1 ) .由 OM ? ?ON (? ? 0) 可得: ?

???? ?

????

? x1 ? ? x , ? y1 ? ? y

150 x ? ? x1 ? x 2 ? y 2 ? 150 由 | OM | ? | ON |? 150 ? ? ? 2 .故 ? ,因为点 M 在已知圆上. x ? y2 ? y ? 150 y ? 1 x2 ? y 2 ?
所以有 (

150x 2 150y 2 150x 150y ) ?( 2 ) ? 6? 2 ?8? 2 ? 0, 2 2 2 2 x ?y x ?y x ?y x ? y2

化简可得: 3x ? 4 y ? 75 ? 0 为所求. 18.解(1) ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 5 ? m ,? m ? 5
2 2

x1 x2 ? 16 ? 8? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ,? OM ? ON ,? x1 x2 ? y1 y ? 0 ? 16 ? 8? y1 ? y 2 ? ? 5 y1 y2 ? 0 , x ? 4 ? 2y ? 2 由? 2 ,得 5 y ? 16y ? m ? 8 ? 0 2 x ? y ? 2x ? 4 y ? m ? 0 ? 16 8?m 8 1 。代入○得 m ? 。 ? y1 ? y 2 ? , y1 y 2 ? 5 5 5 (3)以 MN 为直径的圆的方程为 ?x ? x1 ??x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0 即 x 2 ? y 2 ? ?x1 ? x2 ?x ? ? y1 ? y2 ?y ? 0 8 16 ? 所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0 5 5
19.解: 假设存在满足条件的直线 L:y=x+b,记 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 )

(2)设 M ?x1 , y1 ? , N ?x2 , y 2 ? , 则 x1 ? 4 ? 2 y1 , x2 ? 4 ? 2 y 2 , 得

? 以 AB 为直径的圆过原点,? OA ? OB,可得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0(1) 联立直线和圆的方程,消去 y,
得 2x 2 ? 2(b ? 1) x ? b 2 ? 4b ? 4 ? 0 (2)

? x1 ? x 2 ? ?(b ? 1), x1 x 2 ?

b 2 ? 4b ? 4 4

y1 y 2 ? ( x1 ? b)(x2 ? b) ? x1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b 2 ?

b 2 ? 2b ? 4 ,代入(1) ,得 b=1 或 b=-4,均满足(2) 2

中? ? 0 综合上述,存在满足条件的直线 L,其方程为 y=x+1 或 y=x-4 20 . 1 ) 设 动 点 坐 标 为 P( x, y) , 则 AP ? ( x, y ?1) , BP ? ( x, y ? 1) , PC ? (1 ? x, y) . 因 为 (

??? ?

??? ?

??? ?

AP ? BP ? k | PC |2 ,所以
x2 ? y 2 ?1 ? k[( x ?1)2 ? y 2 ] . (1 ? k ) x2 ? (1 ? k ) y 2 ? 2kx ? k ?1 ? 0 .
若 k ? 1 ,则方程为 x ? 1 ,表示过点(1,0)且平行于 y 轴的直线. 若 k ? 1 ,则方程化为 ( x ?

k 2 1 2 k 1 ) ? y2 ? ( ) .表示以 ( , 0) 为圆心,以 为半径的圆. 1? k 1? k k ?1 |1 ? k |

(2)当 k ? 2 时,方程化为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1,
2 2 因为 2 AP ? BP ? (3x,3 y ?1) ,所以 | 2 AP ? BP |? 9 x ? 9 y ? 6 y ? 1 .

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

又 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ,所以 | 2 AP ? BP |? 36x ? 6 y ? 26 . 因为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1,所以令 x ? 2 ? cos ? , y ? sin ? , 则 36x ? 6 y ? 26 ? 6 37 cos(? ? ?) ? 46 ?[46 ? 6 37, 46 ? 6 37] . 所以 | 2 AP ? BP | 的最大值为 46 ? 6 37 ? 3 ? 37 ,最小值为 46 ? 6 37 ? 37 ? 3 .

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?


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