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金堂中学高2014级理科数学26


金堂中学高 2014 届理科数学周练(26) 一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 A ? ?0,1 ?, B ? ??1,0, a ? 3? ,且 A ? B ,则 a ? ( )
A. 1 B. 0 C. ?2
2

D. ?3

2.已知命题 p::若 x+y≠3,则 x≠1 或 y≠2;命题 q:若 b =ac,则 a,b,c 成等比数列, 下列选项中为真命题的是 A. p B. q C. p ? q
2 2 2

(

)

D.( ? p) ? q

3.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a +c -b )tan B= 3ac,则角 B 的值为( π )A. 6 π B. 3 π 5π C. 或 6 6 π 2π D. 或 3 3 )

4.已知向量 a ? ? sin x,cos x ? ,向量 b ? 1, 3 ,则 a ? b 的最大值为( A. 3 B.

?

?

3

C. 1

D. 9

5.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ? n ,正项等比数列 {bn } 中, b2 ? a3 ,
2 bn ?3bn ?1 ? 4bn (n ? 2, n ? N ? ) ,则 log 2 bn ? ( )

A. n ? 1

B. 2 n ? 1

C. n ? 2

D. n ( )

6.一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积为 A. 12 ? 3 C. 10 ? 2 3 B. 10 ? 3 D. 11 ? 3

7.若双曲线 C : 2 x ? y ? m (m ? 0) 与抛物线 y ? 16x 的准线
2 2

2

交于 A, B 两点,且 AB ? 4 3 ,则 m 的值是 A. 116 B.

80

C. 52

D. 20

8.六张卡片上分别写有数字 1,1,2,3,4,5,从中取四张排成一排,可以组成不同的四 位奇数的个数为( A.180 ) C.93 D.60

B.126

9. 对 实 数 a 和 b , 定 义 运 算 “ ? ” : a ? b ? ?

?a, a ? b ? 1, 设 函 数 ?b, a ? b ? 1.

f ? x ? ? x 2 ? 2 ? x ? x 2 , x ? R .若函数 y ? f ? x ? ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共
点,则实数 c 的取值范围是( A. ? ??, ?2 ? ? ? ?1, ? ). B. ? ??, ?2? ? ? ?1, ?

?

? ?

?

? ?

3? 2?

? ?

3? ? 4?

C. ? ?1, ? ? ? , ?? ?

? ?

1? ?1 4? ?4

? ?

D. ? ?1, ? ? ? ? , ?? ?

? ?

3 ? ?1 4 ? ?4

? ?

10.定义方程 f ( x) ? f ?( x) 的实数根 x0 叫做函数的“新驻点”,若函数
g ( x) ? sin x (0 ? x ? ? ) ,

h( x) ? ln x ( x ? 0),

? ( x) ? ex ? x2 ( x ? 0) 的“新驻点”分别为 a , b , c ,则 a , b , c

的 大小关系为__________. A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. b ? c ? a D. b ? a ? c

二、填空题(每题 5 分,共 25 分)
b ? R , a ? bi ? 11. 设 a ,
的值为 .

11 ? 7i ( i 为虚数单位),则 a ? b 1 ? 2i

12.某程序框图如图所示,则输出的结果是_______. 13.已知过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点 F 的直线 l 与抛物线相交于

A, B 两点,若 | AF |? 4 ,则 | BF |?

.

14.已知函数 y = f ( x) 满足 f ( x +1) = f ( x -1) ,且

x ?[?1,1] 时, f ( x)=x2 ,则函数 y = f ( x) 与 y = log3 | x | 的
图象的交点的个数是 .

15.已知 f ( x) ? ?2 | 2 | x | ?1| ?1 和

g( x) ? x2 ? 2 x ? m(m ? R) 是定义在 R 上的两个函数,则
下列命题正确的是 (A)函数 f ( x ) 的图象关于直线 x=0 对称; (B)关于 x 的方程 f ( x) ? k ? 0 恰有四个不相等实数根的充要条件是 k ? (?1,1) (C)当 m=l 时,对 ?x1 ???1,0? , ?x2 ???1,0? , f ( x1 ) ? g( x2 ) 成立 (D)若 ?x1 ???1,1? , ?x2 ???1,1? , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则 m ? (?1, ??) 其中正确的例题有______________(写出所有正确例题的序号)。

三、解答题(共 75 分) 16.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? (cos2 x ? sin 2 x) ? 1 2 2

(1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (2)设△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c 且 c = 7 , f (C ) ? 0 ,若向量

m ? (1, sin A)与向量n ? ?3, sin B? 共线,求 a , b 的值.

17.(12 分)第七届城市运动会 2011 年 10 月 16 日在江西南昌举行 ,为了搞好接待工作,运动 会组委会在某大学招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者。将这 30 名志愿者的身高编成如 右所示的茎叶图(单位:cm):若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子”, 身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“ 非高个子 ”,且只有“女高个子”才担任 “礼仪小姐”。(I)如果用分层抽样的方法从“高个子”中和“非高个子”中提取 5 人, 再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?(II)若从所有“高个 子”中选 3 名志愿者,用 X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出 X 的分 布列,并求 X 的数学期望。

18、(12 分)如图所示四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,四边形
ABCD 中, AB ? AD , BC // AD , PA ? AB ? BC ? 2 , AD ? 4 , E 为 PD 的中

点, F 为 PC 中点. (Ⅰ)求证: CD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)求证: BF // 平面 ACE ; (Ⅲ)求直线 PD 与平面 PAC 所成的角的正弦值;
P

F A B

E

D C

19.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? (1)证明:数列 ? (2)设 bn ?

1 , S n ? n 2 an ? n(n ? 1), n ? 1,2,?? 2

?n ?1 ? S n ? 是等差数列,并求 Sn ; ? n ?

Sn ,求证: b1 ? b2 ???? bn ? 5 . 2 n ? 3n 12
3

20.(本题满分 13 分)已知椭圆 C 的两个焦点是(0,- 3 )和(0, 3 ),并且经过点

(

3 , 1) ,抛物线的顶点 E 在坐标原点,焦点恰好是椭圆 C 的右顶点 F. 2

(Ⅰ)求椭圆 C 和抛物线 E 的标准方程; (Ⅱ)过点 F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线 l1、l2,l1 交抛物线 E 于点 A、B,l2 交 抛物线 E 于点 G、H,求 AG ? HB 的最小值.

21.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? bx (1)若曲线 y ? f ( x) ,在点 (1, f (1)) 处的切线与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,求 b 的取值范围; (2)若 2a ? b ? 1 ? 0 ,讨论函数的单调性; (3)证明: 2 ?

3 4 n ?1 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ln( n ? 1) 2 2 3 n

(n ? N * )

金堂中学高 2014 届理科数学周练(26)参考答案

一、选择题
1.C2.A3.D4.A5.D6.A7.D8.B9.B10.B

二、填空题
11.8、 14.4 12. ?

1 3

13.

4 3

15.(A) (B) (D) 16. (1)由已知可将函数化简为 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 ?????????2 分

? f ( x) min ? ?2 ?????????3 分 f ( x)的最小正周期为 ? ?????????4 分
(2)? m ∥ n ? sin B ? 3 sin A ? b ? 3a ①?????????6 分 而 f (C ) ? sin( 2C ?
2

?
6

) ?1 ? 0 ? C ?
2 2

?
3

?????????8 分

由余弦定理知 ( 7 ) ? a ? b ? 2ab cos

?
3

? a 2 ? b 2 ? ab ②?????????10 分

①②联立可求 ?

?a ? 1 ?????????12 分 ?b ? 3

17.解:(1)根据茎叶图,有“高个子”12 人,“非高个子”18 人,???????1 分 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 所以选中的“高个子”有 12 ?

5 1 ? , 30 6

??2 分

1 1 ? 2 人,“非高个子”有 18 ? ? 3 人.?????3 分 6 6

用事件 A 表示“至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件 A 表示 “没有一名“高个子”被选中”,则 P( A) ? 1 ?
2 3 7 C3 ? 1? ? .????5 分 2 10 10 C5

因此,至少有一人是“高个子”的概率是

7 . 6分 10

(2)依题意, X 的取值为 0, 1, 2, 3 .根据茎叶图可知男的高个子有 8 人,女的有 4 人;8



P(? ? 0) ?

3 C8 14 ? , 3 C12 55

P(? ? 1) ?

2 C1 28 4 C8 ? 3 C12 55

P(? ? 2) ?

1 C2 12 4 C8 , ? 3 C12 55

C3 1 . ?12 分 P(? ? 3) ? 34 ? C12 55
因此, ? 的分布列如下:

?
p

0
14 55

1

2

3
1 55

28 55

12 55

? E? ? 0 ?

14 28 12 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 1. 55 55 55 55

??14 分

18、【解析】(Ⅰ)因为 PA ? 底面 ABCD , CD ? 面 ABCD , 所以 PA ? CD ,又因为直角梯形面 ABCD 中, AC ? 2 2, CD ? 2 2 , 所以 AC 2 ? CD2 ? AD2 ,即 AC ? CD ,又 PA ? AC ? A ,所以 CD ? 平面
PAC ;???4 分

(Ⅱ)解法一:如图,连接 BD ,交 AC 于 O ,取 PE 中点 G , 连接 BG, FG, EO ,则在 ?PCE 中, FG // CE , 又 EC ? 平面 ACE , FG ? 平面 ACE ,所以 FG // 平面 ACE , BO GE ? 因为 BC // AD ,所以 ,则 OE // BG , OD ED 又 OE ? 平面 ACE , BG ? 平面 ACE ,所以 BG // 平面 ACE , 又 BG ? FG ? G ,所以平面 BFG // 平面 ACE , 因为 BF ? 平面 BFG ,所以 BF // 平面 ACE .???10P分 解法二:如图,连接 BD ,交 AC 于 O ,取 PE 中点 G , 连接 FD 交 CE 于 H ,连接 OH ,则 FG // CE , 在 ?DFG 中, HE // FG ,则
G F B E P G F A O E

D C

H GE FH 1 ? ? , A ED HD 2 D BO BC 1 O ? ? ,B 在底面 ABCD 中, BC // AD ,所以 C OD AD 2 FH BO 1 ? ? ,故 BF // OH ,又 OH ? 平面 ACE , BF ? 平面 ACE , 所以 HD OD 2

所以 BF // 平面 ACE .???10 分 (Ⅲ)由(Ⅰ)可知, CD ? 平面 PAC ,所以 ?DPC 为直线 PD 与平面 PAC 所 成的角,

在 Rt ?PCD 中, CD ? 2 2, PD ? PA2 ? AD2 ? 2 5 , 所以

sin ?DPC ?

CD 2 2 10 , ? ? PD 2 5 5
10 . 5

所以直线 PD 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 19. (1)证明:

? Sn ? n 2 an ? n(n ? 1) ? Sn ? n 2 ( Sn ? Sn ?1 ) ? n(n ? 1) (n ? 2且n ? N * ) ? (n 2 ? 1) Sn ? n 2 Sn ?1 ? n(n ? 1) ? 0
同除以 n(n ? 1) ?

n ?1 n Sn ? S n ?1 ? 1 (n ? 2且n ? N * ) n n ?1

? n ?1 ? ?? Sn ? 是等差数列 d ? 1首项为1 ? n ? n ?1 ? Sn ? 1 ? (n ? 1) ? n n n2 ? Sn ? n ?1
n2 1 (2)bn ? ? 2 n ? 1 n (n ? 3) 1 ? (n ? 1)(n ? 3) 1 1 1 ? ( ? ) 2 n ?1 n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] 2 2 4 3 5 4 6 n n?2 n ?1 n ? 3
1 1 1 1 1 ( ? ? ? ) 2 2 3 n?2 n?3 5 1 1 1 5 ? ? ( ? )? 12 2 n ? 2 n ? 3 12 ?
20. (I)设椭圆的标准方程为 则由题意得 c= 3 , 2a ? ∴ a=2, b 2 ? a 2 ? c 2 =1,

? 得证

y2 x2 ? ? 1 (a>b>0),焦距为 2c, a2 b2

3 3 ? (1 ? 3)2 ? ? (1 ? 3) 2 ? 4 , 4 4

∴ 椭圆 C 的标准方程为

y2 ? x2 ? 1 . 4

??????????????? 4 分

∴ 右顶点 F 的坐标为(1,0). 设抛物线 E 的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , ∴

p ? 1, 2p ? 4 , 2

∴ 抛物线 E 的标准方程为 y 2 ? 4 x . ???????????????? 6 分 (Ⅱ)设 l1 的方程: y ? k ( x ? 1) ,l2 的方程 y ? ? ( x ? 1) ,

1 k

A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , G( x3,y3 ) , H ( x4,y4 ) ,

? y ? k ( x ? 1), 由? 2 消去 y 得: k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 , y ? 4 x , ?
∴ x1+x2=2+

4 ,x1x2=1. k2

1 ? ? y ? ? ( x ? 1), 2 2 由? 消去 y 得:x -(4k +2)x+1=0, k 2 ? ? y ? 4 x,
∴ x3+x4=4k +2,x3x4=1,????????????????????9 分 ∴ AG ? HB ? ( AF ? FG) ? (HF ? FB) = AF ? HF ? AF ? FB ? FG ? HF ? FG ? FB =| AF |·| FB |+| FG |·| HF | =|x1+1|·|x2+1|+|x3+1|·|x4+1| =(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1) =8+
2

???? ??? ?

??? ? ??? ?

???? ??? ?

4 ? 4k 2 k2
4 ? 4k 2 k2

≥8+ 2 =16.

当且仅当

4 ? 4k 2 即 k=±1 时, AG ? HB 有最小值 16.????????13 分 2 k

21. (1)∵ ,∴f′(1)=1+2a+b,

其切线方程为 y﹣(a+b)=(1+2a+b)(x﹣1),即(1+2a+b)x﹣y﹣1﹣a=0.

由切线与圆 x +y =1 相切可得 化为 3a +(2+4b)a+b +2b+1=0,此方程有解,∴△=(2+4b) ﹣12(b +2b+1)≥0,解得 或
/
2 2 2 2

2

2



2ax2 ? bx ? 1 (2) ? f ( x) ? x 2 2ax ? (1 ? 2a ) x ? 1 ? ( x ? 0) x ( x ? 1)(2ax ? 1) ? x
① 当a ? 0时

f / ( x) ?

1? x x

f ( x)在(0,1) ? 在(1,??) ?

②当

1 ? 1时 2a

1 即0 ? a ? 时 2 1 ,?? ) ? 2a f ( x)在(1, 1 )? 2a

f ( x)在(0,1), (

③ 当0 ?

1 1 1 1 ? 1时 即a ? 时 , f ( x)在(0, ), (1,?? ) ? , 在( ,1) ? 2a 2 2a 2a

④当

1 ? 1时 2a

1 即a ? 时 2

f / ( x) ?

( x ? 1) 2 x

f ( x)在(0,??) ?
⑤当

1 ? 0时 即a ? 0时 , f ( x)在(0,1) ? 在(1,??) ? 2a

(3)由(2)可知:当 b=1 时,当 x>1 时,函数 f(x)单调递减. ∴f(x)<f(1),即 lnx﹣x +x<0,令
2

,可得



2 3 4 n ?1 ? (ln 2 ? ln 1 ) ? (ln 3 ? ln 2 ) ? (ln 4 ? ln 3 ) ? ? ? [ln ( n ?1) ? ln n ] ? ( 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 1 2 3 n 3 4 n ?1 ? ln ( n ?1) ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 3 n


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