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江苏省涟水中学2015-2016学年高二12月阶段性检查数学试题 Word版含答案


江苏省涟水中学高二年级第二次模块测试 数学试题 命题、校对: 谈玉楼 2015.12.21

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不写解答过程,将答案写在答题纸 的指定位置上. 1、命题“ ?x ? (0,

?
2

) , sin x ? 1 ”的否定是

▲ ▲ .

2、直线 3x+y ? a ? 0(a ? R, a为常数) 的倾斜角是

3、命题“若 ab ? 0 ,则 b ? 0 ”的否命题是___▲ ___命题(填:真或假)。 4、 已知 α 、 β 表示两个不同的平面, m 为平面 α 内的一条直线, 则“m⊥β ”是“α ⊥β ” 的___ ▲___(选填“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不 充分又不必要条件”中的一种). 5、已知椭圆中心在原点,一个焦点为 ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准 ( 3, 0) 方程是 ▲ . ▲ .

6、 已知正四棱柱的底面边长为 2, 高为 1, 则该正四棱柱的外接球的表面积为

7、 已知函数 y ? lg(2 ? x) 的定义域为 A , 集合 B ? {x | x ? a} , 若“ x ? A ”是 “ x ? B ” 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围 ▲ . _▲_ ___.

8、 圆心在直线 2x-y-3=0 上, 且过点 A (5, 2) 和点 B (3, 2) 的圆的标准方程是_ 9、已知直线 l⊥平面 α ,直线 m ? 平面 β ,则下列四个命题: ①若 α ∥β ,则 l⊥m; ③若 l∥m,则 α ⊥β ; ②若 α ⊥β ,则 l∥m; ④若 l⊥m,则 α ∥β . 其中正确命题的序号是 ▲ .





10、下列命题结论中错误的有 ①命题“若 x=

,则 sinx= ”的逆命题为真命题

②已知命题 p : x ? 1且y ? 1 ,命题 q : x ? y ? 2 ,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件。 ③直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 与 l2 : mx ? (2 ? m) y ? 1 ? 0 平行的充要条件是 m ?

2 。 3

11、在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P 为圆 o : x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 上的任意一点,点 Q(a, a ? 3) ( a ? R ),则线段 PQ 长度的最大值为__ ▲ ____. ▲ .

12、 已知点 A (1, ﹣2) 关于直线 x+ay﹣2=0 的对称点为 B (m, 2) , 则实数 a 的值为
1

13.过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一点 B , a 2 b2
1 1 ? k ? ,则椭圆的离心率 e 的取值范围 5 2
2 2

且点 B 在 x 轴上的射影恰为右焦点 F ,若 是 ▲ .

14. 在直角坐标系 xOy 中, 已知 P ? x0 , y0 ? 是圆 C : x ? ? y ? 4 ? ? 1 外一点, 过点 P 作圆 C 的切线,切点分别为 A, B ,记四边形 PACB 的面积为 f ? P ? ,当 P ? x0 , y0 ? 在圆

D : ? x ? 4 ? ? ? y ? 1? ? 9 上运动时, f ? P? 的取值范围是
2 2



.

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请将答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本题满分 14 分)

x2 y2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上. 已知命题 p :椭圆 m ?1 3 ? m

命题 q : ?x ? ?2, 3? ,不等式

x 2 ? m ? 0 恒成立,
(1)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围. (2)若 “ p 或 q ” 为真命题, “ p 且 q ” 为假命题,求实数 m 的取值范围.

16. (本题满分 14 分) 如图,在四面体 ABCD 中,AD=BD,∠ABC=90°,点 E,F 分别 为棱 AB,AC 上的点,点 G 为棱 AD 的中点,且平面 EFG∥ 平面 BCD. 求证: (1)EF= BC; (2)平面 EFD⊥平面 ABC.

2

17. (本题满分 14 分) 已知 ?ABC 三个顶点坐标分别为: A(1,0), B(1,4), C(3, a) ,且 AC ? BC ,直线 l 经 过点 (0, 4) . (1) 求 a 值; (2) 求 ?ABC 外接圆 ? M 的方程; (3) 若直线 l 与 ? M 相切,求直线 l 的方程;

18、 (本题满分 16 分) 已知椭圆 C1 与椭圆
2 x 2 ? y ? 1 有相同的焦点,且过点 ?1, 3 ? . ? 2 ? 5 2 ? ?

(1)求椭圆的标准方程; ⑵ 若 P 是椭圆 C1 上一点且在 x 轴上方,F1、F2 为椭圆 C1 的左、右焦点,若 ?PF1F2 为直角 三角形,求 p 点坐标。

3

19、 (本题满分 16 分) 已知圆 C 的方程为: x2 ? ( y ? 2)2 ? 3 ,直线的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 在直线上,过点 P 作圆 C 的切线 PA, PB ,切点为 A, B . (1)若 ?APB ? 120 ,求点 P 的坐标; (2)若点 P 的坐标为 (2,1) ,过点 P 的直线与圆 C 交于 M , N 两点,当 MN ? 10 时,求 直线 MN 的方程; (3)求证:经过 A, P, C (其中点 C 为圆 C 的圆心)三点的圆必经过定点,并求出所有定点 的坐标.
?

20. (本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右顶点为 A ,直 2 a b 2

线 BC 过原点 O ,且点 B 在 x 轴上方,直线 AB 与 AC 分别交直线 l : x ? a ? 1 于点 E , F . (1)若点 B( 2, 3) ,求 ?ABC 的面积; (2)若点 B 为动点,设直线 AB 与 AC 的斜率分别为 k1 , k2 . ①试探究 k1 ? k2 是否为定值.若为定值,请求出值;若不为定值,请说明理由. ②求 ?AEF 的面积的最小值.

4

高二数学阶段性测试参考答案 1、 ?x ? (0,

?
2

) , sin x ? 1

2、

2? 3

3、真

4、充分不必要条件

5、 9、①③ 13、 ? , ?

6、9π 10、 (1) (2) , 14、 ? 3,3 7 ?

7、 a ? 2 11、 2 2 ? 1

8、 ? x ? 4 ? ? ? y ? 5 ? ? 10
2 2

12、2

?1 4? ?2 5?

?

?

15、解: (1)∵p:椭圆

的焦点在 x 轴上,

∴m﹣1>3﹣m>0,-------------------------------------4 分 解得:2<m<3,--------------------------------------6 分 (2)q: ?x ? ?2, 3? ,不等式 x ? m ? 0 恒成立,
2

? m ? 4 ----------------------------------8 分
由题意可知 p,q 一真一假,--------------------------10 分 若 p 真 q 假,2<m<3 且 m ? 4 解得.m 为空集---------------12 分 若 p 假 q 真, m ? 3或m ? 2 且 m ? 4 解得. 3 ? m ? 4或m ? 2 综上: 3 ? m ? 4或m ? 2 ????????????????????14 分 16、证明: (1)因为平面 EFG∥平面 BCD, 平面 ABD∩平面 EFG=EG,平面 ABD∩平面 BCD=BD, 所以 EG∥BD,??????????????????4 分 又 G 为 AD 的中点, 故 E 为 AB 的中点,????????????????6 分 同理可得,F 为 AC 的中点, 所以 EF= BC.????????????????7 分 (2)因为 AD=BD, 由(1)知,E 为 AB 的中点, 所以 AB⊥DE,??????????????9 分
5

又∠ABC=90°,即 AB⊥BC, 由(1)知,EF∥BC,所以 AB⊥EF, 又 DE∩EF=E,DE,EF? 平面 EFD, 所以 AB⊥平面 EFD,?????????????12 分 又 AB? 平面 ABC,故平面 EFD⊥平面 ABC.????14 分 17、 解: (1)因为 AC ? BC ,所以 ?

a a?4 ? ?1 ,故 a ? 2 ???????4 分 2 2

(2):由 ?ACB 是直角三角形, AC ? BC , A(1,0), B(1,4) 因而 ?ACB 圆心为 (1, 2) ,半径为 2 ,??????????????6 分

? ? M 的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 . ????????????????8 分
(3)当直线 l 与 x 轴垂直时,显然不合题意,??????????10 分 因而直线 l 的斜率存在,设 l : y ? kx ? 4 ,

由题意知

k ?2?4 k 2 ?1

? 2 ,解得 k ? 0 或 k ?

4 ,???? 12 分 3

故直线 l 的方程为 y ? 4 或 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 .???? 14 分 18、 (1)由题意焦点坐标为 ? 3,0 ??????????????2 分

?

?

? a 2 ? b2 ? 3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? a ? 2, b ? 1 2 ?1 3 a b 设 则 ? 2 ? 2 ? 1 ,解得 ????????5 分 4b ?a

x2 ? y 2 ? 1;????????????????????7 分 所以 4 1 (2)若 F1 为直角顶点,则 P ( ? 3, ) ??????????????9 分 2 1 若 F2 为直角顶点,则 P( 3, ) ??????????????11 分 2
若 P 为直角顶点,则∵ PF 1 ? PF 2 ? 12 ,PF1+PF2=4,∴PF1·PF2=2,????13 分
2 2

S?PF1F2 = 1 PF1PF2 ? 1

2

?1 ? 1 ? 2 3h ? h ? 3 3 2 ,



P( ?

2 6 3 , ) 3 3 ????????????????????????16 分

6

19、解:(1)由条件可得 PM ? 2 ,??????????????????2 分
2 2 设 P(2a, a ) ,则 4a ? ( a ? 2) ? 2 ,解得 a ? 0 或 a ?

4 ,????????4 分 5

所以点 P(0,0) 或点 P ( , )

8 4 5 5 ???????????????5 分

( 2 )由已知圆心到直线 MN 的距离为

2 ,设直线 MN 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,则 2

?2k ? 1 k2 ?1

?

1 2 ,解得 k ? ? 或 k ? ?1 ??????????8 分 7 2

所以直线 MN 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 7 y ? 9 ? 0 ????????11 分 (3)设 P(2a, a ) ,过点 A, P, C 的圆即是以 PC 为直径的圆,其方程为:

x( x ? 2a) ? ( y ? 2)( y ? a) ? 0 ,整理得 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2 y ? ay ? 2a ? 0
即 ( x 2 ? y 2 ? 2 y ) ? a(2 x ? y ? 2) ? 0

? x? ?x ? y ? 2 y ? 0 ? x ? 0 ? ? 由? 得? 或? ?y ? 2 ?y ? ? 2x ? y ? 2 ? 0 ? ?
2 2

4 5 , 2 5

该圆必经过定点 (0, 2) 和 ( , ) .??????16 分

4 2 5 5

? 2 3 ? ?1 ? ?a 2 ? 8 ? a 2 b2 20. 解: (1)依题意, ? 2 ,得 ? 2 2 2 ?b ? 4 ?c ? a ?b ? 1 2 2 ? a 2 ?a

? A(2 2,0)
? S?ABC ? S?AOB ? S?AOC ? 2 6
(2)①由 e ? ???????4 分

2 得 a 2 ? 2b2 2

设 B( x0 , y0 ) ,则 C (? x0 , ? y0 )

? k1 ?

y0 y0 , k2 ? x0 ? a x0 ? a

? k1 ? k2 ?

2 2 y0 y0 ? 2 2 x0 ? a 2 m2 y0 ? 2b2

7

? x ? my ? 2b 2 ? ? x2 y 2 ? y2 ? 2 m ?2 ? 2 ? 2 ?1 ? 2b b
② AB : y ? k1 ( x ? a)

1 ? k1 ? k2 ? ? 为定值 2

???10 分

? y ? k1 ( x ? a) ?? ? x ? a ?1
? S?AEF ?
2

?x ? a ?1 即 E(a ? 1, k1 ) ?? y ? k ? 1

同理, F (a ? 1, k2 )

1 1 EF ? (a ? 1 ? a) ? k1 ? k2 2 2

2 ? k1 ? k2 ? k12 ? k2 ? 1 ? k12 ?

1 ?1 ? 2 4k12

当且仅当 k1 ?
2

1 2 即 k1 ? ? 时取等 2 4k1 2

此时 S min ?

2 2

??????????16 分

8


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