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2013届高考数学知识点复习测试题7


第1讲

不等关系与不等式
★ 知 识 梳理 ★

1.比较原理: 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一:a>b;a<b;a=b;
a ? b ? a ?b ? 0 ;a ? b ? a ?b ? 0;a ? b ? a ?b ? 0 .

2.不等式的性质: (1)对称性: a ? b

? b ? a , a ? b ? b ? a (2)传递性: a ? b, b ? c ? , a ? c (3)可加性: a ? b ? . a ? c ? b ? c 移项法则: a ? b ? c ? a ? c ? b 推论:同向不等式可加.
a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d

(4)可乘性: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 推论 1:同向(正)可乘: a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd 推论 2:可乘方(正): a ? b ? 0 ? a n ? b n ` (5) 可开方(正): a ? b ? 0 ?
n

(n ? N ? , n ? 2) (n ? N ? , n ? 2)

a?nb

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式 (组)研究含有不等关系的问题,理解不等式(组)对于刻画 不等关系的意义和价值.熟悉不等式的性质。

2.难点:正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不等式(组)正确 表示出不等关系。
3.重难点:掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式,利用不等式的性质证 明简单的不等式. (1)用不等式表示不等关系 问题 1. 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本。据市场调查,若单价每提 高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用不等 式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢? 点拨:设杂志社的定价为 x 元,则销售的总收入为 (8 ?

x ? 2.5 ? 0.2) x 万元,那么不等关 0.1

系“销售的总收入仍不低于 20 万元”可以表示为不等式

(8 ?

x ? 2.5 ? 0.2) x ? 20 0.1

(2)用不等式的性质精确的估算变量或参数的取值范围 问题 2. 已知-1<a+b<3 且 2<a-b<4,求 2a+3b 的取值范围. 点拨:∵a+b,a-b 的范围已知, ∴要求 2a+3b 的取值范围, 只需将 2a+3b 用已知量 a+b,a-b 表示出来. 可设 2a+3b=x(a+b)+y(a-b) ,用待定系数法求出 x、y. 解析:设 2a+3b=x(a+b)+y(a-b) ,
5 ? ?x ? 2 , x ? y ? 2, ? ? ∴? 解得 ? x ? y ? 3. ? ?y ? ? 1 ? 2 ?

∴-

5 5 15 < (a+b)< , 2 2 2 1 (a-b)<-1. 2

-2<- ∴- 即-

9 5 1 13 < (a+b)- (a-b)< , 2 2 2 2 9 13 <2a+3b< . 2 2

错解:解此题常见错误是:-1<a+b<3, 2<a-b<4. ①+②得 1<2a<7. 由②得-4<b-a<-2. ①+④得-5<2b<1,∴-
15 3 <3b< . 2 2

① ② ③ ④ ⑤

③+⑤得-

13 17 <2a+3b< . 2 2

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 1 不等关系及不等式 题型 1.建立不等关系 [例 1] 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两 种,按照生产的要求,600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢? 【解题思路】设出变量,将文字语言转化为数学符号. [解析] 假设截得 500mm 的钢管 x 根,截得 600mm 的钢管 y 根.. 根据题意,应有如下的不等关系: (1)解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm; (2)截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍; (3)解得两钟钢管的数量都不能为负。
?500 x ? 600 y ? 4000 ?3x ? y 由以上不等关系,可得不等式组: ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

【名师指引】建立不等关系关键在于文字语言与数学符号间的转 换.它们之间的关系如下表. 文字语言 大于 小于 大于等于 小于等于 数学符号 > < ≥ ≤ 文字语言 至多 至少 不少于 不多于 数学符号 ≤ ≥ ≥ ≤

题型 2 用:比较法两个数的大小

例 2. 比较 解析:

a?m a 与 (其中 b ? a ? 0 , m ? 0 )的大小 b?m b

【解题思路】作差整理,定符号
a ? m a b(a ? m) ? a(b ? m) m(b ? a) ? ? ? , b?m b b(b ? m) b(b ? m) m(b ? a ) a?m a ? . ? 0 ,所以 ∵ b ? a ? 0 , m ? 0 ,∴ b?m b b(b ? m)

【名师指引】作差比较法的步骤是: 1、作差;2、变形:配方、因式分解、通分、分母(分子)有 理化等; 3、判断符号;4、作出结论. 【新题导练】.
1.设 a=2- 5 ,b= 5 -2,c=5-2 5 ,则 a、b、c 之间的大小关系为____________. 解析:a=2- 5 = 4 - 5 <0,∴b>0.c=5-2 5 = 25 - 20 >0. b-c=3 5 -7= 45 - 49 <0.∴c>b>a.答案:c>b>a 2. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多 19 km, 那么在 8 天内它的行程就超过 2 200 km, 如果它每天行驶的路程比原来少 12 km,那么它行驶同样的路程得花 9 天多的时间,这辆汽 车原来每天行驶的路程(km)范围是________________. 解析:这辆汽车原来每天行驶的路程为 x km,则

?8(x ? 19) ? 2 200, 解之,得 256<x<260.答案:256<x<260 ? ?9(x - 12) ? 8(x ? 19),

考点 2 不等式的性质 题型:验证或推导简单不等式的有关结论
例 1. 已知:m>n,a<b,求证:m-a>n-b. 【解题思路】以不等式的性质为基础,进行推导 证法一:由 m>n 知 m-n>0,由 a<b 知 b-a>0. ∴(m-a)-(n-b)=(m-n)+(b-a)>0 ?m-a>n-b; 证法二:∵a<b ∴-a>-b 又∵m>n ∴m+(-a)>n+(-b) ∴m-a>n-b.

【名师指引】不等式的性质中,有“单向性”和“双向性”的区别,切记 随心所欲、自创性质 例 2.已知下列三个不等式① ab ? 0 ;② ? ;③ bc ? ad ,以其中两个 作为条件,余下一个作结论,则可组成几个正确命题. 【解题思路】以比较法为基础进行变形 [解析](1)对②变形 ? ①③ ?②. (2)若 ab ? 0,
bc ? ad bc ? ad ? 0 ,则 bc ? ad ,∴①② ? ③.(3)若 ac ? bd , ? 0 ,则 ab ab c a d bc? ad ? ? 0 ,由 ab ? 0, bc ? ad 得②成立,∴ b ab c a d b

ab ? 0 ,∴①② ?③.

综上所述可组成 3 个正确命题. 【名师指引】 注意运用性质时须满足的条件,如 a ? b 时,判断 ac 与 bc 的大小关系应注意从 c ? 0, c ? 0, c ? 0 三个方面讨论. 【新题导练】.
3..若 a<b<0,则下列不等式不能成立的是 .. A.
1 1 > a b

B.2a>2b D.(
1 a 1 ) >( )b 2 2

C.|a|>|b| 解析:由 a<b<0 知 ab>0,因此 a·

1 1 1 1 <b· ,即 > 成立; ab ab a b

由 a<b<0 得-a>-b>0,因此|a|>|b|>0 成立. 又(
1 x 1 1 ) 是减函数,所以( )a>( )b 成立. 2 2 2

故不成立的是 B. 答案:B 4. 已知四个条件, b>0>a ②0>a>b ③a>0>b ④a>b>0 能推出 ① ( ) A.1 个

1 1 ? 成立的有 a b

B.2 个

C.3 个

D.4 个

解析:运用倒数法则,a>b,ab>0 ?

1 1 ? ,②、④正确.又正数大于负数,故选C. a b

考点 3 不等式性质综合应用 题型 1.用比较法证函数的单调性 例 1. (广东省揭阳二中 2009 届高三上学期期中考试) 已知函数 f ( x) 的定义域为 ? x x ? R, 且x ? 0? 对定义域内的任意 x1 、x2 ,都 有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ), 且当x ? 1时f ( x) ? 0, f (2) ? 1. (1)求证: f ( x) 是偶函数; (2)求证: f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数; (3)解不等式 f (2x2 ?1) ? 2. 【解题思路】证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结合比 较法. 解析; (1)证明 因对定义域内的任意 x1 、 x2 都有
f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ), 令x1 ? x, x2 ? ?1 ,则有
f (? x) ? f ( x? ) f? ( 1 ) ??2



又令 x1 ? x2 ? ?1, 得2 f (?1) ? f (1) 再令 x1 ? x2 ? 1, 得f (1) ? 0, 从而f (?1) ? 0, 于是有 f (? x) ? f ( x), 所以f ( x)是偶函数. (2)设 0 ? x1 ? x2,则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1. 2 )
? x ? x ? f ( x1 ) ? ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? ? ? f ( 2 ), x1 ? x1 ?
x x1

由于 0 ? x1 ? x2 , 所以

x2 x ? 1, 从而 f ( 2 ) ? 0 , x1 x1

故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ), 所以f ( x)在(0, ??) 上 是 增 函 数. (3)由于 f (2) ? 1, 所以2 ? 1 ? 1 ? f (2) ? f (2) ? f (4), 结合(1) (2)已证结

于是待解不等式可化为 f (2 x2 ?1) ? f (4) , 论,可得上式等价于 解得 ? x ? ?
? ? ?
2x2 ?1 ? 4

? 10 10 ? ?x? , 且x ? 0 ? . 2 2 ? ?

【名师指引】 作差法、作商法以及函数的单调性是比较大小的 常用方法.运用不等式性质时应从结论出发, 寻找解题的切入点. 题型 2.用比较法处理数列中的不等关系.
例 2. (广东省揭阳市 2008 年高中毕业班高考调研测试改编)

已知数列 {an } 满足

1 ? an ? 2 n ,且 an ? 0 。 an

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)数列 {an } 是否存在最大项?若存在最大项,求出该项和相应 的项数;若不存在,说明理由。
【解题思路】先由递推关系求通项公式,再用比较法判断数列的单调性

解: (1)由

1 ? an ? 2 n 得 an2 ? 2 nan ?1 ? 0 an

由一元二次方程求根公式得 an ?

?2 n ? 4n ? 4 ? ? n ? n ?1 2

∵ an ? 0 ∴ an ? n ?1 ? n (2) 解:∵
an ? n ?1 ? n ∴
? an?1 n ? 2 ? n ?1 ? an n ?1 ? n

( n ? 2 ? n ? 1)( n ? 2 ? n ? 1)( n ? 1 ? n ) ( n ? 2 ? n ? 1)( n ? 1 ? n )( n ? 1 ? n )

?

n ?1 ? n n ? 2 ? n ?1
an?1 ? 1 ,∵ an ? 0 an

∵ n ? N ? ,∴ n ? 1 ? n ? n ? 2 ? n ? 1 ∴

∴ an?1 ? an , n ? N ? 即 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an?1 ? ? ∴数列 {an } 有最大项,最大项为第一项 a1 ? 2 ?1 。 【名师指引】 借助于比较法验证数列的单调性进而数列的不等关系是 近年高考的热点之一.

【新题导练】 5. 已知 f (x) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 a 、 b ? [?1,1] ,
a ? b ? 0 ,有
f (a) ? f (b) ?0; a?b

(1) 、判断函数 f (x) 在 [?1,1] 上的单调性,并证明你的结论; (2) 、若 f (x) ≤ m 2 ? 2am ? 1 对所有的 x ? [?1,1] 、 a ? [?1,1] 恒成立,求实 数 m 的取值范围。 解: 、依题意,令 x1 ? x2 ,且 x1 、 x2 ? [?1,1] ,则 (1)
f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则函数 f (x) 在 [?1,1] 上的 x1 ? (? x2 )

单调增。 (2) 、依题意, f (x) 在 [?1,1] 上的最大值为 1,则 m 2 ? 2am ? 1 ? 1 对
a ? [?1,1] 恒成立, ? g (a) ? 2ma ? m 2 ? 0 对 a ? [?1,1] 恒成立,
?g (?1) ? ?2m ? m 2 ? 0 ?? ? m ? 2 或 m ? ?2 或 m ? 0 。 2 ? g (1) ? 2m ? m ? 0

6. 已知等差数列{an}的公差大于 0,且 a3,a5 是方程 x2-14x+45=0

1 的两根,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=1-2 bn. (1)求数列{an}、{bn]的通项公式; (2)记 cn=anbn,求证:cn+1≤cn. 解:(1)因为 a3,a5 是方程 x2-14x+45=0 的两根,且数列{an}的公 差 d>0, 9-5 ∴a3=5,a5=9,从而 d= =2 5-3 ∴an=a5+(n-5)d=2n-1 1 2 又当 n=1 时,有 b1=S1=1-2 b1,∴b1=3 1 当 n≥2 时,有 bn=Sn-Sn-1=2(bn-1-bn) bn 1 ∴ = (n≥2) bn-1 3 2 1 ∴数列{bn}是等比数列,且 b1=3,q=3 2 ∴bn=b1qn-1=3n; (2)由(1)知:cn=anbn= 2(2n-1) 2(2n+1) ,cn+1= n 3 3n+1 ∴cn+1≤cn.

2(2n+1) 2(2n-1) 8(1-n) ∴cn+1-cn= - 3n = n+1 ≤0 3n+1 3

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练

1. 如 果 a, b, c 满 足 c ? b ? a , 且 ac ? 0 , 那 么 下 列 选 项 中 不 一 定 成 立 的 是 ( ) A. ab ? ac
ac(a ? c) ? 0

B. c(b ? a) ? 0

C. cb2 ? ab2

D.

解析:由题意知 c ? 0, a ? 0 ,则 A 一定正确,B 一定正确,D 一定正确,故选 C(当 b=0 时) 2.(2008· 吴川一中)对于实数 a、 b ,“ b(b ? a) ? 0 ”是“ A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:由
1 1 a b

a ? 1 ”成立的( b

)

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

a a ?b ?1? ? 0 ? b(b ? a ) ? 0 ;反之不成立.选 C b b
b a a b

3. 若 ? ? 0 ,则下列不等式:① a ? b ? ab ;② | a |?| b | ;③ a ? b ;④ ? ? 2 中, 正确的不等式有( A.1 个 D.4 个 解析:由 ? ? 0 得 b ? a ? 0 , ab ? 0 ,则①④正确,②③错误,故选 B.
4.若 ?

) C.3 个

B.2 个

?
2

1 a

1 b

?? ? ? ?

?
2

,则 ? ? ? 的取值范围是

, ? ? ? 可得 (?? , 0) 2 2 1 1 1 1 a2 b2 5. 设 a ? 0, b ? 0, 求证 ( ) 2 ? ( ) 2 ? a 2 ? b 2 . b a
2 2

解析:由 ? ? ? ? , ? ? ? ? ?

?

?

?

?

证法一:左边-右边= = =

( a )3 ? ( b )3 ab

? ( a ? b)

( a ? b )(a ? ab ? b) ? ab( a ? b ) ab ( a ? b )(a ? 2 ab ? b) ab

=

( a ? b )( a ? b ) 2 ab

? 0 ∴原不等式成立。

证法二:左边>0,右边>0。
左边 ( a ? b )(a ? ab ? b) (a ? ab ? b) 2 ab ? ab ? ? ? ?1∴原不等式 右边 ab( a ? b ) ab ab

成立。

综合拔高训练

6.某人乘坐出租车从 A 地到乙地,有两种方案:第一种方案,乘起步 价为 10 元, km 价 1.2 元的出租车; 每 第二种方案, 乘起步价为 8 元, 每 km 价 1.4 元的出租车,按出租车管理条例,在起步价内,不同型 号的出租车行驶的里路是相等的, 则此人从 A 地到 B 地选择哪一种方 案比较适合? 解:设 A 地到 B 地距离为 mkm,起步价内行驶的路为 akm 显然,当 m≤a 时,选起步价为 8 元的出租车比较合适 当 m>a 时,设 m=a+x(x>0) ,乘坐起步价为 10 元的出租车费用 为 P(x) 元 , 乘 坐 起 步 价 为 8 元 的 出 租 车 费 用 为 Q(x) 元 , 则 P(x)=10+1.2x,Q(x)=8+1.4x ∵ P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x) ∴ 当 x>10 时,P(x)<Q(x),此时起步价为 10 元的出租车比较合 适 当 x<10 时,P(x)>Q(x),此时选起步价为 8 元的出租车比较合适 当 x=10 时,P(x)=Q(x),此时两种出租车任选

7.已知函数 f(x)=|log2(x+1)|,实数 m、n 在其定义域内,且 m<n,f(m)=f(n). 求证: (1)m+n>0; (2)f(m2)<f(m+n)<f(n2).

(1)证法一:由 f(m)=f(n) ,得|log2(m+1)|=|log2(n+1)|,即 log 2(m+1)=±log2 (n+1) , log2(m+1)=log2(n+1) , ① 或 log2(m+1)=log2 1 . n ?1 由①得 m+1=n+1,与 m<n 矛盾,舍去. 由②得 m+1= 1 ,即(m+1) (n+1)=1. n ?1 ∴m+1<1<n+1.∴m<0<n.∴mn<0. 由③得 mn+m+n=0,m+n=-mn>0. 证法二: (同证法一得) (m+1) (n+1)=1. ②



(m ? 1 ? n ? 1 )( ) )(n ? 1 =1.∴m+n+2>2.∴m+n>0. ) ∵0<m+1<n+1,∴ > (m ? 1 2 (2)证明:当 x>0 时,f(x)=|log2(x+1)|=log2(x+1)在(0,+∞)上为增函数. 由(1)知 m2-(m+n)=m2+mn=m(m+n) ,且 m<0,m+n>0,∴m(m+n)<0. 2 2 ∴m -(m+n)<0,0<m <m+n. ∴f(m2)<f(m+n). 同理, (m+n)-n2=-mn-n2=-n(m+n)<0, ∴0<m+n<n2.∴f(m+n)<f(n2). ∴f(m2)<f(m+n)<f(n2).

8. (广东省惠州市 2009 届高三第二次调研考试) 设单调递增函数 f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? ,且对任意的正实数 x,y 有: f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 且 f ( ) ? ?1 . ⑴、 一个各项均为正数的数列 ?an ? 满足: f (sn ) ? f (an ) ? f (an ?1) ?1其 中 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵、在⑴的条件下,是否存在正数 M 使下列不等式:
2n ? a1a2 ??an ? M 2n ?1(2a1 ?1)(2a2 ?1)??(2an ?1)
1 2

对一切 n ? N * 成立?若存在,求出 M 的取值范围;若不存在,请说明 理由. .解:⑴、? 对任意的正数 x、 y 均有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 且 f ( ) ? ?1 . 又? an ? 0且f ( Sn ) ? f (an ) ? f (an ? 1) ? 1 ? f (an ) ? f (an ? 1) ? f ( )
1 2 1 2

1 ? f ( S n ) ? f [(an 2 ? an ) ? ] , 2

又? f ( x) 是定义在 ? 0, ??? 上的单增函数,? Sn ? (an 2 ? an ) .
1 2

当 n ? 1 时, a1 ? (a12 ? a1 ) ,?a12 ? a1 ? 0 .? a1 ? 0 ,?a1 ? 1 . 当 n ? 2 时,?2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? an2 ? an ? an?12 ? an?1 ,
?(an ? an?1 )(an ? an?1 ?1) ? 0 . an ? 0?an ? an?1 ? 1(n ? 2) , ?an ? 为等差数列, ? ? a 1 ? 1, d ? 1 ,? an ? n .

1 2

⑵、假设 M 存在满足条件, 即 立.
M? 2n a1a2 ?? an 2n ? 1(2a1 ? 1)(2a2 ? 1)??(2a n ?1)

对 一 切

n? N*

恒 成

?????8分
2n a1a2 ??an 2n ? 1(2a1 ? 1)(2a2 ? 1)??(2an ?1)

令 g (n) ?



? g (n ? 1) ?

2n?1 ?1? 2 ???? n ? (n ? 1) , 2n ? 3 ?1? 3 ???? (2n ? 1)(2n ? 1)
2n ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 4n2 ? 8n ? 4 ?1 , 4n2 ? 8n ? 3

故 g (n ? 1) ?
g (n)

? g (n ? 1) ? g (n) ,? g (n) 单调递增,? n ? N * , g (n) ? g (1) ?

2 3 . 3

?0? M ? 2 3 . 3


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