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2016海淀高三二模数学理


北京市海淀区高三年级二模 数学 (理科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交 回。

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项。 1.已知全集 U =R , M ? {x | x ? 1}, P ? {x | x ? 2}, 则 ? U ( M ? P) ? A. {x |1 ? x ? 2} B. {x | x ? 1} C. {x | x ? 2} D. {x | x ? 1或x ? 2}

2.在数列 {an } 中, a1 ? 2 ,且 (n ? 1)an ? nan?1 ,则 a 3 的值为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

? x ? 1 ? t, 3. 若点 P (2,4) 在直线 l : ? ( t 为参数)上,则 a 的值为 ? y ? 3 ? at
A. 3 B. 2 C. 1 D. ?1

4.在 ?ABC 中, cos A ? ,cos B ? , 则 sin( A ? B) ? A. ?

7 25

4 5 7 9 B. C. ? 25 25

3 5

D.

9 25

5.在 ( x ? a )5 (其中 a ? 0 )的展开式中, x 2 的系数与 x 3 的系数相同,则 a 的值为 A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2

6.函数 f ( x ) ? ln x ? x ? 1 的零点个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
D C

7. 如图,在等腰梯形 ABCD 中, AB ? 8, BC ? 4, CD ? 4 . 点 P 在 线段 AD 上运动,则 | PA ? PB | 的取值范围是 A. [6,4 ? 4 3] 8. 直线 l : ax ? B. [4 2,8] C. [4 3,8] D. [6,12]

??? ? ??? ?

P A B

1 y ? 1 ? 0 与 x, y 轴的交点分别为 A, B , 直线 l 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 的交点为 C , D . a

给出下面三个结论: ① ?a ? 1, S?AOB ?

1 1 ; ② ?a ? 1,| AB |?| CD | ;③ ?a ? 1, S?COD ? 2 2

则所有正确结论的序号是 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 已知
频率 组距

2 ? 1 ? i, 其中 i 为虚数单位, a ? R ,则 a ? __. a?i

b a 0.12

10.某校为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况,抽查了 100 名同学,统计他们假期参加实践活动的时间, 绘成频率分布直 0.05 0.04 方图(如图). 则这 100 名同学中参加实践活动时间在 6 ~ 10 小时 内的人数为 ___ .
A

2

4

6

8

10 12 小时

?C 的中点, 11. 如图,A, B, C 是 ? O 上的三点, 点 D 是劣弧 B 过点 B 的切线交弦 CD
B

O

C

的延长线交 BE 于点 E . 若∠ BAC ? 80 ,则 ?BED ? __.
?

D

? x ? y ? 2 ? 0, ? 12. 若点 P ( a , b) 在不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 所表示的平面区域内,则原点 O 到直线 ?x ? 1 ?
ax ? by ? 1 ? 0 距离的取值范围是__.
D1

E

C1

π 3 π π ), B( ,1), C ( ,0) ,若这三个点中有且仅有两个点在函 13.已知点 A( , 6 2 4 2 数 f ( x ) ? sin ? x 的图象上,则正数 ..? 的最小值为___.

R A1 Q B1

P

D

C

, R分 别 是 棱 14. 正 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 的 棱 长 为 1 , 点 P, Q

A

B

A1 A,A1B1,A1D1 的中点,以 ?PQR 为底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该
正方体的表面上,则这个正三棱柱的高 h ? __ .

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ?2sin x ? cos2 x . (Ⅰ)比较 f ( ) , f ( ) 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值.

π 4

π 6

16.(本小题满分 13 分) 某家电专卖店试销 A、B、C 三种新型空调,销售情况如下表所示: 第一周 第二周 10 12 8 第三周 15 13 12 第四周 第五周

A 型数量(台) B 型数量(台)
C 型数量(台)

11 10 15

A4 B4 C4

A5

B5 C5

(Ⅰ)求 A 型空调前三周的平均周销售量; (Ⅱ)根据 C 型空调连续 3 周销售情况,预估 C 型空调连续 5 周的平均周销量为 10 台. 请问:当 C 型空调周销售量的方差最小时, 求 C4 , C5 的值; (注:方差 s 2 ? 平均数) (Ⅲ)为跟踪调查空调的使用情况,根据销售记录,从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中 分别随机抽取一台,求抽取的两台空调中 A 型空调台数 X 的分布列和数学期望.

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,?, xn 的 n

17.(本小题满分 14 分) 如图, 等腰梯形 ABCD 中,AB ? CD ,DE ? AB 于 E ,
CF ? AB 于 F , 且A E ? B F E ? F
D C

? 2 ,DE ? CF ? 2 .

将 ?AED 和 ?BFC 分别沿 DE 、 CF 折起,使 A 、 B 两 点重合,记为点 M ,得到一个四棱锥 M ? CDEF ,点
G , N , H 分别是 MC , MD, EF 的中点.
A E F
C

B

D

(Ⅰ)求证: GH ∥平面 DEM ; (Ⅱ)求证: EM ? CN ; (Ⅲ)求直线 GH 与平面 NFC 所成的角的大小.
E M N G H F

18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ( x 2 ? ax ? a) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x ) ? ea 在 [a , ??) 上有解,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若曲线 y ? f ( x ) 存在两条互相垂直的切线,求实数 a 的取值范围.(只需直接写出结果)

19. (本小题满分 13 分) 已知点 A( x1 , y1 ), D( x2 , y2 )( 其中 x1 ? x2 ) 是曲线 y 2 ? 4 x( y ? 0) 上的两点, A, D 两点在 x 轴上的 射影分别为点 B, C ,且 | BC |? 2 . (Ⅰ)当点 B 的坐标为 (1,0) 时,求直线 AD 的斜率; (Ⅱ)记 ?OAD 的面积为 S1 ,梯形 ABCD 的面积为 S2 ,求证:

S1 1 ? . S2 4

20.(本小题满分 13 分)

i ? 1,2, ?,n} ,其中 n ? 3 . 已知集合 ?n ? {X | X ? ( x1 , x2 ,?, xi ,..., xn ), xi ?{0,1},
?X ? ( x1 , x2 ,?, xi ,..., xn ) ??n , 称 x i 为 X 的第 i 个坐标分量. 若 S ? ?n ,且满足如下两条性质:
① S 中元素个数不少于 4 个;

?, n} ,使得 X , Y , Z 的第 m 个坐标分量都是 1; ② ?X , Y , Z ? S ,存在 m ?{1,2,
则称 S 为 ? n 的一个好子集. (Ⅰ)若 S ? {X ,Y , Z ,W } 为 ?3 的一个好子集,且 X ? (1,1,0),Y ? (1,0,1) ,写出 Z ,W ; (Ⅱ)若 S 为 ? n 的一个好子集,求证: S 中元素个数不超过 2 n ?1 ; (Ⅲ)若 S 为 ? n 的一个好子集且 S 中恰好有 2 n ?1 个元素时,求证:一定存在唯一一个

k ? {1,2,..., n} ,使得 S 中所有元素的第 k 个坐标分量都是 1.

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案
数学(理科)2016.5 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 B 5 C 6 A 7 C 8 C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 1 12. [ ,1] 10. 58 11. 60? 14.

1 2

13. 4

3 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? ?2sin x ? cos2 x 所以 f ( ) ? ?2sin

π 4

π π ? cos 2 ? ? ? 2 ???????2 分 4 4

π π π 3 f ( ) ? ?2sin ? cos 2 ? ? ? ???????4 分 6 6 6 2
因为 ? 2 ? ?

3 π π ,所以 f ( ) ? f ( ) ???????6 分 2 4 6

(Ⅱ)因为 f ( x) ? ?2sin x ? (1 ? 2sin 2 x) ???????9 分

? 2sin 2 x ? 2sin x ? 1
1 3 ? 2(sin x ? ) 2 ? 2 2
2 令 t ? sin x, t ? [?1,1] , 所以 y ? 2(t ? ) ?

1 2

3 ,???????11 分 2

因为对称轴 t ?

1 , 2
???????13 分

根据二次函数性质知,当 t ? ?1 时,函数取得最大值 3

16 解: (I) A 型空调前三周的平均销售量

x?

11 ? 10 ? 15 ? 12 台???????2 分 5

(Ⅱ)因为 C 型空调平均周销售量为 10 台, 所以 c4 ? c5 ? 10 ? 5 ? 15 ? 8 ? 12 ? 15 ???????4 分 又s ?
2

1 [(15 ? 10)2 ? (8 ? 10)2 ? (12 ? 10) 2 ? ( c4 ? 10) 2 ? ( c5 ? 10) 2 ] 5
2

化简得到 s ?

1 15 91 [2( c4 ? ) 2 ? ] ???????5 分 5 2 2
2

因为 c4 ? N ,所以当 c4 ? 7 或 c4 ? 8 时, s 取得最小值 所以当 ?

? c4 ? 7 ? c4 ? 8 2 或? 时, s 取得最小值???????7 分 ? c5 ? 8 ? c5 ? 7

(Ⅲ)依题意,随机变量 X 的可能取值为 0,1, 2 ,???????8 分

P( X ? 0) ?

20 25 5 ? ? , 30 40 12

P( X ? 1) ?

10 25 20 15 11 ? + ? = , 30 40 30 40 24 10 15 1 ? ? , ???????11 分 30 40 8

P ( X ? 2) ?

随机变量 X 的分布列为

X
p

0

1

2

5 12

11 24

1 8

随机变量 X 的期望 E ( X ) ? 0 ?

5 11 1 17 ? 1? ? 2 ? ? .???????13 分 12 24 8 24

17 解: (Ⅰ)证明:连结 NG, NE . 在 ?MCD 中,因为 N , G 分别是所在边的中点,所以 NG ??

1 CD ,???????1 分 2
???????2 分

1 又 EH ?? CD , 所以 NG ?? EH , 2
所以 NEHG 是平行四边形,所以 EN ? GH ,???????3 分 又 EN ? 平面 DEM , GH ? 平面 DEM , 所以 GH ? 平面 DEM . (Ⅱ)证明:方法一: 在平面 EFCD 内,过点 H 作 DE 的平行线 HP , 因为 DE ? EM , DE ? EF , EM ? EF ? E , 所以 DE ? 平面 EFM , 所以 HP ? 平面 EFM ,所以 HP ? EF . 又在 ?EMF 中,因为 EM ? MF ? EF ,所以 MH ? EF .

???????4 分 ???????5 分

以 H 为原点, HM , HF , HP 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系???????6 分 所以 E (0, ?1,0), M ( 3,0,0), C (0,1,2), N (

3 1 , ? ,1) ???????7 分 2 2

???? ? ???? 3 3 , ? , ?1) ,???????8 分 所以 EM ? ( 3,1,0), CN ? ( 2 2 ???? ? ??? ? 所以 EM ? CN ? 0 ,所以 EM ? CN . ???????9 分
方法二: 取 EM 中点 K ,连接 NK , FK . 又 NK 为 ?EMD 的中位线,所以 NK ? DE 又 DE ? CF ,所以 NK ? CF ,所以 NKFC 在一个平面中. 因为 ?EMF 是等边三角形,所以 EM ? FK , 又 DE ? EM ,所以 NK ? EM , 且 NK ? FK ? K , 所以 EM ? 平面 NKFC ,???????8 分 而 CN ? 平面 NKFC , 所以 EM ? CN . ???????9 分 ???????7 分 ???????6 分

??? ? ???? ? ??? ? (Ⅲ)因为 CF ? (0,0, ?2) ,所以 EM ? CF ? 0 , 即 EM ? CF ,
又 CF ? CN ? C , 所以 EM ? 平面 NFC , ???? ? 所以 EM 就是平面 NFC 的法向量. ???????11 分

???? 3 1 , ,1) ,设 GH 与平面 NFC 所成的角为 ? , 又 HG ? ( 2 2 3 1 ???? ???? ? ? ???? ???? ? HG ? EM 2 则有 sin ? ?| cos ? HG, EM ?|? ????? ???? ???????13 分 ? ?2 2? 2 2 ?2 | HG || EM |
所以 GH 与平面 NFC 所成的角为

π .???????14 分 4

18 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 R . 当 a ? 1 时,

f '( x) ? e x ( x ? 2)( x ? 1) ???????2 分
当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x

( ??, ?2)

?2

( ?2, ?1)

?1

( ?1, +?)

f '( x)

?

0

?

0

?

f ( x)

?

极大值

?

极小值

?
???????4 分

函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ??, ?2) , ( ?1 , ? ?) , 函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ?2, ?1) . ???????5 分 (Ⅱ)解:因为 f ( x) ? ea 在区间 [a, ??) 上有解, 所以 f ( x ) 在区间 [a, ??) 上的最小值小于等于 ea . 因为 f '( x) ? e x ( x ? 2)( x ? a) , 令 f '( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? ?a . 当 ? a ? ?2 时,即 a ? 2 时, 因为 f '( x) ? 0 对 x ? [a, ??) 成立,所以 f ( x ) 在 [a, ??) 上单调递增, 此时 f ( x ) 在 [a, ??) 上的最小值为 f (a), 所以 f (a) ? ea (a 2 ? a 2 ? a) ? ea , 解得 ?1 ? a ? ???????6 分

1 ,所以此种情形不成立,???????8 分 2

当 ? a ? ?2 ,即 a ? 2 时, 若 a ? 0 , 则 f '( x) ? 0 对 x ? [a, ??) 成立,所以 f ( x ) 在 [a, ??) 上单调递增, 此时 f ( x ) 在 [a, ??) 上的最小值为 f (a), 所以 f (a) ? ea (a 2 ? a 2 ? a) ? ea , 解得 ?1 ? a ? 若a ? 0, 若 a ? ?2 ,则 f '( x) ? 0 对 x ? (a, ?a ) 成立, f '( x) ? 0 对 x ? [?a, ??) 成立. 则 f ( x ) 在 ( a, ?a ) 上单调递减,在 [ ?a, ??) 上单调递增, 此时 f ( x ) 在 [a, ??) 上的最小值为 f ( ? a ), 所以有 f (?a) ? e? a (a 2 ? a 2 ? a) ? e? a ? a ? ea ,解得 ?2 ? a ? 0 ,??????10 分 当 a ? ?2 时,注意到 ?a ? [a, ??) ,而 f (?a) ? e? a (a 2 ? a 2 ? a) ? e? a ? a ? ea , 此时结论成立. 综上, a 的取值范围是 ( ??, ] . ???????12 分 法二:因为 f ( x) ? ea 在区间 [a, ??) 上有解, 所以 f ( x ) 在区间 [a, ??) 上的最小值小于等于 ea , 当 a ? 0 时,显然 0 ? [a, ??) ,而 f (0) ? a ? 0 ? ea 成立,???????8 分 ???????11 分

1 1 ,所以 0 ? a ? . 2 2

???????9 分

1 2

当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 对 x ? [a, ??) 成立,所以 f ( x ) 在 [a, ??) 上单调递增, 此时 f ( x ) 在 [a, ??) 上的最小值为 f ( a ) , 所以有 f (a) ? ea (a 2 ? a 2 ? a) ? ea ,

1 1 ,所以 0 ? a ? .???????11 分 2 2 1 综上, a ? ( ??, ] .???????12 分 2
解得 ?1 ? a ? (Ⅲ) a 的取值范围是 a ? 2 .???????14 分

19 解:(Ⅰ)因为 B(1,0) ,所以 A(1, y1 ), 代入 y 2 ? 4 x ,得到 y1 ? 2 ,???????1 分 又 | BC |? 2 ,所以 x2 ? x1 ? 2 ,所以 x2 ? 3 ,???????2 分 代入 y 2 ? 4 x ,得到 y1 ? 2 3 ,???????3 分 所以 k AD ?

y2 ? y1 2 3 ? 2 ? ? 3 ?1. x2 ? x1 2

???????5 分

(Ⅱ)法一:设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m . 则 S1 ? S?OMD ? S?OMA ? |m( x2 ? x1 )| ? |m|. ???????7 分

1 2

? y ? kx ? m 由? 2 , 得 k 2 x 2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 , ? y ? 4x
? ? ? ? (2km ? 4) 2 ? 4k 2 m 2 ? 16 ? 16km ? 0 ? 4 ? 2km ? 所以 ? x1 ? x2 ? ???????9 分 k2 ? ? m2 x x ? ? 1 2 k2 ?
又 S2 ? ( y1 ? y2 )( x2 ? x1 ) ? y1 ? y2 ? kx1 ? m ? kx2 ? m ? 又注意到 y1 y2 ? 所以

1 2

4 ,???????11 分 k

km ? 0 ,所以 k ? 0, m ? 0 , 4

S1 m km ? ? ,???????12 分 S2 y1 ? y2 4

因为 ? ? 16 ? 16km ? 0 ,所以 0 ? km ? 1 ,所以 法二:设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m .

S1 km 1 ? ? .???????13 分 S2 4 4

? y ? kx ? m 由? 2 , 得 k 2 x 2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 , ? y ? 4x
? ? ? ? (2km ? 4) 2 ? 4k 2 m 2 ? 16 ? 16km ? 0 ? 4 ? 2km ? 所以 ? x1 ? x2 ? ???????7 分 k2 ? ? m2 ? x1 x2 ? 2 k ?

| AD |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 2 1 ? k 2 ,
点 O 到直线 AD 的距离为 d ?

???????8 分

|m| 1? k
2

, 所以 S1 ?

1 | AD | ?d ?| m |? |m| ??????9 分 2
4 , k
???????11 分

又 S2 ? ( y1 ? y2 )( x2 ? x1 ) ? y1 ? y2 ? kx1 ? m ? kx2 ? m ? 又注意到 y1 y2 ? 所以

1 2

km ? 0 ,所以 k ? 0, m ? 0 , 4

S1 m km ? ?= ,???????12 分 S2 y1 ? y2 4 S1 km 1 ? ? . S2 4 4
???????13 分

因为 ? ? 16 ? 16km ? 0 ,所以 0 ? km ? 1 ,所以

法三:直线 OD 的方程为 y ?

y2 x , ???????6 分 x2

所以点 A 到直线 OD 的距离为 d ?

| x1 y2 ? x2 y1 | x22 ? y22

???????7 分

又 | OD |? x22 ? y22 , ???????8 分 所以 S1 ?

1 1 | OD | d ? | x1 y2 ? x2 y1 | 2 2

???????9 分 又 S2 ? ( y1 ? y2 )( x2 ? x1 ) ? y1 ? y2,

1 2

1 | x1 y2 ? x2 y1 | | x y ? x y | 所以 S1 ? 2 2 1 ? 1 2 S2 ( y1 ? y2 ) 2( y1 ? y2 )

y12 y2 y2 ? 2 y1 | y y | y ? y | 2 ???????10 分 4 ? 4 ? 1 2 1 2( y1 ? y2 ) 8( y1 ? y2 ) |
? y12 ? 4 x1 ? , 所以 y22 ? y12 ? 4( x2 ? x1 ) ? 8 ???????11 分 因为 ? 2 y ? 4 x ? ? 2 2
y1 y2 S1 y1 y2 | y1 ? y2 | y1 y2 | y12 ? y2 2 | ? ? ? 代入得到, ???????12 分 2 ( y1 ? y2 )2 S2 8( y1 ? y2 ) 8( y1 ? y2 )
因为 y1 ? y2 ? 2 y1 y2 , 所以 当且仅当 y1 ? y2 时取等号,

S1 yy 1 ? 1 2 ? . S2 4 y1 y2 4

???????13 分

20 解:(Ⅰ) Z ? (1,0,0),W ? (1,1,1) ???????2 分 (Ⅱ)对于 X ? ? n ,考虑元素 X ' ? (1 ? x1 ,1 ? x2 ,?,1 ? xi ,?,1 ? xn ) ,

1,2,?, n? , xi , yi ,1 ? xi 不可能都为 1, 显然, X ' ??n , ?X ,Y , X ' ,对于任意的 i ? ?
可得 X , X ' 不可能都在好子集 S 中???????4 分 又因为取定 X ,则 X ' 一定存在且唯一,而且 X ? X ' , 且由 X 的定义知道, ?X ,Y ??n , X ' ? Y ' ? X ? Y ,???????6 分 这样,集合 S 中元素的个数一定小于或等于集合 ? n 中元素个数的一半, 而集合 ? n 中元素个数为 2n ,所以 S 中元素个数不超过 2n?1 ;???????8 分 (Ⅲ) ?X ? ( x1, x2 ,?, xn?1, xn ) , Y ? ( y1, y2 ,?, yn?1, yn ) ??n 定义元素 X , Y 的乘积为: XY ? ( x1 y1, x2 y2 ,?, xn?1 yn?1, xn yn ) ,显然 XY ??n . 我们证明: “对任意的 X ? ( x1, x2 ,?, xn?1, xn ) ? S , Y ? ( y1, y2 ,?, yn?1, yn ) ? S ,都有 XY ? S .” 假设存在 X , Y ? S , 使得 XY ? S ,

则由(Ⅱ)知, ( XY )' ? (1 ? x1 y1,1 ? x2 y2 ,?,1 ? xn?1 yn?1,1 ? xn yn ) ? S 此时,对于任意的 k ?{1,2,..., n} , xk , yk ,1 ? xk yk 不可能同时为 1 , 矛盾, 所以 XY ? S . 因为 S 中只有 2 n ?1 个元素,我们记 Z ? ( z1, z2 ,?, zn?1, zn ) 为 S 中所有元素的乘积, 根据上面的结论,我们知道 Z ? ( z1, z2 ,?, zn?1, zn ) ? S , 显然这个元素的坐标分量不能都为 0 ,不妨设 zk ? 1 , 根据 Z 的定义,可以知道 S 中所有元素的 k 坐标分量都为 1 ???????11 分 下面再证明 k 的唯一性: 若还有 zt ? 1 ,即 S 中所有元素的 t 坐标分量都为 1 , 所以此时集合 S 中元素个数至多为 2 所以结论成立???????13 分
n ?2

个,矛盾.


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