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高中数学立体几何常考证明题汇总


立体几何选择题:
一、三视图考点透视: ①能想象空间几何体的三视图,并判断(选择题). ②通过三视图计算空间几何体的体积或表面积. ③解答题中也可能以三视图为载体考查证明题和计算题. 1.一空间几何体的三视图如图 2 所示,
3 3

x

x

4 正视图

4 侧视图

8 5 该几何体的体积为 12? ? , 3 则正视图中 x 的值为( )
A. 5 C. 3 B. 4 D. 2

俯视图

2.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为图 (2 D )

3.如图 4,已知一个锥体的正视图(也称主视图) ,左视图(也称侧视图)和俯视图均为直角三角形,且面积分 别为 3,4,6,则该锥体的体积是 4 .

正视图

左视图

俯视图

图4

4.某四棱锥的三视图如图 1-1 所示,该四棱锥的表面积是( B

)

A.32 B.16+16 2 C.48 D.16+32 2 二、直观图 掌握直观图的斜二测画法:①平行于两坐标轴的平行关系保持不变; ②平行于 y 轴的长度为原来的一半,x 轴不变; ③新坐标轴夹角为 45°或 135°。 1、利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图,得到下列结论,其中正确的是( A.正三角形的直观图仍然是正三角形. B.平行四边形的直观图一定是平行四边形. C.正方形的直观图是正方形. D.圆的直观图是圆



2、如图,梯形 A1B1C1D1 是一平面图形 ABCD 的直观图(斜二测),若 A1D1∥O1y1,A1B1∥C1D1,A1B1=2,C1D1=3,A1D1 =1,则梯形 ABCD 的面积是( ) A.10 B.5 C.5 2 D.10 2 三、表面积和体积 不要求记忆,但要会使用公式。审题时分清“表面积”和“侧面积” 。 (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积,球的表面积公式。 (2)柱、锥、台体,球体的体积公式。 (3)正方体的内切球和外接球:内切球半径? 外接球直径? (4)扇形的面积公式 S ? 1 lr ? 1 ? r 2
2 2

弧长公式 l ? ? r )

1、一个直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4,以它的斜边为轴旋转所得的旋转体的表面积为( A. 84 ? B. 144 ? C. 36? D.24 ?
5
15

2、若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项,则称此圆锥为“黄金圆锥” 。已知某黄金圆锥的侧面积为 ? ,则这 个圆锥的高为________1 3、将圆心角为 1200 ,面积为 3? 的扇形,作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积为_________. 4、若一个球的体积是 4 3? ,则它的表面积为_________. 四、点、线、面的位置关系 1、下列四个命题中假命题的个数是( )A ① 两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。 ② 两条直线没有公共点,则这两条直线平行。 ③ 两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行。 ④ ? // ? , a ? ? , b ? ? ? a // b 。 A. 4 B.3 C.2 D.1 2、 阅读以下命题: ① 如果 a , b 是两条直线,且 a // b ,那么 a 平行于经过 b 的所有平面. ② 如果直线 a 和平面 ? 满足 a // ? ,那么 a 与 ? 内的任意直线平行. ③ 如果直线 a , b 和平面 ? 满足 a // ? , b // ? ,那么 a // b .

④如果直线 a , b 和平面 ? 满足 a // b, a // ? , b ? ? ,那么 b // ? . ⑤ 如果平面 ? ⊥平面γ ,平面 ? ⊥平面γ , ? ? ? ? l ,那么 l ⊥平面γ . 请将所有正确命题的编号写在横线上 4,5 . 3、设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是( ) (A)若 m ? n, m ? ? , n // ? ,则 ? / / ? B)若 m / /? , n / / ? , ? / / ? ,则 m / / n (C)若 m ? ? , n / / ? , ? / / ? ,则 m ? n (D)若 m // n, m // ? , n // ? ,则 ? / / ?

立体几何常考证明题:
1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, E , F , G, H 分别是边 AB, BC, CD, DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形 (2) 若 BD= 2 3 ,AC=2,EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。 A E B F C G H D

2、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点。 求证: (1) AB ? 平面 CDE;

(2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 E

A

考点:线面垂直,面面垂直的判定 B

C

D

3、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点,

BDE 。 求证: AC 1 // 平面
考点:线面平行的判定 B1

A
1

D1

E

C
1

A

D

B

C

4、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC . 考点:线面垂直的判定

S

D A C B

5、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC ? 面 AB1D1 . 1 考点:线面平行的判定(利用平行四边形) ,线面垂直的判定

D1 A1 D O A B B1

C1

C

6、正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,求证: (1) AC ? 平面B ' D ' DB ; (2) BD ' ? 平面ACB ' .

考点:线面垂直的判定 7、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中.(1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. 考点:线面平行的判定(利用平行四边形) A1 E D A D1 B1 F G B C C1

8 、如图 P 是 ?ABC 所在平面外一点, PA ? PB, CB ? 平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点,

AN ? 3NB (1)求证: MN ? AB ; (2)当 ?APB ? 90 , AB ? 2 BC ? 4 时,求 MN 的长。
考点:三垂线定理
M

P

C

A N

B

9、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 C1 D1 的中点.求证:平面 D1EF ∥ 平面 BDG . 考点:线面平行的判定(利用三角形中位线)

10、如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点.

BDE ; (1)求证: AC 1 // 平面
(2)求证:平面 A1 AC ? 平面 BDE . 考点:线面平行的判定(利用三角形中位线) ,面面垂直的判定

11 、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 60 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形,
0

且平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB ; (3)求二面角 A ? BC ? P 的大小.

考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法 (定义法)

14、如图 1,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: AO ? 平面 MBD. 1 考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直(设棱长为 a)

1.证明:在 ?ABD 中,∵ E , H 分别是 AB, AD 的中点∴ EH // BD, EH ? 同理, FG // BD, FG ? (2) 90° 30 °

1 BD 2

1 BD ∴ EH // FG, EH ? FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 2

2.证明: (1)

BC ? AC ? ? ? CE ? AB AE ? BE ?

同理,

AD ? BD ? ? ? DE ? AB AE ? BE ?
∴ AB ? 平面 CDE

又∵ CE ? DE ? E

(2)由(1)有 AB ? 平面 CDE 又∵ AB ? 平面 ABC , ∴平面 CDE ? 平面 ABC

3.证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∵ E 为 AA1 的中点, O 为 AC 的中点 ∴ EO 为三角形 A 1 AC 的中位线 ∴ EO // AC 1

BDE 外 又 EO 在平面 BDE 内, AC 1 在平面 BDE 。 ∴ AC 1 // 平面
4.证明:∵?ACB ? 90 °

? B C? A C

又 SA ? 面 ABC

? S A? B C

? BC ? 面 SAC ? BC ? AD

又 SC ? AD, SC ? BC ? C ? AD ? 面 SBC

5.证明: (1)连结 AC 1 1 ,设 ∴A1C1∥AC 且 AC 1 1 ? AC

AC 1 1 ?B 1D 1 ?O 1 ,连结 AO

1

∵ ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方体

? A1 ACC1 是平行四边形

又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点,∴O1C1∥AO 且 O1C1 ? AO

? AOC1O1 是平行四边形 ?C1O∥AO1, AO1 ? 面 AB D , C O ? 面 AB D ∴C O∥面 AB D 1 1 1 1 1 1 1 1 (2) CC1 ? 面 A1B1C1D1 ?C C 1 ? B 1 D ! ∵ AC ? B D 1 1 1 1 , ?B D ? 面 A C C 又 即A1 C? B 1 1 1 1 1 D 1 AC ? AD D B ? AD ? D 1 1 1 1 1 1 同理可证 , 又 ? 面 AB1D1 ? AC 1
6.无答案 7.证明:(1)由 B1B∥DD1,得四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD, 又 BD ?平面 B1D1C,B1D1 ? 平面 B1D1C, ∴BD∥平面 B1D1C. 同理 A1D∥平面 B1D1C. 而 A1D∩BD=D,∴平面 A1BD∥平面 B1CD. (2)由 BD∥B1D1,得 BD∥平面 EB1D1.取 BB1 中点 G,∴AE∥B1G. 从而得 B1E∥AG,同理 GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.∴DF∥平面 EB1D1.∴平面 EB1D1∥平面 FBD. 8.证明: (1)取 PA 的中点 Q ,连结 MQ, NQ ,∵ M 是 PB 的中点,

MQ ? 平面 PAB N ?N 3 B , A ? P B , ∴ PD ? AB , ∴ QN 是 MN 在平面 PAB 内的射影 , 取 AB 的中点 D , 连结 PD , ∵P 又A ∴ BN ? ND ∴ QN // PD ,∴ QN ? AB ,由三垂线定理得 MN ? AB 1 (2)∵ ?APB ? 90 , PA ? PB, ∴ PD ? AB ? 2 ,∴ QN ? 1 ,∵ MQ ? 平面 PAB .∴ MQ ? NQ ,且 2 1 MQ ? BC ? 1 ,∴ MN ? 2 2
∴ MQ // BC ,∵ CB ? 平面 PAB ,∴
[来源:学§科§网]

9.证明:∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点,? EF ∥ BD 又 EF ? 平面 BDG , BD ? 平面 BDG ? EF ∥平面 BDG ∵ D1G

EB ? 四边形 D1GBE 为平行四边形, D1E ∥ GB

又 D1E ? 平面 BDG , GB ? 平面 BDG ? D1E ∥平面 BDG

EF ? D1E ? E , 平面 D EF ∥平面 BDG ? 1
10.证明: (1)设 AC ? BD ? O , ∵ E 、 O 分别是 AA1 、 AC 的中点,? AC 1 ∥ EO

BDE 又 AC ? 平面 BDE , EO ? 平面 BDE ,? AC 1 1 ∥平面
(2)∵ AA1 ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , AA1 ? BD 又 BD ? AC ,

AC ? AA1 ? A , BD ? 平面 A AC , BD ? 平面 BDE , 平面 BDE ? 平面 A AC ? ? 1 1

11.证明: (1) ?ABD 为等边三角形且 G 为 AD 的中点,? BG ? AD 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,? BG ? 平面 PAD (2) PAD 是等边三角形且 G 为 AD 的中点,? AD ? PG 且 AD ? BG , PG ? BG ? G ,? AD ? 平面 PBG ,

PB ? 平面 PBG ,? AD ? PB
(3)由 AD ? PB , AD ∥ BC ,? BC ? PB 又 BG ? AD , AD ∥ BC ,? BG ? BC

? ?PBG 为二面角 A ? BC ? P 的平面角
在 Rt ?PBG 中, PG ? BG ,? ?PBG ? 45
0

12.证明:连结 MO, A1M ,∵DB⊥ A 1 A ,DB⊥AC,

A1 A ? AC ? A ,

∴DB⊥平面 A ? 平面 A1 ACC1 ∴DB⊥ AO 1 ACC1 ,而 AO 1 1 .
2 设正方体棱长为 a ,则 A1O ?

3 2 3 a , MO 2 ? a 2 . 2 4


A1M 2 ? 在 Rt△ A1C1M 中,

9 2 2 2 2 a . ∵ AO , ∴A O O ? M ? MO ? A1M 1 1 4

∵OM∩DB=O,∴ AO 1 ⊥平面 MBD. .


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