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浅谈高考浅谈高考中的数学建模问题


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浅谈高考中的数学建模问题
宁波鄞州正始中学数学组—王伍成 函数是高中数学的主要内容,涉及函数的应用问题,题源丰富,背景深刻, 题型新颖,解法灵活,是历年高考命题的热点之一,同时也是考生失分较多的一 种题型。应用题与现实生活联系密切,它

不仅能培养学生分析问题和解决实际问 题的能力,还能提高学生的思维素质。 一般来说,高考中的函数应用题往往是以现实生活为原型设计的,其目的在 于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力,求解时一般按以下几步 进行: (1)阅读理解、认真审题; (2)利用数学符号,建立数学模型; (3)利用 数学的相关方法将得到的常见数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果。而解 答这类问题的要害就在于理解题意,建立恰当的数学模型将问题转化为数学问 题。 下面略举数例谈谈函数建模在生活和高考中的应用。 实际问题中的“ “控制 “控制”等问题,常需建立“不等式模型” 1、 优化问题 实际问题中的“优选” 控制”等问题,常需建立“不等式模型” 线性规划” 或“线性规划”问题解决 例 1、(1996 年全国高考题)某地现有耕地 10000 公顷,规划 l0 年后粮食单产比 现在增加 22%, 人均粮食占有量比现在提高 10%, 如果人口年增长率为 1%, 那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到 1 公顷)? (粮食单产=总产量/总面积,人均粮食占有量=总产量/总人口数)。 (平均增长率问题:如果原来人口的基础数为 N,平均增长率为 p,则对于时 间 x 的人口量为 y=N(1+p)x.) 分析:人口是以年增长率计算,土地是以每年减少的亩数计算,因此可以这样理 解:人口是以几何级数(等比数列)增长,土地是以算术级数(等差数列)减少。本 题的解答关键是建立数学模型,设现在总人口为 p 人时,10 年后总人口为 p(1+0.01)10;现在人均粮食占有量为 bt(吨)时,10 年后则为 6(1+10%)t;现 在耕地共 104 公顷,设每年允许减少 xha 时,10 年后耕地将共有(104 一 l0x) 公 顷;现有单产为 Mt 吨/公顷,10 年后单产为 M×(1+22%)t/公顷。设耕地平均 每年至多只能减少 x 公顷,又设该地区现有人口为 p 人,粮食单产为 M 吨/公顷。
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解:依题意得不等式

答:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少 4 公顷。 本题也可属于预测问题,通过建立数列模型和不等式模型来解决问题。 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成 计成“ 2、最(极)值问题 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函 数模型” 转化为求函数的最值。 数模型”,转化为求函数的最值。 例 2、(2007 年福建高考)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元( 3 ≤ a ≤ 5 )的管理费,预计当每件产品
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的售价为 x 元( 9 ≤ x ≤ 11 )时,一年的销售量为 (12 ? x) 2 万件. (Ⅰ)求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最 大值 Q (a ) 分析:总利润=每一件的利润×销售量=(每一件的售价-成本-管理费)×销售量 解: (Ⅰ)分公司一年的利润 L (万元)与售价 x 的函数关系式为:

L = ( x ? 3 ? a )(12 ? x) 2,x ∈ [9, . 11]
(Ⅱ) L′( x) = (12 ? x) 2 ? 2( x ? 3 ? a )(12 ? x)

= (12 ? x)(18 + 2a ? 3 x) .

2 令 L′ = 0 得 x = 6 + a 或 x = 12 (不合题意,舍去) . 3 2 28 Q 3 ≤ a ≤ 5 ,∴ 8 ≤ 6 + a ≤ . 3 3 2 在 x = 6 + a 两侧 L′ 的值由正变负. 3 2 9 所以(1)当 8 ≤ 6 + a < 9 即 3 ≤ a < 时, 3 2
Lmax = L(9) = (9 ? 3 ? a )(12 ? 9) 2 = 9(6 ? a ) .

2 28 9 (2)当 9 ≤ 6 + a ≤ 即 ≤ a ≤ 5 时, 3 3 2

Lmax

2 2 2 ?? ? ?? ? ? 1 ? = L(6 + a) = ? 6 + a ? 3 ? a ? ?12 ? ? 6 + a ? ? = 4 ? 3 ? a ? , 3 3 3 ?? ? ?? ? ? 3 ?

2

3

9 ? 3≤ a < , ?9(6 ? a ), 2 ? 所以 Q(a ) = ? 3 ?4 ? 3 ? 1 a ? , 9 ≤ a ≤ 5 ? ? ? 3 ? 2 ? ? 答:若 3 ≤ a < 9 ,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 2

9 2 ? ? Q (a ) = 9(6 ? a ) (万元) ;若 ≤ a ≤ 5 ,则当每件售价为 ? 6 + a ? 元时,分公司 2 3 ? ?

? 1 ? 一年的利润 L 最大,最大值 Q(a ) = 4 ? 3 ? a ? (万元) ? 3 ?

3

本题利用导数来求三次函数的最值。 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型” 3、 预测问题 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决 例 3、 (2002 年全国理科)某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每 年报废上一年末汽车保有量的 6%,并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环 境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多 少辆?
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解: 2001 年末汽车保有量为 b1 万辆, 设 以后各年末汽车保有量依次为 b2 万辆, 3 b 万辆,…,每年新增汽车 x 万辆,则

b1 = 30 , b2 = b1 × 0.94 + x
对于 n > 1 ,有
bn +1 = bn × 0.94 + x = bn ?1 × 0.94 2 + (1 + 0.94) x L

所以 bn +1 = b1 × 0.94 n + x (1 + 0.94 + 0.94 2 + L + 0.94 n )

= b1 × 0.94 n +
=

1 ? 0.94 n x 0.06

x x + (30 ? ) × 0.94 n 0.06 0.06

当 30 ?

x ≥ 0 ,即 x ≤ 1.8 时 0.06

bn +1 ≤ bn ≤ L ≤ b1 = 30 。

当 30 ?

x < 0 ,即 x > 1.8 时 0.06

数列 {bn } 逐项增加,可以任意靠近 lim bn = lim [

x 0.06

x x x + (30 ? ) × 0.94 n ?1 ] = n → +∞ n → +∞ 0.06 0.06 0.06 因此,如果要求汽车保有量不超过 60 万辆,即 bn ≤ 60 ( n = 1,2,3, L )
x ≤ 60 ,即 x ≤ 3.6 万辆 0.06 综上,每年新增汽车不应超过 3.6 万辆。 建立“方程模型”解决,通过题目中的等量关系建立方程, 4、 等量关系问题 建立“方程模型”解决,通过题目中的等量关系建立方程, 再通过方程整理出函数关系式或解方程来解决问题。 再通过方程整理出函数关系式或解方程来解决问题。 例 4、(1995 年全国高考题)某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当 范围内,决定对淡水鱼养殖提供政府补贴,设淡水鱼的市场价格为 x 元/kg,政 府补贴为 t 元/kg,根据市场调查,当 8≤x≤14 时,淡水鱼的市场日供应量 Pkg 与市场日需求量 Qkg 近似地满足关系 P=1000(x+t-8),(x≥8,t≥0)









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当 P=Q 时的市场价格称为市场平衡价格。 (1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域; (2)为使市场平衡价格不高于每千克 10 元,政府补贴至少为每千克多少元? 分析:从数学的角度理解政府补贴 t 的含义,可与税收联系起来,当 t>0 时,则 是补贴,意在扶植促进某个行业的发展,如果 t<0 时,则是课税,为政府积累资 金。

解:(1)依题设,有

解 得 t≥1 或 t≤-5,由于 t≥0,知 t≥1,从而政府补贴至少为每千克 1 元。 可设计成“图形模型” 建立坐标, 5、测量问题 可设计成“图形模型”利用几何知识解决 。建立坐标,将问题转 化为几何问题,利用几何知识或者解析几何知识来解决问题。 化为几何问题,利用几何知识或者解析几何知识来解决问题。 例 5、 (2003 年全国理科)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风
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中心位于城市 O(如图)的东偏南 θ (cos θ =

2 ) 方向 300km 的海面 P 处,并以 10

20km/h 的速度向西偏北 45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径 为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?

.解:如图建立坐标系:以 O 为原点,正东方向为 x 轴正向.

在时刻:t(h)台风中心 P ( x, y ) 的坐标为
? 2 2 ? 20 × t, ? x = 300 × ? 10 2 ? ? y = ?300 × 7 2 + 20 × 2 t. ? 10 2 ?

此时台风侵袭的区域是 ( x ? x) 2 + ( y ? y ) 2 ≤ [r (t )]2 , 其中 r (t ) = 10 t+60, 若在 t 时,该城市 O 受到台风的侵袭,则有
(0 ? x) 2 + (0 ? y ) 2 ≤ (10t + 60) 2 ,

即 (300 ×

2 2 2 7 2 2 2 ? 20 × t ) + (?300 × + 20 × t ) ≤ (10t + 60) 2 , 10 2 10 2

即 t 2 ? 36t + 288 ≤ 0 ,

解得 12 ≤ t ≤ 24 .

答:12 小时后该城市开始受到台风气侵袭。 本题通过建立解析几何模型来解决,此模型可用于研究台风,沙暴中心的运动规 律,以预防自然灾害。


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