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江苏省启东中学2008届高三阶段考试数学试题(文科)


江苏启东中学 2008 届 高 三 阶 段 考 试

数学试题(文科)
一、填空题:(每小题 5 分,共 70 分) 1.设集合 A = {x | ?1 ≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则 A∩B= 3.若 f ( x) = sin α ? cos x ,则 f ' (α ) 等于 4.若 α 是第二象限的角,且 sin α = 5.等差

数列 {a n } 中, S10 = 120 . .

但没有正根, 则实数 a 的取值范围是 2. 已知关于 x 的方程 x = ax + 1 有一个负根, . . . .

2 ,则 cosα = 3

,那么 a2 + a9 的值是

6.若向量 AB = (3, ?1), n = (2,1) ,且 n ? AC = 7,那么 n ? BC 等于

uuu r

r

r uuur

r uuu r

7. 若复数 Z = a + i ( a ∈ R ) 与它的共轭复数 Z 所对应的向量互相垂直, a 的值为 则
2 8.若抛物线 y = 2 px 的焦点与椭圆

. .

x2 y2 + = 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2
.

9.若 z ∈ C 且| z + 2 ? 2i |=1,则| z ? 2 + 2i |的取值范围是

10.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等 的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为 1 , 那么这个几何体的体积为 . 主视图 左视图

11. ?ABC 中, AB ⊥ AC , AC = b, BC = a , ?ABC 的 在 若 则 外接圆半径 r =

俯视图 11 题

a 2 + b2 ,将此结论拓展到空间,可得出 2

的正确结论是:在四面体 S ? ABC 中,若 SA、SB、SC 两两垂直,

SA = a, SB = b, SC = c ,则四面体 S ? ABC 的外接球半径 R = ____________. ? x≥0 ? y≥0 ? 12.在约束条件 ? 下,当 3 ≤ s ≤ 5 时,目标函数 z = 3 x + 2 y 的最大值的变化范围 ? x+ y ≤s ? y + 2x ≤ 4 ?
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.

13.在计算机的算法语言中有一种函数 [ x ] 叫做取整函数(也称高斯函数),它表示 x 的整 数部分,即[ x ]是不超过 x 的最大整数.例如: [2] = 2,[3.1] = 3,[ ?2.6] = ?3 .设函数

f ( x) =

2x 1 ? ,则函数 y = [ f ( x )] + [ f ( ? x )] 的值域为 ______________. x 1+ 2 2

14.设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,若以点 O (0,0) 、A (l , S l ) 、B ( m, S m ) 、C ( p, S p ) 为 顶点的四边形,则之间的等量关系式经化简后为______________. 二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(15 分)已知函数 f ( x ) = 2 sin ? x + (Ⅰ)当 x ∈ ?

? ?

π?

? ? 2 cos x . 6?

4 ?π ? , π ? 时,若 sin x = ,求函数 f (x) 的值; 5 ?2 ? π π ?π ? (Ⅱ)当 x ∈ ? , π ? 时,求函数 h( x) = 3sin( ? x) ? cos(2 x ? ) 的值域; 6 3 ?2 ? ur (Ⅲ)把函数 y = f (x ) 的图象按向量 m 平移得到函数 g (x ) 的图象,若函数 g (x ) 是偶

ur ur 函数,写出 m 最小的向量 m 的坐标.

16.(15 分)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、

DB 的中点. (Ⅰ)求证: EF //平面 ABC1 D1 ;
(Ⅱ)求证: EF ⊥ B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 VB1 ? EFC 的体积.
A1

D1 B1 E

C1

D F A
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C B

17.(15 分) 已知圆 C:x2+y2+2 x -4y+3=0. (I)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,求此切线的方程. (II) 从圆 C 外一点 P(x 1,y1)向该圆引一条切线, 切点为 M, 为坐标原点, O 且有|PM|=|PO|, 求使得|PM|取得最小值的点 P 的坐标.

18.(15 分) 某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用 12 万元,以后 每年都增加 4 万元,每年捕鱼收益 50 万元. (1)问第几年开始获利? (2)若干年后,有两种处理方案:①年平均获利最大时,以 26 万元出售该渔船;②总 纯收入获利最大时,以 8 万元出售该渔船. 问哪种方案最合算?

19.(15 分)等差数列 {a n } 中,前 n 项和为 S n ,首项 a1 = 4, S 9 = 0 (1)若 a n + S n = ?10 ,求 n ; (2)设 b n = 2
an

,求使不等式 b1 + b2 + L + bn > 2007 的最小正整数 n 的值.

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20.(15 分) 已知函数 y =| x | +1 , y =

1 1? t (x + ) ( x > 0) 的最 2 x 3 2 小值恰好是方程 x + ax + bx + c = 0 的三个根,其中 0 < t < 1 . 2 (1)求证: a = 2b + 3 ; 3 2 (2)设 ( x1 , M ) , ( x2 , N ) 是函数 f ( x ) = x + ax + bx + c 的两个极值点. 2 ①若 | x1 ? x2 |= ,求函数 f ( x ) 的解析式;②求 | M ? N | 的取值范围. 3

x2 ? 2 x + 2 + t , y =

参考答案
一、填空题:(每小题 5 分) 1.[0,2] 7. ± 1 2. a ≥ 1 3. sin α 4. ?

5 3

5.24

6.2

8.4

9.[ 4 2 ? 1,4 2 + 1 ]

10.

1 6

a2 + b2 + c2 11. 2

12. [7,8]

13. {? 1,0}

14. p = m + l

二、解答题:(本大题共 6 小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

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15.(15 分) 解:(Ⅰ)Q sin x =

4 3 ?π ? , x ∈ ? , π ? , ∴ cos x = ? , 5 5 ?2 ?

? 3 ? 4 3 1 3+ . f ( x) = 2? sin x + cos x ? ? 2 cos x = 3 sin x ? cos x = ? 2 ? 2 5 5 ? ?
(Ⅱ) Q

π
2

≤ x ≤π , ∴

π
3

≤x?

π
6



1 π? 5π ? , ≤ sin? x ? ? ≤ 1 , 2 6? 6 ?

π π π 3 17 17 h( x) = 3sin( ? x) ? cos(2 x ? ) = 2[sin( x ? ) ? ]2 ? ∈ [? , ?2] 6 3 6 4 8 8
(Ⅲ)设 m = (a, b) ,所以 g ( x) = 2 sin ? x ? a ?

? ?

π?

? + b ,要使 g (x ) 是偶函数,即要 6?

?a?

π
6

= kπ +

π
2

,即 a = ?kπ ?

ur 2π 2π 2 ) + b2 , ,∴ m = a 2 + b 2 = ( kπ + 3 3
, b = 0 , 即向量 m 的坐标为 (
D1 A1

当 k = ?1 时, m 最小,此时 a =

π
3

π
3

,0 )
C1 B1

16.(15 分)证明:(Ⅰ)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中,

E 、 F 分别为 D1 D , DB 的中点,则

E

? ? D1B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1 D1 EF ? 平面ABC1D1 ? ? EF // D1 B
? ? B1C ⊥ BC1 ? (Ⅱ) ?? AB, B1C ? 平面ABC1D1 ? ? AB I BC1 = B ? B1C ⊥ AB

D F A B

C

B1C ⊥ 平面ABC1 D1 ? ?? BD1 ? 平面ABC1 D1 ? B1C ⊥ BD1 ? ? ? EF ⊥ B1C EF // BD1 ?
(Ⅲ)Q CF ⊥ 平面BDD1 B1

∴ CF ⊥ 平面EFB1
Q EF =



CF = BF = 2

1 BD1 = 3 , B1 F = BF 2 + BB12 = ( 2) 2 + 22 = 6 2

B1 E = B1 D12 + D1 E 2 = 12 + (2 2) 2 = 3

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∴ EF 2 + B1 F 2 = B1 E 2 即 ∠EFB1 = 90o

1 1 1 ∴VB1 ? EFC = VC ? B1EF = ? S ?B1EF ? CF = × ? EF ? B1 F ? CF 3 3 2
=

1 1 × × 3× 6× 2 =1 3 2

17.(15 分) 解:(I)将圆 C 配方得:(x+1)2+(y-2)2=2

(i )当直线在两坐标轴上的截距为零时, 设直线方程为y = kx. 由直线与圆相切得 : y = (2 ± 6 ) x.
(ii )当直线在两坐标轴上的 截距不为零时 , 设直线方程为 x + y ? a = 0. 由直线与圆相切得 : x + y + 1 = 0或 x + y ? 3 = 0

( II )由 | PO |=| PM | 得 : x1 + y1 = ( x1 + 1) 2 + ( y1 ? 2) 2 ? 2 ? 2 x1 ? 4 y1 + 3 = 0
2 2

即点P在直线l ,2 x ? 4 y + 3 = 0上, 当 | PM | 取最小值时即 | OP | 取得最小值, 直线OP ⊥ l. ∴ 直线OP的方程为:2 x + y = 0. ?2 x + y = 0 3 3 解方程组? 得P点坐标为(? , ) 10 5 ?2 x ? 4 y + 3 = 0

18.(15 分)解:由题设知每年的费用是以 12 为首项,4 为公差的等差数列. 设纯收入与年数的关系为 f(n),则

f (n) = 50n ? [12 + 16 + ... + (8 + 4n)] = 98 = 40n ? 2n 2 ? 98
(1)由 f(n)>0 得 10 ? 51 < n < 10 + 51 又∵n∈N*,∴n=3,4,……17。即从第 3 年开始获利. (2)①年平均收入为

f ( n) 49 = 40 ? 2(n + ) ≤ 40 ? 2 × 14 = 12 n n

当且仅当 n=7 时,年平均获利最大,总收益为 12×7+26=110(万元) ②f(n)=-2(n-10)2+102 ∵当 n=10 时, f ( n) max = 102 ,总收益为 102+8=110(万元) 但 7<10 ∴第一种方案更合算.

19.(15 分)(1)由 S 9 = 9a1 + 36d = 0 ,得: d = ?1, a n = 5 ? n 又由 a n + S n = ?10,4 + ( n ? 1)( ?1) + 4n +
2 即 n ? 7 n ? 30 = 0 ,得到 n = 10

n(n ? 1) × (?1) = ?10 2

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(2) bn = 2

5? n

若 n ≤5,则 b1 + b2 + L + bn ≤ b1 + b2 + L + b5 = 31 ,不合题意

2(2 n ?5 ? 1) > 2007 故 n >5, b1 + b2 + L bn = 31 + 2 ?1
即 2 n ?5 > 989 ,所以 n ≥15,使不等式成立的最小正整数 n 的值为 15 20.(15 分)解:(1)三个函数的最小值依次为 1 , 1 + t , 1 ? t , 由 f (1) = 0 ,得 c = ?a ? b ? 1 ∴ f ( x) = x3 + ax 2 + bx + c = x3 + ax 2 + bx ? ( a + b + 1)

= ( x ? 1)[ x 2 + (a + 1) x + (a + b + 1)] ,
故方程 x 2 + ( a + 1) x + ( a + b + 1) = 0 的两根是 1 ? t , 1 + t . 故 1 ? t + 1 + t = ?( a + 1) , 1 ? t ? 1 + t = a + b + 1 .

( 1 ? t + 1 + t ) 2 = ( a + 1) 2 ,即 2 + 2(a + b + 1) = (a + 1) 2


a 2 = 2b + 3 .

(2)①依题意 x1 , x2 是方程 f '( x) = 3 x 2 + 2ax + b = 0 的根, 故有 x1 + x2 = ?

2a b , x1 x2 = , 3 3

且△ = (2a ) 2 ? 12b > 0 ,得 b < 3 . 由 | x1 ? x2 |=

( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 =

2 a 2 ? 3b 2 3 ? b = 3 3

2 3?b 2 = ;得, b = 2 , a 2 = 2b + 3 = 7 . 3 3
由(Ⅰ)知 1 ? t + 1 + t = ?( a + 1) > 0 ,故 a < ?1 , ∴ ∴

a = ? 7 , c = ?( a + b + 1) = 7 ? 3
f ( x) = x3 ? 7 x 2 + 2 x + 7 ? 3 .

3 3 2 ② | M ? N |=| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | =| ( x1 ? x2 ) + a ( x12 ? x2 ) + b( x1 ? x2 ) |

=| x1 ? x2 | ? | ( x1 + x2 ) 2 ? x1 x2 + a ( x1 + x2 ) + b |

=

2 3?b 2a b 2a | (? ) 2 ? + a ? (? ) + b | 3 3 3 3

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=

3 4 4 9 ? a2 3 (3 ? b) 2 (或 ( ) 2 ). 27 27 2 2 2 2

由(Ⅰ) ( a + 1) = ( 1 ? t + 1 + t ) = 2 + 2 1 ? t ∵

0 < t <1,




2 < (a + 1) 2 < 4 ,

又 a < ?1 ,

?2 < a + 1 < ? 2 ,

?3 < a < ? 2 ? 1 , 3 + 2 2 < a 2 < 9 (或 2 < b < 3 )

3 4 0 <| M ? N |< (3 ? 2) 2 . 27

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