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线面垂直的判定定理 教案


线面垂直的判断定理
数学科学学院 刘桂钦 20072201135

一、 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解直线与平面垂直的定义,掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用。 (二) 过程与方法目标 通过直观感知、操作,归纳概括出直线与平面垂直的判定定理。 (三) 情感与态度目标 通过该内容的学习,培养学生的空间想象能力及合情推理能力,并从中体会“转

化”的数学思想。 二、 教学重、难点 教学重点:直线与平面垂直的判定定理的理解掌握。 教学难点:直线与平面垂直的判定定理的推导归纳。 三、 教学过程 (一)构建定义 1、直观感知 通过观察图片,如地面上树立的旗杆、水面上大桥的桥柱等,使学生直观感知直 线和平面垂直的位置关系, 并在头脑中产生直线与地面垂直的初步印象,为下一 步的数学抽象做准备。 然后再引导学生举出更多直线与平面垂直的例子,如教室 内直立的墙角线和地面位置关系,桌子腿与地面的位置关系,直立书的书脊与桌 面的位置关系等,由此引出课题。 2、观察思考 首先让学生思考如何定义一条直线与一个平面垂直, 然后带着问题观察在阳光下 直立于地面的旗杆 AB 及它在地面的影子 BC 所在直线的位置关系, 这可以通过多 媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程, 并引导学生得 出旗杆所在直线与地面内的直线都垂直这一结论。 3、抽象概括 问题:通过上述观察分析,你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直? 这可以让学生讨论后口头回答, 老师再根据学生回答构建出线面垂直的定义与画 法。 (板书) 定义:如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直,记作: l⊥α .直线 l 叫做平面α 的垂线, 平面α 叫做直线 l 的垂面. 直线与平面垂直时, 它们唯一 l 的公共点 P 叫做垂足。 画法: 画直线与平面垂直时, 通常把直线画成与表示平面 P α 的平行四边形的一边垂直,如右图所示。 4、加深理解 在给出了线面垂直的定义和画法之后,可以继续问学生:

(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否就与这 个平面垂直? (2)如果一条直线垂直一个平面,那么这条直线是否就垂直于这个平面内的任 一直线? 这样通过问题的辨析,加深学生对概念的理解,以掌握概念的本质属性。由(1) 使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思,定义的实质就是 直线与平面内所有直线都垂直。由(2)使学生明确,线面垂直的定义既是线面 垂直的判定又是性质,线线垂直与线面垂直可以相互转化。 (二)探索发现 1、观察猜想 思考:我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直? 虽然可以根据定义判定直线与平面垂直,但这种方法实际上难以实施。有没有比 较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢? 然后让学生观察跨栏、 简易木架等实物的图片, 并引导学生观察思考, 给出猜想: 一条直线与一个平面内两相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 2、操作确认 如图,请同学们拿出准备好的一块(任意)三角形的纸片,我们一起来做一个实 验:过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面 上, (BD、DC 与桌面接触).观察并思考: (1) 折痕 AD 与桌面垂直吗?如何翻折才能使折痕 A AD 与桌面所在的平面垂直? (2)由折痕 AD⊥BC,翻折之后垂直关系,即 AD⊥ CD, AD⊥BD 发生变化吗?由此你能得到什么结论? B C 通过这个实验, 可以引导学生独立发现直线与平面 D 垂直的条件, 并培养学生的动手操作能力和几何直 观能力。 3、合情推理 在上面的试验后,可以引导学生回忆出“两条相交直线确定一个平面” ,以及直 观过程中获得的感知,将“与平面内所有直线垂直”逐步归结到“与平面内两条 相交直线垂直” ,进而归纳出直线与平面垂直的判定定理,这充分体现了“直线 与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。 定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 用符号语言表示为: l

m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ??l ?? l ? m, l ? n ?

p α m n

(三)例题分析 例 1、求证:与三角形的两条边都垂直的直线必与第三条边垂直。

分析: 这道题主要是让学生感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决 问题,明确运用线面垂直判定定理的条件。 例 2、如右图,已知 a∥b,a⊥α ,求证:b⊥α 。 a b 分析: 这道题主要是让学生进一步感受如何运用直线与平 \ 面垂直的判定定理证明线面垂直, 体会转化思想在证题中 n b 的作用,发展学生的几何直观能力与一定的推理论证能 m α 力。 首先引导学生分析思路, 可利用线面垂直的定义证,也可 用判定定理证, 再提示辅助线的添法,将思路集中在如何在平面内α 内找到两条 与直线 b 垂直的相交直线上。 (四) 课堂小结 (1)通过本节课的学习,你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法? (2)上述判断直线与平面垂直的方法体现的什么数学思想? (3)关于直线与平面垂直你还有什么问题? P (五)巩固练习 1、如图,点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, A O 是对角线 AC 与 BD 的交点,且 PA=PC,PB=PD. 求证: D PO⊥平面 ABCD O B C 2、已知:菱形 ABCD 在平面 M 内,P 为 M 外一点,PA=PC. 求证:AC⊥平面 PBD. (六)布置作业 1.课本:课后练习 1、2 题. 2.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求证:A1C⊥平面 BDC1. (七)板书设计


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