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二次函数学案(全章)


北师大版二次函数学案

第 1 课时

二次函数的概念

【学习目标】1.经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述 变量之间的数量关系; 2.探索并归纳二次函数的定义; 3.能够表示简单变量之间的二次函数关系。 【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。 【课时类型】概念课 【学习过程】 一、学习准备 1.函数的定义:在某个变化过程中,有两个变量 x 和 y,如果给定一个 x 值,相应地就确定了一个 y 值,那么我们 称 是 的函数,其中 是自变量, 是因变量。 (其中 k

2.一次函数的关系式为 y= 是

(其中 k、b 是常数,且 k≠0);正比例函数的关系式为 y= (k 是 的常数)。

的常数);反比例函数的关系式为 y=

二、解读教材——数学知识源于生活 3.某果园有 100 棵橙子树,每一棵树平均结 600 个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树, 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5 个橙 子。假设果园增种 x 棵橙子树,那么果园共有 如果果园橙子的总产量为 y 个,那么 y= 棵橙子树,这时平均每棵树结 。 个橙子,

4.如果你到银行存款 100 元,设人民币一年定期储蓄的年利率是 x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定 期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和 y(元)的表达式(不考虑利息税)吗? 5.能否根据刚才推导出的式子 y=-5x2+100x+60000 和 y=100x2+200x+100 猜想出二次函数的定义及一般形式吗? 一般地,形如 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做 x 的二次函数。它就是二次函数的一般形式,理 解并熟记几遍。 例 1 下列函数中,哪些是二次函数? (1) 。

1 y?? ?3 2 x 2

(2)

y?

1 ?1 x2

注意: (1)关于 x 的代数式一定是整 式,其中 a,b,c 为常数且 a≠0; (2)等式的右边最高次数为 2,可以 没有一次项和常数项,但不能没有 二次项哟!
2

(3)

y? 2 ? x 2 2

? ? ? t (4) s 1t 5

(5)

y ? ( x ? 3) 2 ? x 2

(6) s

? 10?r 2

即时练习:下列函数中,哪些是二次函数?

1

北师大版二次函数学案

(1)

y ? x2

(2)

12 y? x ? 3? x 25 2

(3)

y xx 1 ?( ? )

(4)

y (1 ? ?x ) 3 ?2 1

(5)

y? 2 ? ax c

(6) s?

2 x ? 1

三、挖掘教材 6.对二次函数定义的深刻理解及运用 例 2 若函数

y ? xk

2

?3 k ? 2

? kx ? 1

是二次函数,求 k 的值。

分析:x 的最高次数等于 2,即 k2-3k+2=2,求出 k 的值即可。 解:

即时练习:若函数 四、反思小结

y ? (k ? 3) x k

2

?3 k ? 2

? kx ? 1 是二次函数,则 k 的值为



1.我们通过观察、思考、合作,交流,归纳出二次函数的概念,并从中体会函数的建模思想。 2.定义:一般地,形如 y=ax? +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做 x 的二次函数。 3.二次函数 y=ax? +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1) y=ax? (a≠0); (2) y=ax?+c (a≠0 且 c≠0); (3) y=ax?+bx (a≠0 且 b≠0)。

4.二次函数定义的核心是关键字“二” ,即必须满足自变量最高次项的指数为_____,且______项系数不为_____ 的整式。 【达标测评】 1.下列函数不属于二次函数的是( A.y=(x-1)(x+2) B.y= ) (x+1)2 C.y=2(x+3)2-2x2 D.y=1-

1 2

3 x2

2.在边长为 6 cm 的正方形中间剪去一个边长为 x cm(x<6)的小正方形,剩下的四方框形的面积为 y,则 y 与 x 之间 的函数关系是 。 ,

3.用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地,场地面积 S(m? )与矩形一边长 a(m)之间的关系式是 它是 函数。

4.正方形的边长是 5,若边长增加 x,面积增加 y,则 y 与 x 之间的函数表达式为 5.当 m= 时,

。 是二次函数,则 m= ,b 。 时,

y ? (m ? 2) x m

2

?2

是二次函数;若函数

y ? (m ? 2) x m

2

?m

6.已知函数 y=ax2+bx+c(其中 a,b,c 都是常数) :当 a 它是一次函数;当 a ,b ,c

时,它是二次函数;当 a 时,它是正比例函数。 。

7.若函数 y=(k2-4)x2+(k+2)x+3 是二次函数,则 k

2

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第 2 课时

二次函数 y=ax2 的图象与性质

【学习目标】1.能够利用描点法做出函数 y=ax2 的图象,能根据图象认识和理解二次函数 y=ax2 的性质; 2.理解二次函数 y=ax2 中 a 对函数图象的影响。 【学习重点】经历探索二次函数 y=ax2 的图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验。 【学习难点】能够利用描点法作出函数的图象,并能根据图象认识和理解二次函数 y=ax2 的性质。 【学习过程】 一、学习准备 1.正比例函数 y=kx(k≠0)是图像是 2.一次函数 y=kx+b(k≠0)的图像是 3.反比列函数 y= 。 。 , , 。 。

k (k≠0)的图像是 x

4.当我们还不了解一种函数图像的形状时,只能用描点法研究,描点法的一般步骤是: 二、解读教材 5.试作出二次函数 y=x2 的图象。 (1)画出图象:①列表: (注意选择适当的 x 值,并计算出相应的 y 值) x y=x2 ?? ?? ?? ?? O

y

x

②描点: (在右图坐标系中描点) ③连线: (应注意用光滑的曲线连接各点) (2)根据图像,进行小结: ①y=x2 的图像是 ②它是 ,且开口方向是 。 ; 在对称轴的右侧 (x<0) ,

对称图像, 对称轴是 。

轴。 在对称轴的左侧 (x>0) 随 x 的增大而 ,y

y 随 x 的增大而

③图像与对称轴有交点,称为抛物线的顶点,从图中可以看出也是图像的最低点, 此时,坐标为( , ) 。

这就是回答最 值的标准格式。

y
④因为图像有最低点,所以函数有最 值,当 x=0 时,y 最小= 。 6.变式训练 1 作出二次函数 y=-x2 的图象。 x y=-x
2

?? ?? ,且开口向

?? ?? 。

O

x

小结:①y=-x2 的图像是 ②对称轴是 y 随 x 的增大 ③顶点坐标是: (

,在对称轴左右的增减性分别是:在对称轴左侧,y 随 x 的增大 。 , ) ,且从图像看出它有最 点,所以函数有最

,在对称轴的右侧,

值。当 x=0 时,



3

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7.变式训练 2 作出 y=2x2 ,y=0.5x2 的图像。 x y=2x2 y=0.5x
2

y

O

x

三、挖掘教材 8.根据上面的图象,从图象的开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标、最值等五个方面进行归纳。 增减性 表达式 草图 开口 对称轴 顶点 最值 x>0 y=ax2(a>0) x<0

y=ax2(a<0)

同时,a 决定图象在同一直角坐标系中的开口方向,|a|越小图象开口 9.例 已知:抛物线 分析:①函数
2



y ? mx m ?m?10 ,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,求 m 的值。
2

y ? mx m ?m?10 的图象是抛物线,则它是二次函数,所以 m2+m-10=2,且 m≠0;

②当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,所以 m>0。

?m 2 ? m ? 10 ? 2 ?m ? 3或m ? ?4 解:由题意得: ? 解得: ? ?m ? 0 ?m ? 0
又∵当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,所以 m>0。 ∴m=3 10.已知抛物线 y=ax2 经过点 A(-2,-8)(1)求此抛物线的函数解析式; , (2)判断点 B(-1,- 4)是否在此抛物线上; (3)求出此抛物线上纵坐标为-6 的点的坐标。

四、反思小结 二次函数的 y=ax2(a≠0)的图象与性质:五个方面理解: 【达标测评】 1.抛物线 y=2x2 的顶点坐标是 增大;在 是 ,对称轴是 ,在 侧,y 随着 x 的增大而 时,函数 y 的值最小,最小值 , , , , 。

侧,y 随着 x 的增大而减小。当 x= 。抛物线 y=2x2 的图象在 方(除顶点外) 。

2.函数 y=x2 的顶点坐标为 3.函数 y=x2 与 y=-x2 的图象关于

,若点(a,4)在其图象上,则 a 的值是 对称,也可以认为 y=-x2 是函数 y=x2 的图象绕 。

。 旋转得到的。

4.求出函数 y=x+2 与函数 y=x2 的图象的交点坐标

5.若 a>1,点(a-1,y1)(a,y2)(a+1,y3)都在函数 y=x2 的图象上,判断 y1,y2,y3 的大小关系是 , ,



4

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第 3 课时

二次函数 y=ax2+k 的图象与性质

【学习目标】1.会用描点法作出函数 y=ax2+k 的图象,能根据图象认识和理解二次函数 y=ax2+k 的性质; 2.理解二次函数 y=ax2+k 中 a 和 k 对函数图象的影响; 3.理解二次函数 y=ax2 与 y=ax2+k 的关系。 【学习重点】理解二次函数 y=ax2+k 的性质。 【学习难点】理解二次函数 y=ax2 与 y=ax2+k 的关系。 【学习过程】一、学习准备 1.画出两条抛物线的草图并填空。 抛物线 开口方向 对称轴 O 在对称轴左侧, y 随 x 的 增大而 增减性 在对称轴右侧, y 随 x 的 增大而 顶点坐标 最值 当 x=0 时,ymax= 。 。 。 y=x2 y=-x2

y

x

二、解读教材 2.用描点法作出二次函数 y=2x2+1 的图像。 x y=2x +1
2

y

?? ??

0

?? ??

小结:①y=2x2+1 的图像是 ②对称轴是

,且开口向



O

x

,在对称轴左右的增减性分别是: ;在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而 点,则函数 y 有最 值,即当 x= 。 时 y 有最 值是 。

在对称轴左侧,y 随 x 的增大而 ③顶点是:( ,

),且从图像看它有最

3.在同一直角坐标系中,作出二次函数 y=-x2,y=-x2+2,y=-x2-2 的图像。 x y=-x2 y=-x2+2 y=-x2-2 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??

y

O

x

小结: ①抛物线 y=ax2+k 的开口方向由 ②对称轴是 决定,当 时,开口向上;当 时,开口向下。 。

,当 a>0 时,在对称轴左侧,y 随 x 的增大而

,在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而

5

北师大版二次函数学案

且函数 y 当 x=0 时 ymin= 增大而 ③顶点坐标是(

。当 a<时,在对称轴左侧,y 随 x 的增大而 。

,在对称轴的右侧,y 随 x 的

。且函数 y 当 x=0 时 ymax= , ) 。

④y=-x2 的顶点坐标是(

, ) ,y=-x2+2 的顶点坐标是( ,

, )所以 y=-x2 向 平移

平移

个单位便可以得

到 y=-x2+2。y=-x2-2 的顶点坐标是( 4.变式训练 1 二次函数 y= 时,y 随 x 的增大而

)所以 y=-x2+2 向 线,开口向 值为

个单位便可以得到 y=-x2-2。 ,对称轴是 ;当 x>0

5 2 x +3 4

的图像是 时,y 有最

,顶点坐标是 。

。当 x=

三、挖掘教材---抛物线 y=ax2+k 可以由抛物线 y=ax2 经过向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到。 5. 函数 y=-2x2 的图像向下平移 3 个单位, 就得到函数 的图像向 平移 个单位而得到。 ; 函数 y=-4+

3 2

x2 的图像可以看作函数 y=

3 2

x2

6.已知:二次函数 y=ax2+1 的图像与反比列函数 y= (1)求二次函数及反比例函数解析式;

k 的图像有一个公共点是(-1,-1) 。 x

(2)在同一坐标系中画出它们的图形,说明 x 取何值时,二次函数与反比例函数都随 x 的增大而减小。

四、反思小结:1.填表回忆 函数 y=ax2(a>0) 草图 开口方向 对称轴 增减性 顶点坐标 最值

y=ax2(a<0) y=ax2+k (a>0) y=ax2+k (a<0) 2.抛物线 y=ax2+k 可以由抛物线 y=ax2 经过向 【达标测评】 1.抛物线 y=-x2-5 可以看作是抛物线 2.抛物线 y=x2+4 的开口向 y 随 x 的增大而 ,对称轴是 经过向 平移 个单位得到。 ,在对称轴的右侧, 。 (k>0)或向 (k<0)平移 个单位得到。

,在对称轴左侧,y 随 x 的增大而 ,当 x= 时,y 有最 ,y= ,b= 。 。 值为

;顶点坐标是

3.抛物线 y=-3x2 上有两点 A(x,-27) ,B(2,y) ,则 x= 4.抛物线 y=3x2 与直线 y=kx+3 的交点为(2,b) ,则 k=

6

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第4课时

二次函数 y=a(x-h)2和 y=a(x-h)2+k 的图象与性质

【学习目标】1.能够作出函数 y=a(x-h)2和 y=a(x-h)2+k 的图象,并能理解它与 y=ax2的图象的关系,理解 a,h,k 对二次函数图象的影响; 2.能够正确说出二次函数的顶点式 y=a(x-h)2+k 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 【学习重点】能够作出函数 y=a(x-h)2和 y=a(x-h)2+k 的图象,正确说出 y=a(x-h)2+k 图象的开口方向、对称轴和顶 点坐标。 你画出这条抛物线的 【学习过程】 一、学习准备 O 1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况。 (1)y=2x? (2)y=-2x? +1 “尖”了吗?

y

x

2.请说出二次函数 y=ax? 与 y=ax? +c 的关系。 3.我们已知 y=ax?,y=ax?+c 的图像及性质,现在同学们可能想探究 y=ax?+bx 的图像,那我们就动手画图像。 x y=x?+x ?? ?? ?? ??

列表、描点、连线。 二、解读教材 4.由学习准备可知,我们如果知道一条抛物线的顶点坐标,那么画图像就比较简单,所以我们可以先配成完全平 方式结构。现在我们画二次函数 y=3(x-1) +2 的图象.在同一直角坐标系中作 y=3x?, y=3(x-1) ,y=3(x-1) +2 的图像,并结合图像完成下表。 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
2 2 2

y

y ? 3x 2
O

x

y ? (x ? 1 3 )
2

y ? (x ? 1 2 ? 2 3 )
观察后得到:二次函数 y=3x2,y=3(x-1)2,y=3(x-1)2+2的图象都是抛物线.并且形状相同,开口方向相同,只是位 置不同,顶点不同,对称轴不同,将函数 y=3x2的图象向右平移1个单位,就得到函数 y=3(x-1)2的图象;再向上平 移2个单位,就得到函数 y=3(x-1)2+2的图象. 三、挖掘教材 5.抛物线的顶点式 y=a(x-h) +k 在前面的学习中你发现二次函数 y=a(x-h) +k 中的 a,h,k 决定了图形什么?用自己的语言整理得: 同桌交流看是否有遗漏!然后填写下表。
2 2

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北师大版二次函数学案

y=a(x-h)2+k a>0 a<0

开口方向

对称轴

顶点坐标

增减性

最值

即时练习:直接说出抛物线 y=-0.5x? ,y=-0.5x? -1,y=-0.5(x+1)? ,y=-0.5(x+1)? 的开口方向、对称轴、顶点坐 -1 标。

y=a(x-横)2+纵
6.例 已知:抛物线 y=a(x-h)2+k 的形状及开口方向与 y=-2x2+1相同,当 x=2时,函数有最大值3,求 a,h,k 的值。

即时练习 已知抛物线的顶点坐标是(3,5)且经过点 A(2,-5) ,请你求出此抛物线的解析式。

7.例 二次函数

y ? 2 ? x ? 2 ? ? 1 的顶点坐标是
2

, 把它的图像向右平移2个单位再向下平移2个单位此 。

时得到的抛物线顶点坐标为 四、反思小结

,它的解析式为

1.一般地,平移二次函数 y=ax2的图象便可得到二次函数为 y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k 的图象. (规律为: 上正下负,右正左负) y = a( x – h )2 + k 上 左 下 右 平 平 移 移 2 y = ax + k y = a(x – h )2 上下平移 y = ax2 左右平移 2. 二次函数的顶点式 y=a(x-h) +k 的图象是轴对称图形, 对称轴为 x=h,顶点坐标为(h,k),a 决定开口方向和大小, a>0时,开口向上,有最小值 k; a<0时,开口向下,有最大值 k。 【达标测评】 1.指出下面函数的开口方向,对称轴,顶点坐标,最值。 (1) y=2(x-3)2-5 (2) y=-0.5(x+1)2 (3) y=-0.75x2-1
2

(4) y=2(x-2)2+5

(5) y=-0.5(x+4)2+2

(6) y=-0.75(x-3)2

2. 函数 y= x 的图象向

2

平移

个单位得到 y=x +3 的图象; 再向

2

平移

个单位得到 y=(x-1) +3 的图象。

2

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第 5 课时

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与性质
y ? ax 2 ? bx ? c 的顶点坐标,对称轴公式的过程; y ? ax 2 ? bx ? c 的顶点坐标,对称轴;

【学习目标】1.理解用配方法推导二次函数 2.会用公式求二次函数 3.会画二次函数

y ? ax 2 ? bx ? c 的图象,理解二次函数的性质。 y ? ax 2 ? bx ? c 的顶点坐标,对称轴。

【学习重点】会用公式求二次函数

【学习难点】理解用配方法推导公式的过程。 【课时类型】公式法则学习 一、学习准备 1.理解记忆:

y ? a ( x ? h) 2 ? k

开口方向 向上

对称轴

顶点坐标

a?0 a?0
2.二次函数

直线 x 向下

?h


(h,k)

y ? 5( x ? 3)2 ?

1 的顶点坐标是 2

,对称轴是

二、解读教材 3.公式推导——二次函数

y ? ax 2 ? bx ? c 图象的顶点坐标,对称轴公式。
y ? a( x ? h) 2 ? k 来研究了二次函数中的 a、h、k

由上一节课,我们看到一个二次函数通过配方化成顶点式

对二次函数图象的影响。但我觉得,这样的恒等变形运算量较大,而且容易出错。那么这节课,我们就研究一般形 式的二次函数图象的作法和性质。 例 1 求二次函数 解:

y ? ax 2 ? bx ? c 图象的顶点坐标,对称轴。

y ? ax 2 ? bx ? c b c 2 = a( x ? x ? ) a a b b b c 2 = a[ x ? 2 x ? ( )2 ? ( )2 ? ] 2a 2a 2a a
= a( x ?

4ac ? b 2 b 横= ? =h,纵= 4a 2a

=k

b 2 4ac ? b 2 ) ? 2a 4a b 4ac ? b 2 , 2a 4a
) ,对称轴是直线 x

二次函数

y ? ax 2 ? bx ? c 的顶点坐标是( ?

??

b 2a



4.公式应用——用公式求函数

y ? ax 2 ? bx ? c 的顶点坐标,对称轴。 y ? 2 x2 ? 5x ? 2

(1)分别用配方法,公式法确定下列二次函数的顶点坐标,对称轴并比较其解值。 ①

y ? ?2 x 2 ? 12 x ? 13



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北师大版二次函数学案

5.实际操作——画二次函数 (2)已知:二次函数

y ? ax 2 ? bx ? c 的图象

y ? 4x2 ? 6x ? 3

①指出函数图象的顶点坐标,对称轴。②画出所给函数的草图,并研究它的性质。

三、挖掘教材——二次函数

y ? ax 2 ? bx ? c 的性质

6.抛物线

y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )通过配方可变形为 y= a( x ?

b 2 4ac ? b 2 ) ? 2a 4a

(1)开口方向:当 a (2)对称轴是直线

? 0 时,开口向

;当 a ? 0 时,开口向

。 。

;顶点坐标是

(3)最大(小)值:当 a

? 0, x ? ?
??

4ac ? b 2 b 时,ymin= 4a 2a



当a ? 0, x (4)增减性:

b 时,ymax= 2a



b ) 随 x 增大而 ,y 2a b 当 a ? 0 时,对称轴左侧( x ? ? ) 随 x 增大而 ,y 2a
当a

? 0 时,对称轴左侧( x ? ?

b 2a b ;对称轴右侧( x ? ? 2a
;对称轴右侧( x

??

) 随 x 增大而 ,y ) 随 x 增大而 ,y

; ;

【达标测评】 根据公式法指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标,对称轴、最值和增减性。 ①

y ? x2 ? 2x ? 4



y ? ?2 x 2 ? 4 x ? 1



y ? ?2 x 2 ? x ? 1



y ? x 2 ? 5 x ? 16

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北师大版二次函数学案

第 6 课时
【学习目标】1.体会二次函数 2. 理解二次函数 间的关系。

二次函数 y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 与一元二次方程

y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 与一元二次方程之间的联系;
y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之

【学习重点】把握二次函数图象与 x 轴(或 y=h)交点的个数与一元二次方程的根的关系。 【学习难点】应用一元二次方程根的判别式、求根公式对二次函数及其图象进行进一步的理解,并结合二次函数的 图象加以分析以解决一些问题。 【学习过程】 一、学习准备 1.已学二次函数的哪两种表达式? 二、解读教材 4.一元二次方程的两根 x1,x2 在哪里? 在坐标系中画出二次函数 y= x2 -2x-3 的图象,研究抛物线与 x 轴的交点,你发现了什么? 2.分解因式:x2-2x-3; 3.解方程:x2 -2x-3=0

y

O 再找一个一元二次方程和二次函数试一试吧! 5.二次函数的两根式(交点式) 二次函数

x

y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的另一种表达式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)叫做二次函数的两根式又称交点式。

练习:将下列二次函数化为两根式: (1)y=x2+2x-15; (4)y=3(x-1)2-3 三、挖掘教材 6.抛物线 (2)y= x2+x-2; (5)y=4x2+8x+4; (3)y=2x2+2x-12; (6)y=-2(x-3)2+8x

y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 与 x 轴是否有交点? y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象与 x 轴何时有两个交点,何

例 你能利用 a、b、c 之间的某种关系判断二次函数 时一个交点,何时没有交点吗?

即时训练: (1)已知二次函数 y=mx2-2x+1 的图象与 x 轴有两个交点,则 k 的取值范围为 (2)抛物线 y=x2-(m-4)x-m 与 x 轴的两个交点 y 轴对称,则其顶点坐标为 (3)抛物线 y=x2-(a+2)x+9 与 x 轴相切,则 a= 。 。



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北师大版二次函数学案

7.弦长公式:抛物线与 x 轴的两个交点的距离叫弦长(如下图中的 AB) 。 例 求抛物线 y= x2 -2x-3 与 x 轴两个交点间的距离。 A x1 0) 与 x 轴的交点坐标是 A(x1,0)和 B(x2,0) , = y 对 O x2 称 轴 在 。y 轴 的 , , 左 边 。 , x

总结:已知抛物线

y ? ax ? bx ? c(a ?
2

那么抛物线的对称轴 x=

,AB=

x1 ? x2

( x1 ? x2 ) 2

=



即时训练:抛物线 y=2(x-2)(x+5)的对称轴为 四、反思小结——二次函数与一元二次方程的关系

,与 x 轴两个交点的距离为

知识点 1. 二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴的交点有三种情况 交点横坐标就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的 。

2

知识点 2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的弦长公式: 【达标测评】 1.抛物线 y=-9(x-4)(x+6)与 x 轴的交点坐标为 2.抛物线 y=2x2+8x+m 与 x 轴只有一个交点,则 m= 3.二次函数 y=kx2+3x-4 的图象与 x 轴有两个交点,则 k 的取值范围 4.抛物线 y=3x2+5x 与两坐标轴交点的个数为( 5.与 x 轴不相交的抛物线是( )A.y=3x2-4 )A.3 个 B.y=-2x2-6 B.2 个 C.y=-x2-6 C.1 个 D.y=。 。

a、b
同 号


对 称 轴 。 在 0 yD. 个

1 轴2 (x+2) -1 3 的
右 边 ,

6.已知二次函数 y=x2+mx+m-2.求证:无论 m 取何实数,抛物线总与 x 轴有两个交点。

a、b
异 号 7.抛物线 y=mx2+(3-2m)x+m-2(m≠0)与 x 轴有两个不同的交点。 (1)求 m 的取值范围; (2)判断点 P(1,1)是否在此抛物线上? — — “ 左 同 右 8.二次函数 y=x2-(m-3)x-m 的图象如图所示。 (1)试求 m 为何值时,抛物线与 x 轴的两个交点间的距离是 3? (2)当 m 为何值时,方程 x2-(m-3)x-m=0 的两个根均为负数? (3)设抛物线的顶点为 M,与 x 轴的交点 P、Q,求当 PQ 最短时△ MPQ 的面积。 异 ” B

12

北师大版二次函数学案

第 7 课时

刷图训练

【学习目标】据二次函数系数 a、b、c 画出抛物线的必要条件:开口方向、对称轴、顶点坐标与坐标轴的交点坐标。 【学习重点】二次函数一般式与顶点式、交点式的互化;找特殊点的坐标。 【候课朗读】 【学习过程】 一、学习准备 1.二次函数的一般式为:y= y= 为: 2.函数 ,它的顶点坐标是 (其中 x1 , x2 是 (其中 a ;顶点式为: ? 0 ,a、b、c 为常数) ,对称轴是 ;交点式

。 y ? 0 时得到的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的根) ,当 a <0 时 ;a 侧;

y ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 )中,a 确定抛物线的开口方向:当 a >0 时

和 b 确定抛物线的对称轴的位置:当 a 、b 同号时对称轴在 y 轴的 (可记为―左同右异‖ ) c 确定抛物线与 y 轴的 负半轴。

侧;当 a 、b 异号时对称轴在 x 轴的

的交点位置:当 c >0 时交于 y 轴的

半轴;当 c <0 时交于

二、阅读理解 3.定义:抛物线的草图:能大致体现抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与 y 轴的交点、x 轴上的两根为整 根的抛物线叫抛物线的草图。 4.在抛物线的三种解析式的图象信息: 一般式能直接体现开口方向、与 y 轴的交点;顶点式能直接体现开口方向、对称轴、顶点坐标;两根式能直接 体现开口方向、与 x 轴的两个交点。因此,它们各有优劣,其中以顶点式为最佳。 5.灵活转化三种形式并画出草图 ①a

y
4 3 2 1 1 2 3 4

y
4 3 2 1

? 1, b ? 偶 , (用配方法)
y ? x 2 ? 4 x ? 2 的大致图象。 y ? x2 ? 4x ? 2

例 1 作出函数 解:

? x ? 4x ? 4 ? 2
2

-4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 -4

x

-4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 -4

1 2 3 4

x

? ? x ? 2? ? 2
2

则大致图象是(画在上左图中) : 即时练习:在上右图中作出函数 ②a

y ? x 2 ? 2 x ? 3 的大致图象。
y
4 3 2 1 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 -4 1 2 3 4

? 1, b ? 奇 , (对称轴公式+代值)

y
4 3 2 1

y ? x 2 ? 5 x ? 3 的大致图象。 b ?5 5 解:∴ ? ?? ? 2a 2 ?1 2 5 13 -4 当x ? 时,ymin ? ? 2 4
例 2 作出函数 则大致图象是: (画在左图中) 即时练习:在右图中作出函数

x

-4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 -4

1 2 3 4

x

y ? x 2 ? 3x ? 2 的大致图象。

13

北师大版二次函数学案

③a

? 1 (公式法)

y ? 2 x 2 ? 4 x ? 1 的大致图象。 b 4 解:∵ ? ? ? ? 1, 2a 4
例 3 作出函数

4ac ? b 2 8 ? 16 ? ? ?1 , 4a 8
∴则大致图象是: (在空白处画图) 即时练习:在右边空白处作出函数

y ? ?2 x 2 ? 2 x ? 3 的大致图象。
y
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 -4 1 2 3 4

④两根式(先转化为一般式,再转换成顶点式) 例 4 作出函数 解:

y ? 2 ? x ? 1?? x ? 2 ? 的大致图象。

y ? 2 ? x ? 1?? x ? 2 ?
? 2 ? x ? x ? 2?
2

x

1 9? ? ? 2 ? x2 ? x ? ? ? 4 4? ?
1? 9 ? ? 2? x ? ? ? 2? 2 ?
6.含有参数的抛物线中的图象信息 例 5 作出函数
2

则大致图象是:

y
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4

y ? x 2 ? x ? m ? 2 的大致图象。

解:a=1>0,则开口向上, 而对称轴 x

x

??

b 1 ? 。 2a 2

则大致图象是:

-2 -3 -4

即时练习:在右边空白处画出函数 y=-x2+n 的大致图象。 变式训练:画出函数 y=-x2+mx+3 的大致图象。 三、巩固训练:作出下列函数的大致图象 ①

y ? ? x 2 ? 3x ? 2



y ? x2 ? 4 x ? 4



y ? 2x2 ? 1



y?

1 ? x ? 1?? x ? 2? 2

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北师大版二次函数学案

第 8 课时 根据抛物线得到二次函数系数信息
【学习目标】根据图象得到 a、b、c 及它们之间的关系。 【学习重点】读图、找出特殊点的坐标。 【学习过程】一、学习准备 二次函数 顶点坐标 是 是 二、典例示范 例 1 已知函数 。

y ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? 中,它的顶点坐标式可写为:__________________,对称轴是
,还可以写 为:



,其中对称轴 是 __________ ,顶点坐标

y ? ax 2 ? bx ? c 的图象如图所示, x ?

1 为该图象的对称轴,根据图象信息,你能得到关于系数 3
y

a、b、c 的一些什么结论?
解:由图可得: ⑴ a >0; ⑵ ?1 < c <0; ⑶? 对称轴在 y 轴的左边 a、b 同号,对称轴在 y 轴的右边,

1

a、b 异号——“左同右异”
-1 o
1/3

b 1 ? ,即 2a ? ?3b ,由⑴可得 b <0; 2a 3 b 又? <1 而 a>0 则得 ?b < 2a ,∴2a+b>0; 2a

1

2

x

-1

⑷由⑴⑵⑶得 abc >0; ⑸考虑 x

? 1 时 y <0,所以有 a ? b ? c <0;

⑹考虑 x ? ?1 时 ⑺考虑 x

y >0,所以有 a ? b ? c >0;
? 4ac >0。
y

? 2 时 y >0,所以有 4a ? 2b ? c >0,同理 x ? ?2 时, 4a ? 2b ? c >0;
2

⑻图象与 x 轴有两个交点,所以 b 例 2 如图是二次函数
2

y ? ax 2 ? bx ? c 图像的一部分,图像过点 A ? ?3, 0 ? ,对称轴 x ? ?1 ,给出四个结论:


① b > 4ac ,② 2a ? b ? 0 ,③ a ? b ? c ? 0 ,④ 5a < b ,其中正确的结论是( A、②④ B、①④ C、②③ D、①③

分析:由图象可以知道 a <0;抛物线与 x 轴有两个交点,

? 4ac >0,即 b 2 > 4ac ; b 又对称轴 x ? ?1 ,即 ? ? ?1 ,∴ 2a ? b , b <0; 2a
∴b
2

A

o

x

∴ 2a ? b ? 0 , a、b 均为负数, 5a < b ;当 x ? ?1 时,抛物线有最高点, ∴ a ? b ? c >0;综上,正确的是①④,故选 B。 例 3 如图所示的抛物线是二次函数 分析:由图象可知: a <0;当 x 即a
2

y

y ? ax 2 ? 3x ? a 2 的图象,那么 a 的值是_____。

1

? 0 时 y ? 1,
o x

? 1 ,∴ a ? ?1 ,但是 a <0,故 a ? ?1 。

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北师大版二次函数学案

三、巩固训练 1.抛物线

y ? ax 2 ? bx ? c 如图所示,则(

) C、 a >0, b >0, c <0 D、 a >0, b <0, c >0 )

A、 a >0, b >0, c >0 2.已知二次函数

B、 a >0, b <0, c <0

y ? ax 2 ? bx ? c 的图像如图所示,下列结论中正确的个数是(

① a ? b ? c <0,② a ? b ? c >0,③ abc >0,④ b ? 2a A、4 个 3.已知函数 B、3 个 C、2 个 D、1 个 0,当 x_____时,y 随 x 的增大而减小。

y ? ? x 2 ? 2 x ? c 的部分图像如图所示,则 c
y
x=-1

y

y
第3题
o 1 x

第1题
o x

第2题

o 1

3

x

4. 已知一次函数

2 则关于抛物线 y ? ax ? bx ? 3 的三条叙述: ①过定点 ? 2,1? ; y ? ax ? b 的图像过点 ? ?2,1? ,

②对称轴可以是 x A、0

? 1 ;③当 a <0 时,其顶点的纵坐标的最小值为 3,其中正确叙述的个数是(
C、2 D、3 )



B、1

5.已知二次函数 A、-1<x<3 6.抛物线

y ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? 的图象如图所示,当 y<0 时,x 的取值范围是(
B、x>3 C、x<-1 D、x>3 或 x<-1

y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴的一个交点是 ? ?2, 0 ? ,顶点是 ?1, 3 ? ,下列说法中不正确的是(



A、抛物线的对称轴是 x

?1

B、抛物线开口向下

C、抛物线与 x 轴的另一个交点是

? 2, 0 ?

D、当 x

? 1 时,y 有最大值是 3
) D、

7.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为( A、

y ? x2 ? 2 x ? 3
y

B、

y ? x 2 ? 2 x ? 3 C、 y ? x 2 ? 2 x ? 3
y 3 2 1 -2 -1 O 1 第6题 x

y ? x2 ? 2x ? 3
y O

第5题 -1 O 3 x

-1 -3

3

x 第7题 。

8.在直角坐标系中画一个二次函数 y=ax2+bx+c 的图象,且满足 b<0,c<0。 9.已知 y=x2+ax+a-1 的图象如图所示,则 a 的取值范围是 10. 据图抛物线 y=ax2+bx+c 确定式子符号: ①a 0, ②b 0, ③c 0, 2-4ac ④b ) 。 0, ⑤a+b+c 0, ⑥a-b+c

0。

11.若函数 y=ax2+bx+c 的对称轴 x=1 如图所示,则下列关系成立的是: ( A、abc>0 B、a+b+c<0 C、a2>ab-ac

D、4ac-b2>0 象限。 第 12 题 O 1 x x y

12.若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则直线 y=abx+c 不经过 y y y 第9题 O x 第 10 题 -1 O 1 x 第 11 题 O

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北师大版二次函数学案

第 9 课时

求二次函数的解析式(一)

【学习目标】1.掌握已知三点,会用一般式求函数的表达式; 2.掌握已知顶点及一点或对称轴或函数的最值,用顶点式求函数的表达式。 3.掌握已知两根及一点,用两根式求函数解析式。 【学习重点】用一般式、顶点式求函数的表达式。 【学习难点】用顶点式和两根式求函数的表达式。 【学习过程】 一、学习准备: 1.已知一次函数经过点(1,2)(-1,0) , ,则一次函数的解析式为 2.二次函数的一般式为 二次函数的两根式(或交点式)为 二、方法探究(一)——已知三点,用一般式求函数的表达式。 3.例 1 二次函数的图象经过(0,2)(1,1)(3,5)三点,求二次函数的解析式。 , , ,二次函数的顶点式 。 。 ,

4.即时练习 已知抛物线经过 A(-1,0) ,B(1,0) ,C(0,1)三点,求二次函数的解析式。

三、方法探究(二)——已知顶点及一点或对称轴或函数的最值,用顶点式求出函数的解析式。 5.例 2 已知抛物线的顶点坐标为(-2,3) ,且经过点(-1,7) ,求函数的解析式。 解:设抛物线的解析式为

y ? a ( x ? h) 2 ? k 。
, k=3 代入表达式为

把顶点(-2,3),即 h=-2

y ? a( x ? 2)2 ? 3
再把(-1,7)代入上式为

7 ? a (? 1 ? 22 ) ? 3
解得 a

?4
y ? 4( x ? 2)2 ? 3

所以函数解析式为 即

y ? 4 x 2 ? 16 x ? 19

6.即时练习 (1)抛物线经过点(0,-8) ,当 x ? ?1 时,函数有最小值为-9,求抛物线的解析式。

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北师大版二次函数学案

(2)已知二次函数

y ? a( x ? h)2 ? k ,当 x ? 2 时,函数有最大值 2,其过点(0,2),求这个二次函数的解析式。

四、方法探究(三)——已知两根及一点或对称轴或函数的最值,用两根式求出函数的解析式。 7.例 3 已知抛物线经过(-1,0)(3,0) , ,且过(2,6)三点,求二次函数的表达式。 解:设抛物线的解析式为

y ? a( x ? x1 )( x ? x2 )

把抛物线经过的(-1,0)(3,0)两点代入上式为: ,

y ? a( x ? 1)( x ? 3)
再把(2,6)带入上式为 6 ? a(2 ? 1)( x ? 3) 解得 a ? ?2 所以函数的解析式为 即

y ? ?2( x ? 1)( x ? 3)

y ? ?2 x 2 ? 4 x ? 6

8.即时练习 已知抛物线经过 A(-2,0) ,B(4,0) ,C(0,3),求二次函数的解析式。

五、反思小结——求二次函数解析式的方法 1.已知三点,求二次函数解析式的步骤是什么? 2.用顶点式求二次函数的解题思路是:已知顶点及一点或对称轴或函数的最值,用顶点式求解析式比较简单。 3.用两根式求二次函数的解题思路是:已知两根及一点或对称轴或函数的最值,用两根式求解析式比较简单。 【达标测评】求下列二次函数的解析式:

1.图象过点(1,0)(0,-2)和(2,3) 、 。

2.当 x=2 时,y 最大值 =3,且过点(1,-3) 。

3.图象与 x 轴交点的横坐标分别为 2 和-4,且过点(1,-10)

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北师大版二次函数学案

第 10 课时

求二次函数的解析式(二)

【学习目标】1.了解二次函数的三种表示方式; 2.会灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式。 【学习重点】灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式。 【学习过程】 一、学习准备 1.函数的表示方式有三种: 2.二次函数的表达式有: 法, 、 法, , 法。 。

二、典型例题——用适当的方法求出二次函数的表达式 3.例 1 已知抛物线

y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 与 x 轴的两个交点的横坐标是-1,3,顶点坐标是(1,-2) ,求

函数的解析式(用三种方法)

4.即时练习:用适当的方法求出二次函数的解析式。 一条抛物线的形状与

y ? x 2 相同,且对称轴是直线 x ? ?

1 ,与 y 轴交于点(0,1) ,求抛物线的解析式。 2

5.例 2 已知如图,抛物线

y ? ?ax 2 ? 2ax ? b 与 x 轴的一个交点为 A(-1,0),与 y 轴的正半轴交于点 C。

⑴直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标; ⑵当点 CO=

3 时,求抛物线的解析式。

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北师大版二次函数学案

6.即时练习:已知直线 y=2x-4 与抛物线 y=ax2+bx+c 的图象相交于 A(-2,m) ,B(n,2)两点,且抛物线以直线 x=3 为对称轴,求抛物线的解析式。

三、反思小结——求二次函数解析式的方法 1.已知三点或三对 x、y 的对应值,通常用 2.已知图象的顶点或对称轴,通常用

y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 。

y ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) 。 y ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) 。

3.已知图象与 x 轴的交点坐标,通常用 四、巩固训练

1.已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0),该二次函数的图象与 x 轴交于 A、B 两点,其中 A 点的坐标为(4,0)。 (1)求 B 点的坐标 (2)求这个二次函数的关系式;

2.如图,在平面直角坐标系中,直线

y ? ? 3x ? 3 与 x 轴 交 于 点 A , 与 y

轴交于点 C ,抛物线

y

y ? ax 2 ?
(1)求过

2 3 x ? c(a ? 0) 经过 A,B,C 三点。 3
A C O F B x

A,B,C 三点抛物线的解析式并求出顶点 F 的坐标。

(2)在抛物线上是否存在点 P ,使 △ ABP 为直角三角形,若存在,直接写出 P 点坐标; 若不存在,请说明理由。

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北师大版二次函数学案

第 11 课时

利用二次函数求最大利润

【学习目标】1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,体会数学“建模”思想,并感受数学的应 用价值;

2.并能运用公式当 x=-

b 时,y 2a

最大(小)值

=

4ac ? b 2 4a

解决实际问题。

【学习重点】用“数形结合”的思想理解公式,并能运用公式解决实际问题。 【学习难点】分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系。 【学习过程】一、学习准备 1.二次函数 y=ax2+bx+c 的图像是一条____________,它的对称轴是直线 x=-

b ,顶点是______________。 2a
时,ymax =_________。

2.二次函数 y=-2x2+3x-1 的图象开口______,所以函数有最_______值,即当 x= 二、解读教材

3.例 1 某商经营 T 恤衫,已知成批购买时的单价是 5 元。根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一 段时间内,单价是 15 元时,销售量是 500 件,而单价每降低 1 元,就可以多售 200 件。问销售价是多少时,可以 获利最多? 分析:若设销售单价为 x(x≤15)元,所获利润为 y 元,则: (1)销售量可以表示为______________________________;(2)销售额可以表示为____________________________; (3)销售成本可以表示为____________________________;(4)所获利润可表示为 y=_________________________。 解:设____________________ 根据题意得关系式:y=____________________,即 y= ∵a= <0,∴y 有最 值。 。

即当 x=_______________=______________时,ymax=_________________=__________________。 答: 方法小结:解决此类问题的一般步骤是: (1)设——设出问题中的两个变量(即设未知数) ; (2)列——用含变量的代数式表示出等量关系,列出函数解析式; (3)自——找出自变量的取值范围; (4)图——作出函数图像(注意自变量的取值范围) ; (5)最——在自变量的取值范围内,取函数的最值; (6)答——根据要求作答。 4.即时练习 某商店购买一批单价为 20 元的 日用品,如果以单价 30 元销售,那么半月内可以售出 400 件。据销售经验, 提高销售单价会导致销售量的 减少,即销售单价每提高一元,销售量相应减少 20 件。如何提高销售价,才能在半

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北师大版二次函数学案

月内获得最大利润?

三、挖掘教材 5.例 2 某商经营 T 恤衫,已知成批购买时的单价是 5 元。根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一 段时间内,单价是 15 元时,销售量是 500 件,而单价每降低 1 元,就可以多售 200 件。如果售价不高于 10 元,问 销售价是多少时,可以获利最多? 注意自变量范围哟!

6.即时练习 求二次函数 y= x2-2x-3 在-2≤x≤0 时的最大、最小值。

四、反思小结 1.二次函数是解决实际问题中―最值‖问题类较好的数学模型; 2.注意解决此类问题的一般步骤——“设”“列”“自”“图”“最”“答” , , , , , 。 【达标测评】 1.某商店购买一批单价为 8 元的商品,如果以单价 10 元销售,那么每天可以售出 100 件。据销售经验,销售单价 每提高 1 元,销售量相应减少 10 件。将销售价定为多少,才能使每天获得最大利润?最大利润是多少?

2.某旅行社组团旅游,30 人起组团,每人单价 800 元,每团乘坐一辆准载 50 人的大客车。旅行社对超过 30 人的 团给予优惠,即每增加一人,每人的单价降低 10 元。你能帮助计算一下,当一个旅行团的人数是多少时,旅行社 可以获得最大营业额?

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北师大版二次函数学案

第 12 课时

利用二次函数求最大面积
b 2a

【学习目标】 1.经历探索最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验; 2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用公式:当 x= ?

时, y 最大(小)=

4ac ? b 2 4a

解决实际问题中的最大(小)值问题。

【学习重点】 利用二次函数的有关知识解决实际问题。 【学习过程】一、学习准备 1.函数 y=ax2+bx+c(a≠0)中,若 a>0,则当 x=2.在二次函数 y=2x2-8x+9 中当 x=

b 时,y( 2a

)=

;若 a<0,则当 x= 值等于

时,y( 。

)=



时,函数 y 有最

3.如图,在边 BC 长为 20cm,高 AM 为 16cm 的△ ABC 内接矩形 EFGH,并且它的一边 FG 在△ ABC 的边 BC 上, E、F 分别在 AB、AC 上,若设 EF 为 xcm,请用 x 的代数式表示 EH。 解:∵矩形 EFGH, ∴EH∥BC ∴ △ AEH∽___________。 这是一个二级图形哟! 公式:

又∵BC 上的高 AM 交 EH 于 T。 ∴

A E T H

上底 上高 ? 下底 全高

AT AM

=_______,即

16 ? x =________。 16


∴EH= 二、解读教材

B

F

M G C

4.在上题图中,若要使矩形 EFGH 获得最大面积,那么它的长和宽各是多少?最大面积是多少? 解:设矩形面积为 y,而 EF=x,EH= 则 y= ∵a= = , 。 利用相似三角形性质和矩形面积 公式列出二次函数, 应用其性质解决。

5 <0 4

则 y 有最_______值。 。 。

∴当 x=______时,则 y 最大值=______________。此时 EH= 答:

5.想一想:活动 4 通过设 EH 为 xcm 能解决问题吗?(试一试吧! ) 6.即时练习: (1)在 Rt△ 的内部作内接矩形 ABCD,其中 AB 和 AD 分别在两条直角边上,点 C 在斜边上。 ①设矩形 ABCD 的边 AB=x m,那么 AD 边的长度如何表示? ②设矩形的面积为 y m2,当 x 取何值时,y 的值最大?最大值是多少? 解:

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北师大版二次函数学案

(2)将(1)题变式:其它条件和图形都不变,设 AD 边的长为 x m,则问题又怎样解决呢? 解:

三、挖掘教材: 7.在 Rt△ QMN 的内部作内接矩形 ABCD,点 A 和 D 分别在两直角边上,BC 在斜边 MN 上。 M ①设矩形的边 BC=xm,则 AB 边的长度如何表示? B ②设矩形的面积为 ym2,当 x 取何值时,y 的最大值是多少?
30 A m C

O

D 40m

N

8.即时练习 如图,某村修一条水渠,横断面是等腰梯形,底角∠C=120° ,两腰与下底 AD 的和为 4m。当水渠深 (x)为何值时,横断面积(S)最大?最大值为多少? 解:

A

E x B C

D

四、反思小结:通过学习上节和本节解决问题的过程,你能总结一下解决此类问题的基本思路吗? 我认为解决此类问题的基本思路是: 【训练提高】 1.用 48m 长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面 开 2m 宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少 m 时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少? 。

2.正方形 ABCD 边长 5cm,等腰三角形 PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点 B、C、Q、R 在同一直线 l 上,当 C、 Q 两点重合时,等腰△ PQR 以 1cm/s 的速度沿直线 l 向左方向开始匀速运动,ts 后正方形与等腰三角形重合部分面 积为 Scm2,解答下列问题: A (1)当 t=3s 时,求 S 的值; (2)当 t=3s 时,求 S 的值; (3)当 5s≤t≤8s 时,求 S 与 t 的函数关系式,并求 S 的最大值。 D Q C R l P M B

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北师大版二次函数学案

第 13 课时

专题复习——二次函数与几何

【学习目标】1.能由几何图形建立二次函数模型解决有关几何问题。 2.能从抛物线中找出几何图形解决有关几何问题。 【学习重难点】利用二次函数图象性质解决几何问题。 一、学习准备 1.写出二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴 2.谈一谈二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴的交点个数的情况: 。 3.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)与 y 轴的交点是 二、专题讲练 例 1 如图,等腰直角三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 m 向正方向移动,直到 AB 和 CD 重合,设 x 秒时三角形 与正方形重叠部分的面积为 y 平方米,其中正方形的边长等于 AB 且为 10 米。 (1)写出 y 与 x 的关系表达式。 (2)当 x=2,3,4 时,y 分别是多少? (3)当重叠部分面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多少时间? 分析:在运动变化过程中,两个变量的关系可用函数 表达式来描述,最终用函数知识来解决。 B C m A D 。 ,顶点坐标 。

例 2.抛物线 y=x2+bx 与 x 轴交于 A、B 两点,顶点坐标为 P。 (1)证明△ABP 一定是等腰三角形。 (2)当 b 取何值时, △ABP 是直角三角形? (3)当 b 取何值时, △ABP 是等边三角形?

25

北师大版二次函数学案

例 3.如图,已知二次函数 y=-mx2+4m 的顶点坐标为(0,2),矩形 ABCD 的顶点 B,C 在 x 轴上,A、D 两点在抛 物线上,矩形 ABCD 在抛物线与 x 轴所围成的图形内。 (1)求二次函数的解析式。 (2)设 A 坐标为(x,y),试求矩形 ABCD 的周长 P 关于自变量 x 的函数解析式,并求出自变量 x 的取值范围。 y D A x

CO B

【达标测评】 y 1.如图所示,二次函数 y=x -4x+3 的图象交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于 C 点, 则△ABC 面积为: ( A 、6 B、4 ) C、3 D、1
2

C A O B x

2.如图所示,抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点 P,与 y 轴的交点为 Q,过点 Q 的直线 y=2x+m 与 x 轴交 于点 A,与这条抛物线交于另一点 B,若 SΔ BPQ=3SΔ APQ,求这个二次函数解析式。

26

北师大版二次函数学案

3.已知在△ ABC 中,BC=20,高 AD=16,内接矩形 EFGH 的顶点 E、F 在 BC 上,G、H 分别在 AC、AB 上,求 A 内接矩形 EFGH 的最大面积。

H

G

B

E

D

F

C

4.某学校的围墙上端由一段段相同的拱形栅栏组面,如图所示,其拱形图形为抛物线的一部分,栅栏的路径 A 、 B 间,按相同的间距 0.2m 用 5 根立柱加固,拱高 OC 为 0.6m,以O为原点, OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标 系,根据以上的数据,则一段栅栏所需立柱的总长度(精确到 0.1m) 。 B y C A

O

x

27

北师大版二次函数学案

5.如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交与点 A 和 B,与 y 轴交于点 C,若 AC=20,BC=15,∠ACB=90?, 求这个二次函数的解析式。

C

A

O

B

x

6.已知二次函数图象的顶点坐标 C(1,0) ,直线 y=x+m 与该二次函数的图象交于 A,B 两点,其中 A 点的坐标 为(3,4) 点在 y 轴上。 ,B (1)求 m 的值及这个二次函数的关系式。 (2)P 为线段 AB 上的一个动点(点 P 与 A,B 不重合) ,过 P 作 x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于 E 点,设 线段 PE 的长为 h,点 P 的横坐标为 x,求 h 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围。 (3)D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段 AB 上是否存在一点 P,使得四边形 DCEP 是平行四 边形?若存在,请求出此时 P 点的坐标,若不存在,请说明理由。 y

P D B E C

A

O

x

28

北师大版二次函数学案

第 14 课时

复习与小结——知识梳理

【学习目标】1.正确梳理本章重要知识之间的区别和联系; 2.熟练掌握二次函数的图象与性质,并会利用二次函数的图象与性质解决问题。 【学习重点】掌握二次函数的图象与性质。 【学习难点】运用二次函数的图象与性质解决问题。 【学习过程】 一、知识结构 二次函数 注意知识框架哟!

相关概念

图象与性质

解析式的确定

二 次 函 数

抛 物 线

对 称 轴

顶 点

开 口 方 向

对 称 轴

顶 点 坐 标

增 减 性

极 值

一 般 式

顶 点 式

两 根 式

二、回顾与思考 1.二次函数

y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条


,它的顶点坐标是



对称轴是直线 2.二次函数

y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 中 a,b,c 的作用:


(1)a 值决定抛物线的开口 时,开口向 ;③

a

值决定抛物线的开口 , 。

:①当 a>0 时,开口向 越小,抛物线的开口越 ,

;②当 a<0

a

越大,抛物线的开口越

a

a

相同的抛物线,

通过平移(或旋转、折叠)一定能够互相

可记为“左同右异” ;②当 a、b 同号时, 时,函数

(2)a 和 b 值共同决定抛物线的对称轴、极值和增减性等:①当 b=0 时,对称轴为 对称轴在 y 轴的 有最 增大而 y 随 x 的增大而 (3)c 值决定抛物线与 于 值是 侧;③当 a、b 异号时,对称轴在 y 轴的 , 此时 x> ? ;⑤当 a<0,且 x= ,当 x< ? 侧;④当 a>0,且 x=

b 时,y 随 x 的增大而 2a
,函数有最 值是

,当 x< ?

b 时,y 随 x 的 2a b ,此时当 x> ? 时, 2a

b 时,y 随 x 的增大而 2a

。 (可在旁边画出草图分析) ,②当 c>0 时,与 y 轴交 。

的交点的位置:①当 c=0 时,抛物线经过 半轴,抛物线与 y 轴的交点坐标是

半轴,③当 c<0 时,与 y 轴交于
2

(4) △( b 有两个 有两个

2 ? 4ac ) 值决定抛物线与 x 轴的交点的个数: ①当△ >0 时, 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)

的实数根, 抛物线与 x 轴有 的实数根, 抛物线与 x 轴有 实数根,抛物线与 x 轴有

个交点, ②当△ =0 时, 一元二次方程 ax 个交点, ③当△ <0 时, 一元二次方程 ax 个交点。

2 2

? bx ? c ? 0(a ? 0) ? bx ? c ? 0(a ? 0)

29

北师大版二次函数学案

(5) 二次函数解析式的三种形式: ①一般式:y ③交点式:

2 ②顶点式:y ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ,

。 y ? a( x ? x1 )( x ? x2 )( a ? 0) ,抛物线与 x 轴的交点坐标是(x1,0)和(x2,0)(又称两根式 x1,
2

x2 是当函数值 y=0 时所得一元二次方程 ax (6)抛物线

。 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根)

y ? a( x ? h) 2 ? k (a ? 0) 与 y ? ax2 (a ? y ? ax ? bx ? c(a ?
2

y = a( x – h )2 + k 上 左 下 右 平 平 0) 形状相同, 移 移 y = ax2 + k y = a(x – h )2

位置不同。移动方法如右图所示。 (7)已知抛物线 x=

上下平移 y = ax2 左右平移 ,那么抛物线的对称轴 0) 与 x 轴的交点坐标是 A(x1,0)和 B(x2,0) =

,AB=

x1 ? x2

=

( x1 ? x2 ) 2



三、典型示范 例 1.函数

y ? 2x 2 、 y ? ?2x 2 、 y ?

1 2 x 的图象的共同特征是( 2



A、开口都向上,且都关于 y 轴对称 C、顶点都是原点,且都关于 y 轴对称

B、开口都向下,且都关于 x 轴对称 D、顶点都是原点,且都关于 x 轴对称

分析:研究二次函数的图象与性质,一般从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴的交点、最值等探究。

1 2 (1)迅速化为顶点式 y ? a( x ? h) ? k 。 (2)写出它的顶点坐标 y ? ? x 2 ? 2x ? 3 。 4 和对称轴,并画出它的大致图象,口述性质。 (3)根据图象指出:①当 x 取何值时, y 随 x 值的增大而减小。②
例 2.已知二次函数 当 x 取何值时,y 有最大 (小) 值是多少?③求抛物线与 x 、y 两坐标轴的交点坐标。 值, ④当 x 取何值时

y ? 0?

y ? 0? y ? 0?
解:

例 3 已知抛物线 y=x2+mx+m-1 在直线 y=5 上截得线段长为 6,则此抛物线解析式为



例 4.已知△ ABC 中,BC=8,BC 上的高 h=4,D 为 BC 上一点,EF∥BC,交 AB 于点 E,交 AC 于点 F(EF 不过 A、B) ,设 E 到 BC 的距离为 x ,则△ DEF 的面积 y 关于 x 的函数的图象大致为( )

A E B F

y

y

y

y

D

C

x

x

x

分析:利用△ AEF 与△ ABC 相似,确定 EF 的长,写出 y 关于 x 的函数关系式,确定自变量 x 取值范围,得图象。

30

北师大版二次函数学案

例 5.已知二次函数 y=x2-x+c (1)求它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴; (2)c 为何值时,顶点在 x 轴上? (3)若这个函数的图象过原点,求这个函数的解析式,并判断 x 取何值时 y 随 x 的增大而减小? 分析:(1)用公式法或配方法解决;(2)可用顶点纵坐标为 0 或△ =0 解决;(3)将(0,0)代入解析式即可求出 c 值。

例 6.一批名牌中都商场销售衬衫,平均每天可售出 20 件,每件赢利 40 元。为了扩大销售,尽快增加赢利,尽快 减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价 1 元,商场平均每天可多售出 2 件, 若商场每件衬衫降价 x 元,商场每天的赢利为 y。 (1)你能写出 y 和 x 的关系吗?(2)当每件衬衫降价多少元时, 商场可获得最大利润?最大利润为多少元?

【达标测评】 1.已知二次函数 为

y ? x 2 ? 2 x ? 3 ,则它的顶点坐标是
,与 x 轴的交点为

,对称轴是 。

;图象与

y 轴的交点

2.函数 y=ax2-ax+3x+1 的图象与 x 轴有且只有一个交点,则 a 值为 3.如果抛物线

,这个交点坐标是 。



y ? x 2 ? 6 x ? m 的顶点在 x 轴上,那么 m

4.把抛物线 y=x2+2x-3 向左平移 3 个单位,然后向下平移 2 个单位,则所得的抛物线的解析式为 5.二次函数



y ? x 2 ? bx ? c 的顶点坐标为( ? 3 , 1 ) b ? ______,c ? ______。 ,则
时, y =0;当 x 时, 时, y >0;当 x 时, y <0;

6.抛物线如图所示:当 x = 当x 时,

y 随 x 的增大而增大;当 x

y 随 x 的增大而减小。
。 。 )

7.请写出一个二次函数以(2, 3)为顶点,且开口向上。 8.抛物线顶点为 P(-1,-8)且经过点(0,-6),则此抛物线的解析式为 9.函数

y ? ax ? b和y ? ax 2 ? bx ? c 在同一直角坐标系内的图象大致是: (

A

B

C 31

D

北师大版二次函数学案

10.二次函数

( y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象如图,则 a 、 b 、 c 、 b 2 ? 4ac 的取值范围是:
2



A、 a >0, b <0, c <0, b C、 a >0,

? 4ac >0

B、 a <0, b <0, c <0, b D、 a >0, b <0, c >0,

2

? 4ac <0

y

b >0, c <0, b 2 ? 4ac >0

b 2 ? 4ac >0


O

x

3 1 11.下列图中阴影部分的面积与算式 | ? | ? ( ) 2 ? 2 ?1 的结果相同的是: ( 4 2

A

B

C

D

12.求满足下列条件的二次函数解析式: (1)图象过(1,0)(0,-2)和(2,3) 、 。

(2)图象与 x 轴的交点的横坐标为-2 和 1,且过点(2,4) 。

(3)当 x=2 时,y 最大值 =3,且过点(1,-3) 。

13.如图所示,是一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图,点 A 和 A 1 、点 B 和 B 1 分别关于

y 轴对

称,隧道拱部分 BCB 1 为一条抛物线,最高点 C 离路面 AA 1 的距离为 8m,点 B 离路面为 6m,隧道的宽度 AA 1 为 16m; (1)求隧道拱抛物线 BCB 1 的函数解析式; (2)现有一大型运货汽车,装载某大型设备后,其宽度为 4m,车载大型设备的顶部与路面的距离均为 7m,它能 否通过这个隧道?请说明理由。

y
C

B

B1

A

O

A1

x

32


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