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高三数学


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二项式定理
1. 知识精讲: (1)二项式定理: ? a ? b ? ? C n a ? C n a
n 0 n 1 n ?1

b ?? ? Cna
r

n?r

b ? ? ? Cn b (n ? N )
r

n n 5 n?5

?

其通项是 T r ?1 ? C n a
r

n?r

b
n

r

(r=0,1,2,??,n) ,知 4 求 1,如: T 6 ? T 5 ? 1 ? C n a
r

b

5

亦可写成: T r ?1 ? C n a ( )
r

b

a

?a ? b ?n

? Cn a ? Cna
0 n 1 n 0

n ?1

b ? ? ? ?? 1? C n a
r r 1 r

n?r

b ? ? ? ?? 1? C n b ( n ? N )
r n n n
?

特别地: ?1 ? x ? ? C n x ? C n x ? ? ? C n x
n
r

n?r

? ? ? Cn x (n ? N )
n n

?

其中, C n ——二项式系数。而系数是字母前的常数。 例 1. C n ? 3 C n ? 9 C n ? ? ? 3
1 2
n

3

n ?1

C n 等于
n

n


4
n


?1 3

A. 4

B。 3 ? 4

n

C。
3

4

?1

D.

3

解:设 S n ? C n ? 3 C n ? 9 C n ? ? ? 3
1 2 1 2 2 3 3 n

n ?1

C n ,于是:
0 1 2 2 3 3 n n

n

3 S n ? 3C n ? 3 C n ? 3 C n ? ? ? 3 C n = C n ? 3C n ? 3 C n ? 3 C n ? ? ? 3 C n ? 1
n

故选 D 例 2. (1)求 (1 ? 2 x ) 的展开式的第四项的系数;
7

(2)求 ( x ?
7

1 x

) 的展开式中 x 的系数及二项式系数
3 3

9

3

王新敞
奎屯

新疆

解: (1) (1 ? 2 x ) 的展开式的第四项是 T3 ? 1 ? C 7 ( 2 x ) ? 2 8 0 x ,
3

∴ (1 ? 2 x ) 的展开式的第四项的系数是 2 8 0 .
7

(2)∵ ( x ?

1 x

) 的展开式的通项是 T r ? 1 ? C 9 x
9 r

9?r

(?

1 x

) ? ( ? 1) C 9 x
r r r

9?2r



∴9 ? 2r ? 3 , r ? 3 , ∴ x 的系数 ( ? 1) C 9 ? ? 8 4 , x 的二项式系数 C 9 ? 8 4 .
3
3 3

3

3

(2)二项展开式系数的性质:①对称性,在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的 二项式系数相等,即 C n ? C n , C n ? C n , C n ? C n
0 n 1 2 n ?1 n?2

,? C n ? C n
k

n?k

,?

②增减性与最大值:在二项式展开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值。如果

二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大,即 n 偶数: ?C n

r

?

n max

? Cn 2 ? Tn
2


?1

如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大,即

?C ?
r n

n ?1 max

n ?1

? Cn

2

? Cn

2

? T n ?1
2

?1

? T n ?1
2


?1

③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于 2 即 C n ? C n ? ? ? C n ? 2 ;
n

0

1

n

n

奇 数 项 的 二 项 式 系 数 和 与 偶 数 项 的 二 项 式 系 数 和 相 等 , 即
Cn ? Cn ?? ? Cn ? Cn ?? ? 2
0 2 1 3 n ?1

例 3.已知 (1 ? 2 x ) 7 ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a 7 x 7 ,求: (1) a 1 ? a 2 ? ? ? a 7 ; (2) a 1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 ; (3) | a 0 | ? | a 1 | ? ? ? | a 7 | .
7 7

解: (1)当 x ? 1 时, (1 ? 2 x ) ? (1 ? 2 ) ? ? 1 ,展开式右边为
a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a 7

∴ a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a 7 ? ? 1 , 当 x ? 0 时, a 0 ? 1 ,∴ a 1 ? a 2 ? ? ? a 7 ? ? 1 ? 1 ? ? 2 , (2)令 x ? 1 , a 0 ? a 1 ? a 2 ? ? ? a 7 ? ? 1 ① ②
1? 3 2
7

令 x ? ? 1 , a 0 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? a 7 ? 3 7

① ? ② 得: 2 ( a 1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 ) ? ? 1 ? 3 ,∴ a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ?
7

.

(3)由展开式知: a 1 , a 3 , a 5 , a 7 均为负, a 0 , a 2 , a 4 , a 8 均为正, ∴由(2)中①+② 得: 2 ( a 0 ? a 2 ? a 4 ? a 6 ) ? ? 1 ? 3 7 , ∴ a0 ? a2 ? a4 ? a6 ?
?1 ? 3 2
7



∴ | a 0 | ? | a1 | ? ? ? | a 7 |? a 0 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? a 7
? ( a 0 ? a 2 ? a 4 ? a 6 ) ? ( a1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 ) ? 3
7
王新敞
奎屯 新疆

例 4. (1)如果在 ? ?
?

?

x ?

1 24

? ? ? x ?

n

的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有

理项。 (2)求
? ? 1 ? x ? ? 2 ? 的展开式的常数项。 ? ? x ? ?
n 2
3

解: (1)展开式中前三项的系数分别为 1, 由题意得:2×
n 2



n ( n ? 1) 8



=1+

n ( n ? 1) 8

得 n =8。
1 2
r 16 ? 3 r

设第 r+1 项为有理项, T r ? 1 ? c 8 ?
r

?x

4

,则 r 是 4 的倍数,所以 r=0,4,8。

有理项为 T 1 ? x , T 5 ?
4

35 8

x, T9 ?

1 256 x
2



【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时,常用通项公式,用待定系数法确定 r。
? ? 1 ? x ? ? 2? ? ? x ? ?
3



2



? ? ? ? ?
r

x ?

1

? ? x ? ?

6



















T r ?1 ? ? ? 1 ? C 6 x
r r

6?r 2

? 1 ? ? ? r r ? x ? ? ? ? ?? 1? C 6 x
2

6?r 2

?

r 2

6?r



r 2

? 0

,令

2

得r ? 3

所以,常数项为

T 4 ? ? 20

【思维点拨】 密切注意通项公式的使用。
n (3)二项式定理的应用:近似计算和估计、证不等式,如证明: 2 ? 2 n ? n ? 3 , n ? N ? 取

2

n

? ?1 ? 1 ? 的展开式中的四项即可。
n n 1 n ?1

例 5、 若 n 为奇数,则 7 ? C n 7 A.0 B。2 解: 7 ? C n 7
n 1 n ?1 2

? Cn 7
2

n?2

?? ? Cn

n ?1

7 被 9 除得的余数是





C。7
n?2

D.8
n ?1

? Cn 7

?? ? Cn
n ?1 n ?1

7 ? 8 ? 1 ? ?9 ? 1 ? ? 1
n n
n

=9 ? C n 9
n 1

n ?1

? ? ? ?? 1?

C n 9 ? ?? 1? ? 1
1 n ?1

因为 n 为奇数,所以原式= [ 9 ? C n 9
n

? ? ? ?? 1?

n ?1

C n 9] ? 2

n ?1

所以,其余数 为 9 – 2 = 7,选 C 例 6:当 n ? N 且 n >1,求证 2 ? (1 ?
1 n )
n

? 3

证明: (1 ? 1 ) n ? 1 ? C 1 1 ? C 2 1 ? ? ? C n 1 ? 1 ? C 1 1 ? 2 n n n n 2 n
n n n n n

1? n ? n ? 1 ? n ? n ? 1 ?? n ? 2 ? 1 n ? n ? 1 ?? n ? 2 ? ? 3 ? 2 ? 1 ? ? ?? ? ?1 ? ? ? 2 ? 2 n n? 2! n 3! n! n ?
n

? 2?

1 2!

?

1 3!

?? ?

1 n!

? 2?

1 2

?

1 2
2

?? ? 2

1
n ?1

? 2?

1 ? 1 ? ? 1 ? n ?1 ? 2? 2 ? 1? 1 2

3?

1 2
n ?1

? 3.

从而 2

? (1 ?

1 n

)

n

? 3

【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题,它的取舍根据题目而定。 2.重点难点: 二项式定理,和二项展开式的性质。 3.思维方式:一般与特殊的转化,赋值法的应用。 4.特别注意:①二项式的展开式共有 n+1 项, C n a ②通项是 T r ?1 ? C n a
r n?r r n?r

b 是第 r+1 项。

r

b

r

(r=0,1,2,??,n)中含有 T r ? 1 , a , b , n , r 五个元素,只要知道其

中四个即可求第五个元素。 ③注意二项式系数与某一项系数的异同。 ④当 n 不是很大,| x |比较小时可以用展开式的前几项求 (1 ? x ) 的近似值。
n


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