当前位置:首页 >> 数学 >>

2.2.2 双曲线的简单几何性质(上课用)


2.椭圆的图像与性质:
标 准 方程
范 围 对称性
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

Y
B2

|x|?a,|y|≤b
关于X,Y轴, 原点对称

顶点 焦点

(±a,0),(0,±b) (±c,0)

A1


F1

o

A2

F2

X

长轴、 A1A2 ; B1B2 短轴 离心率

B1

c e? a

复习回顾:
1.双曲线的标准方程:

形式一: x 2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b F1 -c,0)、 F( (焦点在x轴上,( 2 c,0))
形式二: y 2
x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

F1 0,-c)、( (焦点在y轴上,( F2 0,c))
其中 c ? a ? b
2 2 2

双曲线的 简单几何性质

双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的简单几何性质 2 a b
y
(-x,y) -a (-x,-y) (x,y)

1、范围 2 x 2 2 Q 2 ? 1,即x ? a a ? x ? a, x ? ?a 2、对称性

o a
(x,-y)

x

关于x轴、y轴和原点都是对称的. x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点

顶点是 A1 (?a,0)、A2 (a,0)
( 2) 如图,线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴,它的长为2a,a叫做 实半轴长;线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 ( 3) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
A1 -a

y b

B2
o a A2 x

x ? y ? m ( m ? 0)
2 2

-b B 1

1 思考:y ? 的图像是什么? x

图像无限靠近x轴和y轴
1 x轴, y轴叫做y ? 的渐进线. x

4、渐近线
(1)

利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图
y b

x2 y2 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b b 的渐近线为y ? ? x a
2 2

B2

等轴双曲线 x ? y ? m (2 )

y ? ?x (m ? 0)的渐近线为
它们互相垂直,并且平分双曲线 实轴和虚轴所成的角. 双曲线与渐近线无限接近, 但永不相交。

A1

o

A2
a x

B1

b y? x a

b y?? x a

5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。
(2)e的范围:

Q c>a>0 ?

e >1

(3)e的含义:
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!

c c2 a 2 ? b2 b2 e? ? ? ? 1? 2 2 2 a a a a
b b ?当e ? (1,?? )时, ? (0,?? ), 且e增大, 也增大 a a ? e增大时,渐近线与实轴 的夹角增大

x2 y2 双曲线 ? ?1 16 9
(1)范围: x ? ?4或x ? 4, y ? R (2)顶点坐标:A1 (?4,0), A2 (4,0) (3)焦点坐标:F1 (?5,0), F2 (5,0)
? ? 1

y

F

A1

O

A2 ?

?

F2

x

c 5 (4)离心率: e ? ? a 4

3 (5)渐进线为 y ? ? x 4

等轴双曲线的离心率e= ? 2

焦点在y轴上的双曲线的几何性质
如何记忆双曲线的 y2 x2 双曲线标准方程: 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 渐进线方程? y a b 双曲线性质:
1.范围: y≥a或y≤-a

A2 B1 o A1 B2 x

2.对称性: 关于坐标轴和原点对称 3.顶点: A1(0,-a),A2(0,a) A1A2为实轴,B1B2为虚轴

a 4.渐近线方程: y ? ? x b c 5.离心率: e ? ?1 a

. .
B2 A2
2 2 2 2

图形

. .
B2
F1 A1 A2
O

y

y
F2

F2

x

F2(0,c)
B1

F1(-c,0)
2 2

B1

F2(c,0)

A1 O F1

x F1(0,-c)

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b

x ? a 或 x ? ?a,y ? R

y ? a 或 y ? ?a,x ? R

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

c e? a

(e ? 1)

b y?? x a

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

例1、求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚 半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 2 2 y x 解:把方程化为标准方程: 2 ? 2 ? 1 4 3
由此可知,实半轴长a=4,虚半轴长b=3.

c ? a 2 ? b 2 ? 42 ? 32 ? 5
焦点的坐标是(0,-5),(0,5).

c 5 离心率:e ? ? a 4 4 渐近线方程为 y ? ? x 3

例2

5 已知双曲线顶点间的距离是16,离心率e ? , 4 焦点在x轴上,中心在原点,写出双曲线的方 程,并且求出它的渐近线方程和焦点坐标.

x2 y2 解:设双曲线的标准方程 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b

? 2a ? 16,即a ? 8

c 5 又 Q e ? ? ,? c ? 10 a 4

?b2 ? c 2 ? a 2 ? 102 ? 82 ? 36
x2 y 2 ? 双曲线的方程为 ? ?1 64 36 3 ? 渐近线方程为 y ? ? x 4

焦点F1 (?10,0), F2 (10,0)

练习
1.中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准 方程为( B ) x2 y2 y2 x2 x2 y2 ? ?1 A. B. 25 ? 9 ? 1 或 25 ? 9 ? 1
25 9

C.

x2 y2 ? ?1 100 64

D.

2.双曲线 A. C.

2 y?? x 3 3 y?? x 2

x2 y2 ? ?1 4 9

y2 x2 x2 y2 ? ?1 ? ?1或 100 64 100 64

的渐近线方程为( C )

B.
D.

4 y?? x 9 9 y?? x 4

3.双曲线 mx2 ? y 2 ? 1的虚轴长是实轴长的2倍,

则m的值为

1 ? 4

2、若双曲线的离心率为2,则两条 渐近线的夹角为 60? 。 (焦点在x轴)
解:由题意得:
c ?2 a c2 ? a 2 ? b2

?

2 2 a2 ? b2 ? b ? 3a ? ? 4 ? 2 a

?b ?

b 3a ? ? 3 a

.
F1

y
B2 A1 1 A2
O
2

.
F2

x

? ?1 ? 60? ? ?2 ? 30?

B1

?夹角为 60?

4 1、若双曲线的渐近线方程为 y ? ? 3 x, 则双曲线

能力提升

的离心率为

。(焦点在x轴)

解:由题意得:

?

b 4 ? a 3 c 2 ? a 2 ? b2

25 2 解得: c ? a 9
2

c 5 ? ? a 3

例3、双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径 为20m,高55m.选择适当的坐标系,求出此 双曲线的方程(精确到1m).
y
13 C′ 12 A′ 0 A x C

B′

20

B

x2 y2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) 2 设双曲线的方程为 a b 令点C的坐标为(13,y),则点B的坐标为 (25,y-55).因为点B、C在双曲线上,所以
? 252 ( y ? 55) 2 ? ?1 ? 2 2 ?12 b ? 2 2 13 y ? ? 2 ?1 2 ? b ?12 (1) (2)

由方程(2)得 代入方程(1)得

5 y ? b (负值舍去) . 12

化简得 19b2+275b-18150=0 (3) 解方程(3)得 b≈25 (m). 所以所求双曲线方程为:

5b 2 ( ? 55 ) 252 12 ? ? 1, 2 2 12 b
x2 y2 ? ? 1. 144 625

法二:巧设方程,运用待定系数法.

根据下列条件,求双曲线方程: 为什么可以这样设? x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 (?3, 2 3) ; 9 16 x2 y2 ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 ? 16 4

x2 y2 ( ?3)2 (2 3)2 ? ? ? (? ? 0) ,∴ ⑴设双曲线方程为 ? ?? 9 16 9 16 1 x2 y2 ? ?1 ∴ ? ? ,∴ 双曲线方程为 9 4 4 4 x2 y2 ? ? 1 ?16 ? k ? 0且4 ? k ? 0? ⑵设双曲线方程为 16 ? k 4 ? k x2 y2 (3 2)2 22 ? ?1 ? ? 1 ,解之得 k=4,∴ 双曲线方程为 ∴ 12 8 16 ? k 4 ? k

巩固练习:
求与双曲线x ? 2 y ? 2有公共渐近线,
2 2

且过点( 2, ? 2)的双曲线方程。

y x ? ?1 2 4

2

2

总结:

“共渐近线”的双曲线的应用

x2 y 2 与 2 ? 2 ? 1共渐近线的双曲线系 a b x2 y 2 方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0,?为参数), a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线; λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。

x y 与 2 ? 2 ? 1共 焦 点 的 双 曲 线 系 方 为 程 a b 2 2 x y ? 2 ?1 2 a ?k b ?k

2

2

B2

. .
B2 A2
2 2 2 2

图形

. .
F1(-c,0)
2 2

y

y
F2

F1

A1 A2
O

F2(0,c)
B1

B1 F2(c,0)

F2

x

A1 O F1

x F1(0,-c)

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b

x ? a 或 x ? ?a,y ? R

y ? a 或 y ? ?a,x ? R

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

c e? a

(e ? 1)

b y?? x a

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b


相关文章:
2.2.2 双曲线的简单几何性质
2.2.2 双曲线的简单几何性质_高二数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2.2.2 双曲线的简单几何性质_高二数学_数学_高中教育_...
2.2.2双曲线的简单几何性质1
选修1-1:2.2.2 双曲线的简单几何性质(1) 【学习目标】类比椭圆的简单几何性质,探究双曲线的简单几何性质. 一、阅读教材 P49-P50,完成下题 选修 1-1:2.2...
§2.3.2 双曲线的简单几何性质(3)(上课用讲义)
§2.3.2 双曲线的简单几何性质(3)(上课用讲义)_数学_高中教育_教育专区。江氏秘籍 江苏省海门中学高二数学个性教案 高中数学选修 2-1 第二章 圆锥曲线与方程...
2.2.2 双曲线的简单几何性质
2.2.2 双曲线的简单几何性质_数学_高中教育_教育专区。双曲线的简单几何性质2.2.2 双曲线的简单几何性质 (教师用书独具) ●三维目标 1.知识与技能 (1)使学...
2.2.2双曲线的简单几何性质3
2.2.2双曲线的简单几何性质3_数学_高中教育_教育专区。选修 1-1:2.2.2 双曲线的简单几何性质(3) 例 1:双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴...
2.2.2双曲线的简单几何性质导学案
2.2.2双曲线的简单几何性质导学案_数学_高中教育_教育专区。双曲线的简单几何性质 ,选修1-1,高中数学人教版A版 2.2.2 双曲线的简单几何性质班级 姓名 编者:...
§2.2.2双曲线的简单几何性质(2)
§2.2.2双曲线的简单几何性质(2)_数学_高中教育_教育专区。§ 2.2.2 双曲线的简单几何性质(2) 学习目标 1.从具体情境中抽象出椭圆的模型; 2.掌握椭圆的...
2.2.2双曲线的简单几何性质
(2) 双曲线的离心率越大,它的开口越 课堂展示 考点一、双曲线的简单几何性质 制作人:刘晓燕 一、学习目标 1.知识与技能 2.2.2 双曲线的简单几何性质学案 ...
2.2.2双曲线的简单几何性质学案
2.2.2双曲线的简单几何性质学案_数学_高中教育_教育专区。双曲线的简单几何性质...难点:有关双曲线的离心率、渐近线的问题. 我们能否用研究椭圆的几何性质的方法...
更多相关标签:
双曲线的简单几何性质 | 双曲线简单几何性质 | 双曲线的几何性质ppt | 双曲线的几何性质 | 双曲线几何性质 | 双曲线的几何性质教案 | 双曲线几何性质教案 | 双曲线几何性质总结 |